章亦邁

G633.6

在高中代數(shù)中有一塊很重要的內(nèi)容，那就是二次函數(shù)。二次函數(shù)概念非常簡單，但它具有豐富的內(nèi)涵和外延?？梢宰鳛楹瘮?shù)來研究，同時(shí)可以結(jié)合圖形來研究。它是最基本的初等函數(shù)，我們可以以它為素材，來研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大（?。┲档刃再|(zhì)，還可建立起二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；結(jié)合圖形，二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，它可以聯(lián)系其它平面曲線討論相互之間的關(guān)系。

我們?cè)诟咧须A段，討論這些形式的體形是非常多見的。二次函數(shù)復(fù)雜的縱橫聯(lián)系，使得圍繞二次函數(shù)可以編制出多種多樣、復(fù)雜多變的數(shù)問題。在高中代數(shù)的函數(shù)及其圖象這一章中，圍繞變化、變量、運(yùn)動(dòng)等蘊(yùn)含著豐富的辯證觀點(diǎn)。通過研究恒量、變量變化和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，我們也能深刻的認(rèn)識(shí)事物變化的哲學(xué)思想，對(duì)我們唯物主義世界觀的建立同樣具有很大的幫助。

一、常量與變量以及在運(yùn)動(dòng)軌跡的體現(xiàn)

我們?cè)谡軐W(xué)的學(xué)習(xí)中，馬克思主義辯證法告訴我們，世界是普遍聯(lián)系的，也是不斷運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的。常量是相對(duì)于某一變化或者某一變量的，是相對(duì)的，世界上沒有絕對(duì)的常量。我們明白了這個(gè)道理，才能理解并準(zhǔn)確假設(shè)其條件，確定參考系。既然運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止時(shí)相對(duì)的，那么相對(duì)的常量也是存在的，而絕對(duì)的常量是不存在的。我們可以以勻加速直線運(yùn)動(dòng)為例，加速度是常量，而時(shí)間和路程是變量；而實(shí)際生活中，絕對(duì)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)是不存在的，而隨時(shí)可能發(fā)生的加速或者急速才是絕對(duì)存在的。這反映在圖像中就呈現(xiàn)出曲線的變化，我們通過曲線的軌跡，可以直觀的呈現(xiàn)在眼前，更好的理解這一數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

在學(xué)習(xí)過程中，我們通過抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式，建立形象的圖像表達(dá)，使我們快速直觀的理解其含義。

二、同一參考系中的運(yùn)動(dòng)與靜止

前面我們討論過，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)與相對(duì)靜止之間的辯證關(guān)系。我們研究速度，路程，時(shí)間的關(guān)系，就必須在同一參考系當(dāng)中。例如我們看y=2xx+5這樣一個(gè)表達(dá)式，可以畫出其圖像，但請(qǐng)想一想，圖像看似靜止，你是否可以畫出完整的圖像呢？顯而易見，你永遠(yuǎn)無法畫出其完整的圖像，因?yàn)樗窍騼啥藷o限延伸的，是不斷運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的，表達(dá)式中變量x、y常量2、5都是在同一參考系中存在的。這一例證，也體現(xiàn)了整體與局部的辯證關(guān)系這一哲學(xué)思想。我們以局部的圖象來表現(xiàn)整體的變化規(guī)律。

三、二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的重要性

高中數(shù)學(xué)階段二次函數(shù)極其重要，想要完全掌握并且運(yùn)用的爐火純青就必須從基礎(chǔ)一點(diǎn)點(diǎn)抓起，循序漸進(jìn)做到得心應(yīng)手。其重要性表現(xiàn)在：

1.知識(shí)點(diǎn)重要，高考出題比重大，出題形式多樣

通常判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，首先觀察它的表達(dá)式，形如其中a不等于零。這個(gè)是它的一般表達(dá)式，另外常用的它還有頂點(diǎn)式跟交點(diǎn)式這兩種，比如f（x）=2（x-1）（x-4）這個(gè)是交點(diǎn)式，1跟4分別是函數(shù)跟x軸的兩個(gè)交點(diǎn)。

