寧 銳，張 紅

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數(shù)學(xué)史對民族數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展的啟示

寧 銳1，2，張 紅2

（1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241；2．四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都 610066）

民族數(shù)學(xué)的多元文化背景與學(xué)校數(shù)學(xué)標準化之間存在固有的矛盾，這種矛盾造成了民族數(shù)學(xué)及其教育中的一些現(xiàn)實困境．首先對民族數(shù)學(xué)與民族數(shù)學(xué)教育兩個概念的涵義進行了辨析，然后基于歷史相似性的視角分析了造成民族數(shù)學(xué)及其教育困境的現(xiàn)實背景和根源，分析了早期數(shù)學(xué)發(fā)展的經(jīng)驗性以及數(shù)學(xué)發(fā)展3個層面的超越性，并以古埃及數(shù)學(xué)發(fā)展為例討論了數(shù)學(xué)發(fā)展在超越性方面的一些局限，最后提出了民族數(shù)學(xué)及其教育在3個超越性層面上發(fā)展的要求和路徑．

民族數(shù)學(xué)（民俗數(shù)學(xué)）；民族數(shù)學(xué)教育；民族文化；數(shù)學(xué)史；超越性

“民族數(shù)學(xué)”是20世紀80年代數(shù)學(xué)教育界興起的新興研究課題．1984年在第五屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-5）上，出現(xiàn)了“民族數(shù)學(xué)”這個新詞匯，英文原文是Ethnomathe- matics，1985年4月，“民俗數(shù)學(xué)國際研究小組”正式成立[1]．中國是多民族國家，民族數(shù)學(xué)及其教育的研究顯得尤為重要．自21世紀以來，中國對該課題的相關(guān)研究呈上升趨勢[2]，研究課題的范圍也比較廣泛，如：從跨文化的角度對不同民族學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進行比較研究[3~4]，專門針對少數(shù)民族學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的調(diào)查分析[5]，較多研究是從民族文化的角度來探討對民族數(shù)學(xué)教育的課程、教學(xué)和學(xué)習(xí)的影響[6~8]，等等．這些研究反映了一個基本事實，那就是不同民族學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在較大的差異，這些差異背后的原因各異，解決的方法也就多種多樣．從目前的研究主題來看，較少從數(shù)學(xué)自身發(fā)展的角度來分析對民族數(shù)學(xué)教育的影響．這里試圖從這一角度展開分析，指出民族數(shù)學(xué)教育存在的一些現(xiàn)實困境及其根源，并提出一些民族數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展的一些思路．

1 民族數(shù)學(xué)與民族數(shù)學(xué)教育的涵義及關(guān)系

“民族數(shù)學(xué)”（對民族數(shù)學(xué)與民族數(shù)學(xué)教育這兩個概念的區(qū)分是基于香港大學(xué)梁貫成教授在學(xué)術(shù)報告中的分法）更一般的意義是“民俗數(shù)學(xué)”，基本含義是特定文化系統(tǒng)和具有特定生活背景的人群所產(chǎn)生和擁有的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式，包括3個方面的內(nèi)容：相對于希臘傳統(tǒng)意義下西方數(shù)學(xué)的非西方數(shù)學(xué)，比如中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)；相對于主流文化數(shù)學(xué)的本土數(shù)學(xué)，比如西藏天文學(xué)中的數(shù)學(xué)；相對于學(xué)校標準數(shù)學(xué)的通俗數(shù)學(xué)，比如菜販的數(shù)學(xué)知識．“民族數(shù)學(xué)”是指中國多元民族背景下少數(shù)民族文化背景中的“民俗數(shù)學(xué)”，既指少數(shù)民族文化中的“民族數(shù)學(xué)”，又包括他們的“本土數(shù)學(xué)”和“通俗數(shù)學(xué)”．“民族數(shù)學(xué)教育”有兩層含義：一是“民族數(shù)學(xué)”的教育；二是民族的“數(shù)學(xué)教育”．前者突出了“民族數(shù)學(xué)”作為一種特殊的數(shù)學(xué)形態(tài)，后者突出的是相對于主流地區(qū)或文化下的少數(shù)民族在一般意義上的數(shù)學(xué)教育．這里的民族數(shù)學(xué)教育的意義主旨是后者，但是這又是基于民族數(shù)學(xué)發(fā)展起來的數(shù)學(xué)教育，因而民族數(shù)學(xué)的教育也就成為其重要目標．

