林佩珠

(廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

一個電磁感應(yīng)問題的研究

林佩珠

(廣東第二師范學(xué)院物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

本文用Mathematica-10.3對磁場中一個典型的落棒運動問題進行深入研究,先計算加速度、電流和著地時間對金屬棒電阻的依賴關(guān)系, 澄清現(xiàn)有文獻中一處混亂說法. 接著討論該電路中能量的轉(zhuǎn)化問題. 最后研究導(dǎo)軌電阻對金屬棒運動規(guī)律的影響. 數(shù)值結(jié)果表明:由于棒的下落距離不長,軌電阻對金屬棒運動規(guī)律的影響很小.

磁場; 落棒運動; 電磁感應(yīng)

1 引言

磁場對載流導(dǎo)體的作用和電磁感應(yīng)的綜合問題,是大學(xué)電磁學(xué)[1]以及高中電磁學(xué)教學(xué)中一個重要內(nèi)容.為了回避復(fù)雜的數(shù)學(xué),常常把問題理想化:同時忽略回路的所有電阻和摩擦力.然而,過于簡單化有時會掩蓋了物理實質(zhì),容易得出錯誤的論斷.下面問題就是一個有代表性的實例.[2]

圖1 磁場中的金屬棒

如圖1所示,兩根豎直地放置在絕緣地面上的金屬框架.框架的上端接在電容為C的電容器上.框架上有一質(zhì)量為m, 長為l的金屬棒,平行于地面放置,與框架接觸良好無摩擦,棒離地面的高度為h.強度為B的勻強磁場與框架平面相垂直,開始時電容器不帶電.自靜止起將棒釋放,問棒落到地面需多長時間?

這是參考文獻[2](其題目為《電學(xué)中的幾件“怪事”》,以下簡稱文[2])中提出的第五件“怪事”,并冠以副標題“粗看似是變加速,細算卻是勻加速”、給出了如下解法.

ΔU=BlΔv,ΔQ=CBlaΔt,i=CBla,F=CB2l2a.

但是,文獻[2]的以上解法過于簡單化,掩蓋了物理實質(zhì),漏掉了重要的物理過程;所得出的論斷“粗看似是變加速,細算卻是勻加速”是不符合實際的.

本文將對這個問題進行深入的研究,分析造成這件“怪事”的原因.

2 一種簡化的動力學(xué)分析

在文獻[2]所提供的上述解法中,既不計摩擦力,又忽略了回路的電阻,這本身就是一對矛盾,在實際中是難以兼顧的.為了使金屬棒與框架摩擦力可以忽略,棒與框架就不能“夾”得太緊,那么棒與框架的電接觸就不可能如此良好,以致于一點接觸電阻也沒有.

本問題的核心是回路電阻對電磁感應(yīng)進程快慢的影響,而摩擦力的主要作用是抵消一部分重力(從而相當(dāng)于減少了重力加速度,例如把g=9.81m/s2減少為g*=9.75m/s2),所以比較為接近實際的簡單處理方法是:忽略摩擦力和框架(導(dǎo)軌)的電阻,考慮棒和框架的接觸電阻及棒本身的電阻, 記總電阻為R.當(dāng)然,這樣處理會使問題就變得復(fù)雜一點,其解答需要求解微分方程,并作具體的數(shù)值分析,但這樣將有助于還原物理過程,弄清棒的加速度和電流的變化情況,從而弄清楚出現(xiàn)“怪事”的原因.

2.1 動力學(xué)微分方程的解

設(shè)在t時刻,棒的速度為v, 電動勢為E;電流為i,電容器的電荷量為q,電壓為u,則由

可得

(1)

(2)

這是一階常系數(shù)微分方程,利用原題目所給定的初始條件:當(dāng)t=0時,v=0，即E=0,i=0,容易求得其解為

(3)

(4)

即棒的加速度a隨時間t的增加作指數(shù)下降.

對(4)式積分, 可求得速度v和下降高度x隨時間t的變化規(guī)律

(5)

(6)

2.2 運動規(guī)律數(shù)值分析

從(4)式易得:當(dāng)t=0時,a0=g,這是因為棒剛剛釋放時,v=0,棒沒有切割磁感線,沒有安培力.若引入電路時間常數(shù)

(7)

則當(dāng)t?τ時,e-K1t→0,(4)式變?yōu)槲墨I[2]的結(jié)果:

(8)

有了以上參數(shù),并取h=1.2 m和g=9.8m/s2,利用(3)～(6)式,就可以根據(jù)不同R值具體討論金屬棒的加速度a、速度v和下降高度x隨時間t變化的規(guī)律,以及棒落到地面所需的時間.

雖然高度x隨時間t變化的規(guī)律已經(jīng)由(6)式給出,但計算金屬棒落地時間仍然比較復(fù)雜,需要有效的數(shù)值計算,使用Mathematica的找根命令FindRoot可以高精度地求得滿足x(t)=h的tm落地時間. 表1給出了不同電阻對應(yīng)的落地時間tm和5倍時間常數(shù).