（1）利用表達(dá)式透露出的知識(shí)點(diǎn)

函數(shù)表達(dá)式中的abc這三個(gè)參數(shù)決定了函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的曲線是拋物線，以x=-b/2a對(duì)稱軸，以（-b/2a，（4ac-bb）/4a）為定點(diǎn)的坐標(biāo)，還可以根據(jù)函數(shù)二次項(xiàng)參數(shù)a的正負(fù)來判斷曲線的開口方向，當(dāng)參數(shù)a為正數(shù)時(shí)向上參數(shù)a為負(fù)數(shù)時(shí)向下。函數(shù)的判別式為m=bb-4ac，通過判別式中m的符號(hào)斷定曲線跟橫軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，m為正時(shí)是兩個(gè)交點(diǎn)，m為負(fù)時(shí)是沒有交點(diǎn)，m為零時(shí)是一個(gè)交點(diǎn)，也就是兩個(gè)交點(diǎn)重合，曲線相切于橫軸。

以上是基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，我們可以輕松地解決一些簡單的計(jì)算題，比如函數(shù)是二次函數(shù)，知道函數(shù)跟橫軸的交點(diǎn)，我們就可以利用待定系數(shù)法求解函數(shù)的確切表達(dá)式。

（2）二次函數(shù)的單調(diào)性

高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)的學(xué)習(xí)，單調(diào)性是一個(gè)重點(diǎn)出題方向。二次函數(shù)的單調(diào)性以拋物線的對(duì)稱軸為界限，分成兩部分，一邊單調(diào)遞增，一邊單調(diào)遞減。我們學(xué)習(xí)過程中，理解自變量有范圍比較困難，分段函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或遞減，此時(shí)我們利用圖形來分析，形象直觀容易理解。

（3）二次函數(shù)的極值特性

高中數(shù)學(xué)求極值是常見題型，已經(jīng)提到二次函數(shù)的圖像是拋物線，那么對(duì)于不限定自變量范圍的函數(shù)，對(duì)稱軸處的函數(shù)值便是函數(shù)的最大值或者最小值，我們要把函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)了如指掌，做起題來才事半功倍。。

2.二次函數(shù)應(yīng)用廣泛

（1）與一元二次不等式接軌

中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，一元二次不等式的內(nèi)容也是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，這也就要求我們學(xué)習(xí)一元二次函數(shù)要打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。我們根據(jù)一致的不等式求解范圍。第一步首先看判別式。第二步把不等式暫且看做等式，求解出變量值。第三步是依據(jù)二次項(xiàng)正負(fù)判斷開口，畫出大致圖像。最后看圖像找所要求的變量范圍。如果不能掌握二次函數(shù)，對(duì)于此類題目我們就會(huì)束手無策。

（2）與求函數(shù)的定義域、值域相融合

例如：已知函數(shù)y=lg（xx+2mx+2），求：如果函數(shù)的定義域是全部實(shí)數(shù)集，試得出m范圍；如果值域是全部實(shí)數(shù)集，試得出m范圍。

第一問：問題等價(jià)于xx+2mx+2恒大于零，得出m大于負(fù)根號(hào)2小于正根號(hào)2。

第二問：問題等價(jià)于xx+2mx+2大于零恒有解，得出m大于等于根號(hào)2或者m小于等于負(fù)根號(hào)2。

此類問題看似是對(duì)數(shù)函數(shù)，許多同學(xué)看了就犯迷糊，感覺無從下手，主要原因還是對(duì)二次函數(shù)撞我不到位。

四、結(jié)束語：

經(jīng)過以上探討，我們可以看出高中二次函數(shù)不僅是我們?cè)诳荚囍械闹攸c(diǎn)，還與許多相關(guān)知識(shí)點(diǎn)密不可分，若果掌握不到位，就會(huì)影響整個(gè)高中階段數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。更重要的是二次函數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容往往是哲學(xué)思想的體現(xiàn)，在我們整體構(gòu)建數(shù)學(xué)思維上幫助很大，所以二次函數(shù)在我們高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)該重點(diǎn)、熟練掌握。