因此，“民族數(shù)學(xué)”與“民族數(shù)學(xué)教育”相互影響又相互交織．“民族數(shù)學(xué)”因其融合于獨特的民族文化而廣泛影響著少數(shù)民族的生產(chǎn)實踐，也必然滲透在民族的“數(shù)學(xué)教育”中，并且在一定程度上成為其中的一個部分．同時，由于文化影響的深刻性，“民族數(shù)學(xué)”也在一定程度上影響著它的數(shù)學(xué)教育的方式和路徑．但是，另一方面，民族的“數(shù)學(xué)教育”由于受到主流數(shù)學(xué)的強勢影響，人們在民族的“數(shù)學(xué)教育”中所見的數(shù)學(xué)主要是主流數(shù)學(xué)，加之“民族數(shù)學(xué)”在民族文化的潛在性，因此“民族數(shù)學(xué)”很容易式微而在數(shù)學(xué)教育實踐中看不到蹤影．這實際上造成了一種矛盾的現(xiàn)實，一方面希望“民族數(shù)學(xué)”得以發(fā)展，以保持數(shù)學(xué)形態(tài)的多元性和豐富性，并對民族的“數(shù)學(xué)教育”產(chǎn)生積極的影響，另一方面實際所見的是“民族數(shù)學(xué)”越來越向歷史的幕后褪去，成為真正的歷史．怎樣解決這個矛盾呢？研究者把視角投向數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，在歷史宏大的視角中尋求這一矛盾的解決之道．

2 民族數(shù)學(xué)及其教育的困境與根源

在民族數(shù)學(xué)教育的研究中，人們常常從社會文化學(xué)的角度，強調(diào)了民族文化傳統(tǒng)和背景對“民族數(shù)學(xué)”的制約作用，突出“民族數(shù)學(xué)”作為一種文化形態(tài)的獨特性．正如懷爾德所說：“數(shù)學(xué)是一種文化，各個不同的文化體系會產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)．”[1]著名的民族數(shù)學(xué)活動家巴西圣保羅大學(xué)數(shù)學(xué)教授達布羅西奧（D’ambrosio）進一步把“民族數(shù)學(xué)”解釋為，“人們?yōu)榱松?，去解釋、理解、超越和處理現(xiàn)實中數(shù)和形的一種活動．這種活動是隨著社會的發(fā)展而變化著的．”[1]因此，“民族數(shù)學(xué)教育”就應(yīng)該強調(diào)“從學(xué)生的傳統(tǒng)觀念、文化意識、社會背景出發(fā)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)活動、日常生活、社會實踐中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”[1]．可見，突出民族數(shù)學(xué)或者民族文化傳統(tǒng)對民族數(shù)學(xué)教育的影響與作用，無疑是學(xué)者們的共識．

但是，在今天民族數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實中，常常突顯出一種矛盾困境：一方面，作為少數(shù)民族文化背景的學(xué)生，他們有著獨特的文化傳統(tǒng)和民族生活方式，這種多元的民族文化背景可能為學(xué)生提供非標準的數(shù)學(xué)知識或者與主流數(shù)學(xué)完全不一樣的認知方式．另一方面，學(xué)生在學(xué)校里可能學(xué)習(xí)統(tǒng)一的標準數(shù)學(xué)．這種標準數(shù)學(xué)，就全世界范圍來說，更多是指今天在古希臘傳統(tǒng)意義下的西方數(shù)學(xué)．“民族數(shù)學(xué)”與標準數(shù)學(xué)之間的差異造成了這種矛盾的困境，也是很多民族數(shù)學(xué)教育中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難的原因之一．因此，面臨這種困境時，人們很自然可以提出這樣的問題“為什么處于不同文化環(huán)境的孩子，要學(xué)習(xí)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)呢？”