表1 4種電阻對應(yīng)的落地時間tm和5倍時間常數(shù)(取g=9.8m/s2,h=1.2m)

圖2給出了4種電阻對應(yīng)的0～0.5s內(nèi)加速度a隨時間t變化的規(guī)律;圖3和圖4分別給出了0～0.5s內(nèi)速度v和金屬棒下降高度x隨時間t變化的規(guī)律.

圖2 對應(yīng)于4種電阻,前0.5s內(nèi)

圖3 對應(yīng)于4種電阻,前0.5s

圖4 對應(yīng)于4種電阻,前0.5s內(nèi)

從表1和圖2可見:由于實際的電路存在著電阻(接觸電阻和金屬棒的電阻),金屬棒下落過程不是勻加速運動而是變加速運動.當(dāng)R=0.5Ω時,棒從釋放到落地的全過程都做變加速運動;即使電阻較小,金屬棒下落的初期也是變加速運動,例如當(dāng)R=0.1Ω時,前面28.2214%的時間內(nèi)都是變加速運動.

2.3 電阻消耗的熱能、能量的轉(zhuǎn)換與守恒

圖5 對應(yīng)于4種電阻,前0.5s內(nèi)

回路電流的第1個效應(yīng)就是在電阻上產(chǎn)生焦耳熱,可通過下式計算

電流的第2個效應(yīng)是給電容器充電,t時刻的儲能為

與此同時,金屬棒動能不斷增加

(11)

Q+EC+T=

(12)

容易驗證,式(12)正好等于勢能減少量mgx(t),這說明在金屬棒下落過程中每時每刻保持著能量守恒,重力對金屬棒所做的功(即勢能減少量)一部分用于電阻發(fā)熱、一部分用于給電容器充電儲能、一部分用于動能的增加.

圖6當(dāng)R=0.5 Ω時, 前0.5s內(nèi)各能量隨時間t的變化規(guī)律.

圖6 當(dāng)R=0.5 Ω時, 前0.5s內(nèi)

3 導(dǎo)軌電阻對金屬棒運動規(guī)律的影響

導(dǎo)軌電阻隨著棒的下落線性增加(回路導(dǎo)線長度線性增長),用R0表示接觸電阻和t=0時刻回路的總電阻,導(dǎo)軌每2m(雙軌)的電阻為κ,則t時刻回路總電阻為R=R0+κ·x(t),這時動力學(xué)方程必須轉(zhuǎn)換為x(t)的微分方程. 由

u=Blv-iR，

得

(13)

這是變系數(shù)三階微分方程,沒有解析解,可使用Mathematica系統(tǒng)的標準數(shù)值解法,[3]其初始條件為x(0)=0，x′(0)=0和x″(0)=g. 當(dāng)κ=0時, (13)式回到不計導(dǎo)軌電阻的情況.

銅的電阻率為0.017 Ω/(m/mm2),考慮到導(dǎo)軌(雙軌)長度為2x(t),如取導(dǎo)線的橫截面為6.8mm2,則κ=0.005Ω/m.當(dāng)R0=1Ω時,取κ=0.005Ω/m和κ=0,加速度隨時間t的變化規(guī)律如圖7所示;當(dāng)R0=0.1Ω時,取κ=0.005Ω/m和κ=0,加速度隨時間t的變化規(guī)律如圖8所示. 為了檢驗數(shù)值解法的可靠性,圖7和圖8也給出了κ=0對應(yīng)的解析解.

由圖7和圖8以及更詳細的計算(不同R0對應(yīng)的數(shù)值結(jié)果,限于篇幅未給出)可得出如下結(jié)論:

(1)κ=0的數(shù)值解(點線)與κ=0的解析解(實線)完全一致,這說明本文的數(shù)值解法是準確可靠的.

圖7 當(dāng)R0=1Ω時導(dǎo)軌電阻對金屬棒加速度的影響

圖8 當(dāng)R0=0.1Ω時導(dǎo)軌電阻對金屬棒加速度的影響

(2) 在R0=0.01Ω～3Ω范圍內(nèi),κ=0.005Ω/m的結(jié)果(長劃線)和κ=0的結(jié)果(點線)起初階段是無差別的,但隨著運動時間的增長(下落高度增大),兩者的差別越來越明顯,切合實際的計算應(yīng)該從式(13)出發(fā).但由于本問題中金屬棒下落距離不長(僅為1.2m, 經(jīng)歷時間為0.5s～0.6s),本文第1節(jié)簡化方法的計算結(jié)果已經(jīng)很好地符合實際.

1 梁燦彬,秦光戎,梁竹健.電磁學(xué)[M].北京: 人民教育出版社,1980:3362-428.

2 王孟寧.電學(xué)中的幾件“怪事”[J].物理通報,2004(1):7.

3 江俊勤. 基于Mathematica的數(shù)字化物理學(xué)[M]. 北京:科學(xué)出版社,2015: 132-136.

4 陶科.電磁感應(yīng)現(xiàn)象中讓人困惑情景的分析討論[J].物理教師，2012(7)：13-14.

廣東省高等學(xué)校物理專業(yè)綜合改革試點項目(9010-15281).

2016-10-30)