江蘇省漣水中等專業(yè)學校(223400) 陳 永 ●

對課本中“思考與探索”的再思考、再探索

江蘇省漣水中等專業(yè)學校(223400) 陳 永 ●

一、問題

將圖1中面積為8×8=64的正方形裁剪成圖中標出的四塊幾何圖形，然后重新“拼接”成邊長為5和13的“長方形”(如圖2)它的面積為13×5=65．我們知道:圖形面積是可以分割的，經過移動也是不變的．因此，上述正方形的面積，應該等于把這個正方形分割后拼成的“長方形”的面積，這就出現(xiàn)了“64=65”的結論!這個結論正確嗎?當然不可能．你能用學過的知識解決這個問題嗎?

背景:本題源自義務教育課程標準教科書(江蘇科技出版社)八年級下冊第十一章圖形與證明(一)所給出的“思考與探索”題．直覺和實際的強烈反差，激發(fā)學生強烈的探究欲和學習興趣，通過觀察、實驗、猜想、論證，引領學生體驗邏輯推理證明的必要性．

二、解法探索

分析 在上述問題中，把一個正方形剪成幾塊后，再拼成一個長方形時，面積增加了1，這是為什么呢?原因是這樣的:在圖2中4塊圖形沒有填滿整個長方形，中間還留有一條狹縫，這條狹縫的面積正好是1，它與整個長方形的面積比的比值很小，拼時不易察覺(在圖3中，我們故意把空隙部分畫大了)．因此我們才能錯誤地認為面積增加了1．

怎樣知道圖3中的長方形中間留著空隙呢?其實只要證明A、G、C三點不在同一直線上即可．

方法一:利用勾股定理的知識解決

方法二:利用相似三角形知識解決

方法三:利用三角函數(shù)的知識解決

方法四:利用坐標法解決

建立如圖4的平面直角坐標系，則A(0，5)，G(8，2)，C(13，0)．

設AC的方程為:y=kx+b，

把A(0，5)，C(13，0)代入得:

∴A、G、C三點不在同一直線上．

評價:(1)本題立意新穎，取材貼近學生實際，能立刻引起學生的好奇心，并激起學生探索的欲望，使學生積極主動地投入到問題的解決中去．

(2)通過探求多種解法，可以使學生的基礎知識，基本技能得到訓練，能力得到增強，智力得到開發(fā)．在尋求多種解法時，要引導學生分析，防止亂碰，使問題的解決更有條理．

(3)義務教育的一個重要任務，是讓學生有后續(xù)教育的基礎．因此本題從長遠發(fā)展的角度思考也是很有價值的，即讓學生初步具有解析法的意識．

3．鏈接中考

如圖5，將正方形沿圖中虛線(其中x＜y)剪成①②③④四塊圖形，用這四塊圖形恰能拼成一個矩形(非正方形)．

(1)畫出拼成的矩形的簡圖;

分析 本題的背景是前面的課本中的課題學習題，考查相似三角形的判定、相似三角形的性質及應用;考查學生對圖形的認識以及三點共線的本質屬性的理解．

典型錯誤:(1)拼圖錯誤．比較典型的錯誤有以下幾種:

圖6－1、6－2、6－3必須滿足x+y=y，由于x、y均不為0，顯然不對;圖6－4中的三角形較大直角邊的長為x +y，從而出現(xiàn)直角邊與斜邊相等，顯然也不對．

(2)不能把握拼圖變換過程中“面積不變”這一特點，列不出含有x、y的等式．

解答:(1)如圖7

說明:其它正確拼法可相應賦分．

(2)解法一:由拼圖前后的面積相等得:［(x+y)+y］y =(x+y)2．

四、思考

(1)選擇一個好的課題是成功進行數(shù)學實驗活動探究性教學的關鍵，好的課題應是學生感興趣，能引發(fā)學生的認知沖突，不是難題、怪題和偏題，而是在教師的引導下能夠探索的問題，并且要能體現(xiàn)數(shù)學的價值．

(2)我們常常困惑于難以找到數(shù)學實驗活動探究性學習的素材，其實課本就是我們向學生展開數(shù)學實驗活動探究性學習的不竭源泉．在課堂教學中，我們以課本例習題為生長點，引領學生縱深思考，主動參與，對拓展學生思維水平;培養(yǎng)學生自主探索、自主學習能力將起到不可估量的作用．

(3)觀察、實驗、猜想、論證是提高教學有效性的一種重要模式，它符合人們認識問題、解決問題的一般規(guī)律．在課標教學中，采取直覺加論證的模式，將合情推理與演繹推理相結合，有利于培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力．

(4)測量、觀察、剪拼等探索，能幫助我們發(fā)現(xiàn)一些結論，但是不能替代演繹證明．結論是否正確還需通過演繹證明．

(5)隨著素質教育的不斷深化，為進一步體現(xiàn)《數(shù)學課程標準》的理念，中考命題的趨勢將是“源自教材，但高于教材，題在書外，但根在書里”．因而在課堂解題教學中，需要時刻注意立足教材，回望教材，從教材中提煉數(shù)學思想方法，從而有效地提高學生的學習效率．．

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