為了解決這種困境，民族數(shù)學(xué)教育常常簡單化為“民族化的數(shù)學(xué)教育”，即特別強調(diào)標準數(shù)學(xué)向“民族數(shù)學(xué)”還原．然而，由于各個“民族數(shù)學(xué)”相對主流的學(xué)校標準數(shù)學(xué)之間的不同層次的差異，在將標準數(shù)學(xué)向“民族數(shù)學(xué)”的還原過程中，很容易遇到很多現(xiàn)實的困難，比如“（在苗族、侗族的母語中）很多簡單的數(shù)學(xué)概念很難（甚至不能）用民族語言準確地加以表達”[7]，有些漢語數(shù)學(xué)術(shù)語翻譯成少數(shù)民族語言而失去了原有內(nèi)含的數(shù)學(xué)涵義（如“正方體”翻譯成維吾爾族語后只是一個抽象的數(shù)學(xué)符號而已[9]）．很顯然，“還原”不是根本的解決之道．如果不辯證地看文化背景和數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)系，就盲目地排斥“標準數(shù)學(xué)”，這樣的結(jié)果常常就將民族數(shù)學(xué)教育置于比較狹隘的境地，而“民族數(shù)學(xué)”也不能得到發(fā)展．

事實上，上述矛盾就數(shù)學(xué)本身發(fā)展來說，也是存在的．數(shù)學(xué)一方面具有統(tǒng)一性，另一方面又具有文化背景的多元性．從柏拉圖開始，數(shù)學(xué)家們就在追求超越現(xiàn)實與經(jīng)驗的數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，數(shù)學(xué)被作為理念世界里的對象．即使當代數(shù)學(xué)面臨被越來越多的分支所分解的時候，大數(shù)學(xué)家希爾伯特在他那著名演講——《數(shù)學(xué)問題》中仍然強調(diào)“數(shù)學(xué)科學(xué)是一個不可分割的整體，它的生命力正是在于各個部分之間的聯(lián)系”[10]．數(shù)學(xué)的這種統(tǒng)一性，是人們理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．今天的數(shù)學(xué)家們似乎理解著同樣的數(shù)學(xué)，甚至用同樣的數(shù)學(xué)語言來表達數(shù)學(xué)．語言是思維的載體，因此在一定程度上甚至可以說，今天的數(shù)學(xué)家是以同樣的思維方式在思考數(shù)學(xué)、發(fā)展數(shù)學(xué)．但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展又是根植于多元化的文化背景，數(shù)學(xué)中有著多元的文化基因．這一點至少可以基于以下兩個方面的事實：第一，數(shù)學(xué)是在不同的文化系統(tǒng)中發(fā)展起來的，在漫長的發(fā)展歷史中，不同的文化傳統(tǒng)仍然深深融于當代數(shù)學(xué)，比如即使今天數(shù)學(xué)被人們普遍認為是希臘傳統(tǒng)意義下的數(shù)學(xué)，然而中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的算法精神仍然深深影響現(xiàn)代數(shù)學(xué)．吳文俊先生的“機器證明”就是中國傳統(tǒng)的算法精神在當代數(shù)學(xué)發(fā)展中成功的典范．第二，今日社會數(shù)學(xué)家們?nèi)匀惶幵诓煌奈幕瘋鹘y(tǒng)中，他們理解數(shù)學(xué)的方式和思維方式常常與自己的文化傳統(tǒng)密切聯(lián)系．

今天所討論的民族數(shù)學(xué)教育中的矛盾，大概可以看成是數(shù)學(xué)統(tǒng)一性與其生存和發(fā)展的文化背景的多元性之間的矛盾投射到數(shù)學(xué)教育中的情形．因此，在研究民族數(shù)學(xué)教育時，不僅要注意到民族數(shù)學(xué)教育向“民族數(shù)學(xué)”還原的經(jīng)驗性一面，從而奠定民族數(shù)學(xué)的根基，但另一面也要注意“民族數(shù)學(xué)”與“標準數(shù)學(xué)”之間的互動，從而實現(xiàn)民族數(shù)學(xué)及其教育的超越．對于前一點，似乎已經(jīng)成為“民族數(shù)學(xué)”及其教育研究的主要特點與趨勢，正如文[11]中總結(jié)了民族數(shù)學(xué)研究的特點和趨勢：強調(diào)“民族數(shù)學(xué)”的田野研究；課堂教學(xué)中“民族數(shù)學(xué)”的運用突出教學(xué)內(nèi)容的現(xiàn)實化、生活化，縮小與學(xué)生的生活之間的差距；在教師培訓(xùn)中也要突出“民族數(shù)學(xué)”的應(yīng)用．而對于后一點，似乎人們較少關(guān)注到，而這里則從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史角度來尋求對民族數(shù)學(xué)超越性方面的啟示．

3 數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的經(jīng)驗性及其超越性

回溯數(shù)學(xué)早期發(fā)展的廣闊歷史，可以看到數(shù)學(xué)最早從人們生產(chǎn)、生活以及文化中發(fā)展的線索，比如：狩獵中產(chǎn)生數(shù)量，結(jié)繩記事中產(chǎn)生了數(shù)，宗教圖騰崇拜中產(chǎn)生了各種圖形的建構(gòu)，從測量中產(chǎn)生了早期的計量數(shù)學(xué)，以及器皿制作、建筑、繪畫裝飾等都可以看到數(shù)學(xué)元素的產(chǎn)生．這些數(shù)學(xué)的原始形成與今天“民俗數(shù)學(xué)”研究中所考察的一些少數(shù)民族藝術(shù)品中所蘊含的“數(shù)學(xué)”知識一樣，具有不同地區(qū)的、濃厚的本土文化和生活藝術(shù)化的特點，比如：非洲一些民族的門板、座椅、面具中所展現(xiàn)出的通過幾何變換所揭示出的圖形[12]；中國苗族、侗族等少數(shù)民族的服飾、鼓樓、建筑等以及生活、生產(chǎn)實踐中蘊含著大量的數(shù)學(xué)知識[7]，等等．可見，民族數(shù)學(xué)及其教育的研究突出了民族數(shù)學(xué)與少數(shù)民族獨特的生產(chǎn)實踐文化的聯(lián)系，具有突出的實踐性和經(jīng)驗性，這與人類數(shù)學(xué)早期發(fā)展具有很多的相似之處．因此，民族數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與主流數(shù)學(xué)的源頭是有共性的，那么其發(fā)展的特點和路徑也應(yīng)該有相似或啟發(fā)借鑒之處．

為此，這里聚焦對“河谷文明（主要是指興起于埃及、美索不達米亞、中國和印度等地域的古代文明）”中數(shù)學(xué)早期發(fā)展的歷史的分析．數(shù)學(xué)首先沿著河谷地區(qū)基于農(nóng)業(yè)文明而發(fā)展起來的，是與生成實踐緊密結(jié)合的數(shù)學(xué)早期發(fā)展的形態(tài)．河谷文明不同地區(qū)的數(shù)學(xué)發(fā)展具有較大的共同性．這里以埃及為例分析河谷文明中數(shù)學(xué)發(fā)展的特點．

古埃及人依靠廣闊的地理屏障和尼羅河兩岸的沃土創(chuàng)造了燦爛的古埃及文明，古埃及數(shù)學(xué)是其文明的重要組成部分．古埃及文明以古老的象形文字和金字塔為象征，其中都蘊含著古埃及的數(shù)學(xué)知識．首先古埃及人用象形文字把數(shù)學(xué)問題記錄在紙草書中得以保存，通過這些各種各樣的數(shù)學(xué)問題使人們知道埃及人懂得哪些數(shù)學(xué)知識，也通過這些問題的背景知道埃及人的數(shù)學(xué)是用來做什么的．翻開今天的數(shù)學(xué)史書籍，可以知道古埃及創(chuàng)立了象形文字的十進制記數(shù)系統(tǒng)，并且發(fā)明了頗有特色的單位分數(shù)，以此為基礎(chǔ)，他們發(fā)展了復(fù)雜的計算系統(tǒng)，并嫻熟地運用于生產(chǎn)生活實踐中，顯示了古代埃及人復(fù)雜而高超的計算能力．當然，也有一些問題屬于今天的所謂代數(shù)范疇，其方程解法的“假位法”本質(zhì)上是一種經(jīng)驗化的，通過代入驗證的方式來求解．幾何成就則主要表現(xiàn)為各種圖形的面積和立體的體積計算公式，這與當時丈量土地、谷堆體積和建筑計算有關(guān)．總之，這些數(shù)學(xué)成就無論是知識背景還是內(nèi)容似乎一致地指向了埃及農(nóng)業(yè)社會的生產(chǎn)實踐，這與今天很多民族數(shù)學(xué)與其生產(chǎn)實踐背景的關(guān)系很相似．

埃及文明很輝煌，但數(shù)學(xué)發(fā)展總體上是初等的水平，埃及數(shù)學(xué)知識在埃及文明發(fā)展過程中保持了一種“靜止特性”，“（埃及數(shù)學(xué)）就像傳家寶一樣世代相傳，在數(shù)千年漫長的歲月中很少變化”[10]．波耶說：“埃及紙草書中所顯示出的數(shù)學(xué)知識，大多數(shù)是實用性的，而且，計算是這些問題的主要元素，……而不是為了方便理解．”[13]“找不到任何證據(jù)說明古埃及人已經(jīng)了解勾股定理哪怕是其特例．”[10]上述論斷告訴人們：即使有金字塔建筑的輝煌，并且顯示出高超的數(shù)學(xué)技術(shù)（如嘆為觀止的計算精確性），但是仍然可以說埃及數(shù)學(xué)在超越性方面存在局限，或者說找不到數(shù)學(xué)超越經(jīng)驗的證據(jù)．在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史過中，應(yīng)該看到數(shù)學(xué)發(fā)展的超越性本質(zhì)．

從數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，數(shù)學(xué)有3方面的超越性：第一，對經(jīng)驗對象的抽象性超越，也就是說，盡管數(shù)學(xué)對象是從現(xiàn)實中、經(jīng)驗對象中歸納或者抽象出來，但最終是要脫離于經(jīng)驗對象的依附，使其成為獨立的數(shù)學(xué)對象，這樣對數(shù)學(xué)的理解才能達到抽象的水平．只有在對數(shù)學(xué)對象抽象理解的水平上，才能夠進一步探討數(shù)學(xué)對象的形式和關(guān)系，這也是數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用性的根本原因．數(shù)學(xué)對象的抽象超越性在原始的數(shù)學(xué)知識中已經(jīng)表現(xiàn)出來，哪怕是埃及紙草書中的數(shù)學(xué)問題，已經(jīng)開始討論數(shù)量關(guān)系的問題．第二，對經(jīng)驗活動的純粹化超越，即數(shù)學(xué)的目的不僅僅是為了生產(chǎn)生活，而且還可以“為了理解”．這是數(shù)學(xué)為了純粹思想的目的，也就是通過數(shù)學(xué)關(guān)系去理解世界，以數(shù)學(xué)關(guān)系為對象進行純粹的思考，發(fā)展人的洞察力．對于這一點，相對于埃及數(shù)學(xué)來說，畢達哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的觀點正好與之對照，以純粹目的來建立數(shù)學(xué)的“理念世界”正好是古希臘數(shù)學(xué)的目的，這或許也蘊含了希臘數(shù)學(xué)能超越埃及數(shù)學(xué)的一個重要原因．第三，對思維方式的超越，這是指通過主體思維對數(shù)學(xué)對象的思考活動，不斷改進數(shù)學(xué)思考的方法，表現(xiàn)為數(shù)學(xué)對象的逐級抽象，數(shù)學(xué)算法的改進以及數(shù)學(xué)方法的變革，等等，從而促進人自身思維方式的不斷超越，從而表現(xiàn)為人的智力水平的提高．前兩者都是主體對于客體認知上的超越，而這一點卻是對主體自身的超越．人類的科學(xué)文明之所以發(fā)展到今天如此高的文化，與數(shù)學(xué)和其他科學(xué)帶來人類自身的思維方式不斷變革和提升有著重要的聯(lián)系．著名數(shù)學(xué)史家波耶說：“20世紀的數(shù)學(xué)，已經(jīng)發(fā)展成為一種高深復(fù)雜、頗難定義的智力活動．很多如今認為是數(shù)學(xué)的課題，最初都是人們集中思考數(shù)、量、形等概念所帶來的產(chǎn)物．”[13]這一論斷就揭示了數(shù)學(xué)智力超越性的數(shù)學(xué)活動本質(zhì)．盡管考古學(xué)和解剖學(xué)告訴人們，古人和今人在生理意義上的智力天賦——大腦結(jié)構(gòu)并沒有多少差異，但是數(shù)學(xué)和科學(xué)給人帶來思維方式的差異，卻使得現(xiàn)代人的智力水平比古代人有了顯著的提高．思維方式對于數(shù)學(xué)發(fā)展的重要性從埃及數(shù)學(xué)發(fā)展的局限性中也可以看出來，埃及數(shù)學(xué)不僅由于缺乏了對數(shù)學(xué)經(jīng)驗活動的純粹性超越，使他們的數(shù)學(xué)未能像古希臘數(shù)學(xué)那樣走上嶄新的、理性數(shù)學(xué)的道路，而且由于諸如帶有單位分數(shù)的運算系統(tǒng)，盡管有著令人驚訝的復(fù)雜性，但是埃及人卻未能改進算法，超越繁雜的運算系統(tǒng)，從而讓數(shù)學(xué)為人提供改進思維方式的機會．

4 民族數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展的超越性路徑

數(shù)學(xué)的發(fā)展與產(chǎn)生它的文化背景密切聯(lián)系，這是研究民族數(shù)學(xué)的出發(fā)點．從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史來看，數(shù)學(xué)既根植于產(chǎn)生它的文化背景，同時又超越特定的文化背景，成為具有普遍意義的文化新形態(tài)．推廣至數(shù)學(xué)教育來說，一方面，要把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與學(xué)生的文化背景聯(lián)系起來，另一方面又要實現(xiàn)對“民族數(shù)學(xué)”的文化超越，在更廣闊的意義上發(fā)展民族數(shù)學(xué)教育．下面就從數(shù)學(xué)發(fā)展的超越性本質(zhì)來討論民族數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展在超越性方面的要求和路徑．

（1）對基于民族文化背景中具有數(shù)學(xué)特征的對象進行數(shù)學(xué)抽象，實現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的抽象性超越．

數(shù)學(xué)對象是從生活與文化背景中建構(gòu)出來的對象，這是一種數(shù)學(xué)對象的抽象性超越．今天民族生活和文化背景中有很多具有數(shù)學(xué)意義的對象，但這些對象與它的現(xiàn)實原型并沒有分離，比如非洲的民族生活中有各種圖案，而這些圖案中蘊含著多種數(shù)學(xué)變換，并被作為其民俗數(shù)學(xué)的一個部分[12]．但是，圖案終歸不是變換，只有把這些圖案中所蘊含的數(shù)學(xué)變換的意義解釋出來，并經(jīng)過重新建構(gòu)才能成為民俗數(shù)學(xué)的一部分，也才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)對象的抽象性超越．在中國“苗族、侗族的母語就不能準確地表達分數(shù)、小數(shù)、正數(shù)、負數(shù)等有關(guān)數(shù)的概念，也不能準確表達垂直、平行、直角三角形、正方形、長方形、平行四邊形等有關(guān)幾何概念”[7]，但這些民族文化中也一定有表示這些對象的方式和方法，找到這些具體數(shù)學(xué)特征的對象或方式方法，經(jīng)過抽象化重構(gòu)，變成民俗數(shù)學(xué)的對象，才能完成民族數(shù)學(xué)對經(jīng)驗對象的超越．在重構(gòu)這些民族數(shù)學(xué)中的對象時，應(yīng)該基于民族文化和語言自身特點，才能建構(gòu)這些具有獨特文化背景的數(shù)學(xué)對象，這樣，民族數(shù)學(xué)就可以超越民族文化中數(shù)學(xué)的經(jīng)驗水平，使數(shù)學(xué)對象在少數(shù)民族生產(chǎn)實踐活動具有更廣泛的意義和適用性．

（2）對民族生產(chǎn)實踐中經(jīng)驗活動的超越，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的理性價值．

數(shù)學(xué)早期的發(fā)展，經(jīng)驗性是數(shù)學(xué)的一個基本特點，數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性不僅意味著生產(chǎn)實踐產(chǎn)生著數(shù)學(xué)，而且也通過它保存和傳播數(shù)學(xué)知識．數(shù)學(xué)的經(jīng)驗性也是今天民族數(shù)學(xué)的顯著特征．很多研究就是從不同文化系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)基于社會生產(chǎn)生活實踐所創(chuàng)造的具有民族文化特色的數(shù)學(xué)形式．比如，中國關(guān)于侗族、苗族文化中的數(shù)學(xué)[7，14]；南美洲的土著民族有自己的數(shù)學(xué)，包括記數(shù)系統(tǒng)和計算方法，幾何意義和圖形概念等[1]．這些研究揭示了民族數(shù)學(xué)的形式以及相應(yīng)的生產(chǎn)、學(xué)習(xí)和傳播與少數(shù)民族中的民族文化和生產(chǎn)實踐的密切聯(lián)系，揭示了民族數(shù)學(xué)產(chǎn)生的根源和動力，無疑這些研究是重要的．但是，硬幣分為兩面，當人們在關(guān)注民族數(shù)學(xué)向民族文化背景的轉(zhuǎn)移，突出數(shù)學(xué)文化的本土化的時候，更多體現(xiàn)了民族數(shù)學(xué)及其教育的實踐性和經(jīng)驗性，常常缺失了數(shù)學(xué)對經(jīng)驗活動超越方面的討論．

怎樣來發(fā)展民族數(shù)學(xué)及其教育對經(jīng)驗活動的超越呢？民族文化有超越經(jīng)驗性的基因嗎？文化的本質(zhì)有超越經(jīng)驗活動的特性，這就體現(xiàn)在文化更多是關(guān)乎人的精神層面的內(nèi)容．對于數(shù)學(xué)來說，文化的超越性體現(xiàn)在數(shù)學(xué)對人所彰顯出的理性精神的價值．如果把數(shù)學(xué)退回到生活數(shù)學(xué)、實用數(shù)學(xué)，那么數(shù)學(xué)作為精神層面的理性文化價值既不能得到彰顯，又對民族文化不能增添有價值的內(nèi)涵．數(shù)學(xué)對經(jīng)驗活動的超越是指數(shù)學(xué)作為純粹思想的一面，是為了得到對世界的深入理解．數(shù)學(xué)如果缺乏為了理解的目的，它也就缺乏了進一步前進的動力．河谷文明時期的數(shù)學(xué)之所以未能完成對經(jīng)驗活動的超越（包括中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展也有類似的情形），其文化中缺乏理性精神追求是一個重要的原因．對于今天的民族數(shù)學(xué)教育來說，有了河谷文明時期數(shù)學(xué)發(fā)展的借鑒，對經(jīng)驗活動的超越，應(yīng)該成為民族數(shù)學(xué)及其發(fā)展主動追求的一個目標．

對經(jīng)驗性的超越的方法來說，應(yīng)該更多關(guān)注民族數(shù)學(xué)中已有的對數(shù)學(xué)經(jīng)驗有超越性的內(nèi)容．比如，埃及數(shù)學(xué)中有一個例子就是具有啟發(fā)性的，那就是萊因德紙草書中第79題：7座房，49只貓，343只老鼠，2?401棵麥穗，16?807赫卡特（注：古代埃及的容量單位）．顯然，這個題目并不是實際中的問題，而是數(shù)字有著規(guī)律的、純粹的數(shù)學(xué)題目．有人認為：“這是帶有純粹游戲性質(zhì)的幾何級數(shù)求和的問題．”[10]這個例子啟發(fā)人們，數(shù)學(xué)最初作為純粹的對象是通過融合在如游戲、詩歌這類民族藝術(shù)文化的活動中，而這類活動正好反映了人類的一種純粹化的思想，關(guān)注人的精神層面．數(shù)學(xué)作為純粹的思考對象與人類其他的藝術(shù)形式活動一樣，具有精神追求的意義，而這條道路正是數(shù)學(xué)的理性發(fā)展道路．

（3）對民族數(shù)學(xué)中思維方式的超越，實現(xiàn)數(shù)學(xué)的智育價值．

數(shù)學(xué)在一定意義上是人類智力活動的結(jié)晶，任何一種形式的數(shù)學(xué)都在一定程度上承載了某種特征思維方式，并通過這種數(shù)學(xué)促進人的思維活動方式的發(fā)展．對當今的人類來說，無論是哪一個族群，其智力水平和認知能力都沒有多少差異，特別是從解剖學(xué)意義上來看，全世界的不同人之間的智力天賦實質(zhì)上沒有什么太大的差異．但是，另外一方面，不同人之間在智力和認知上都表現(xiàn)出很大的差異和個性化，這種差異原因在哪里呢？這種差異本質(zhì)上是思維方式上的差異．而數(shù)學(xué)帶給人或者人類來說重要的價值，就是通過人自身的思維活動，不斷改造人的思維方式，從而實現(xiàn)智力水平的超越．埃及數(shù)學(xué)中運算系統(tǒng)的復(fù)雜性，對于今人來說也不能不說是一個巨大的挑戰(zhàn)，說明古埃及人在思維的復(fù)雜程度已經(jīng)達到很高的地步，但是由于缺乏對算法的反思與改進，因而埃及數(shù)學(xué)的思維水平仍然是非常初等的．

怎樣在民族數(shù)學(xué)教育中實現(xiàn)基于民族數(shù)學(xué)對于思維方式的超越呢？首先要對已有民族數(shù)學(xué)內(nèi)容或者新建構(gòu)的民族數(shù)學(xué)內(nèi)容，按照數(shù)學(xué)一般意義上進行分析，這些內(nèi)容在思維方式上存在哪些局限，怎樣在一般意義上進行改造或者重建．今天的數(shù)學(xué)中對于人的思維方式最有價值的是彰顯了諸如“抽象”、“一般化”、“形式化”、“壓縮與逐級抽象”等具有普遍意義的思維方法．作為民族數(shù)學(xué)或者民族數(shù)學(xué)教育的研究學(xué)者，應(yīng)該考慮作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中具有普遍意義的思想方法如何與民族數(shù)學(xué)整合，甚或改造建構(gòu)都是必要的．對于民族數(shù)學(xué)教育來說，就是在民族數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，最重要的還是一般意義的“數(shù)學(xué)思想方法”的學(xué)習(xí)，而不是數(shù)學(xué)形式的還原．這一點是重要的，在討論“民族數(shù)學(xué)”和“民族數(shù)學(xué)教育中，人們可能有意無意地突出后者而忽略前者．在民族數(shù)學(xué)教育及其研究中，如果注意從一般意義上的數(shù)學(xué)思維方法的角度來理解、改造和建構(gòu)民族數(shù)學(xué)，那么不僅對于學(xué)生智力的超越是有意義的，而且有利于民族數(shù)學(xué)的重建．

5 結(jié) 語

正如習(xí)近平總書記在“紀念孔子誕辰2?565周年國際學(xué)術(shù)研討會”上的演講報告中所說：“不忘歷史才能開辟未來，善于繼承才能善于創(chuàng)新．”歷史與現(xiàn)實在一定程度上具有一定的相似性，數(shù)學(xué)歷史對于今天的民族數(shù)學(xué)及其教育也一樣，在一定程度上歷史可以給予人們啟示．

[1] 張奠宙．數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引[M]．南京：江蘇教育出版社，1998．

[2] 陳婷．近十年我國少數(shù)民族數(shù)學(xué)教育研究的回顧與反思[J]．民族教育研究，2013，（6）：121-127．

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[6] 代欽．多元文化形態(tài)下的中國數(shù)學(xué)教育——對中國少數(shù)民族數(shù)學(xué)教育的一些思考[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（2）：2-4．

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Enlightenments on Ethnomathematics and Its Education Development by the History of Mathematics

NING Rui1, 2, ZHANG Hong2

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. School of Mathematics and Software Science, Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610066, China)

There was intrinsic contradiction between cultural diversity of ethnomathematics and standardization of school mathematics. Some realistic difficult situations in ethnomathematics and its education arise from the contradiction. Firstly, this paper discriminated the implication of ethnomathematics and ethnomathematical education. Then it analyzed the realistic background and root cause which result in the difficult situations of ethnomathematics and its education from the perspective of historical similarity. It also analyzed some empirical features in early development of mathematics and three-level transcendence in mathematical development, and discussed some limitations concerning transcendence by taking early mathematical development in Egypt as an example. Finally, it raised the requirements and approaches in three transcendence levels for the development of ethnomathematics and its education.

ethnomathematics; ethnomathematical education; ethnic culture; history of mathematics; transcendence

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G750

A

1004–9894（2017）04–0087–05

2017–03–03

國家自然科學(xué)基金項目——數(shù)學(xué)符號的演變與傳播研究（11471232）；民國時期中外數(shù)學(xué)交流與四川數(shù)學(xué)的發(fā)展（11526018）

寧銳（1972—），男，四川儀隴人，講師，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)史研究．張紅為本文通訊作者．