江蘇省宜興市樹人中學(xué) 黃 堯

勾股定理的發(fā)現(xiàn)及證明方法雜談

江蘇省宜興市樹人中學(xué) 黃 堯

在科學(xué)的殿堂里，對于理論的研究是亙古不息的，不論是哲學(xué)還是自然科學(xué)，對于數(shù)學(xué)而言，更是如此，對于數(shù)學(xué)理論進(jìn)行研究，不僅僅能在數(shù)學(xué)的殿堂里看見光明，更能在現(xiàn)實的應(yīng)用中找到答案。作為一名初中數(shù)學(xué)教師，在閑暇的時間里，頗愛對于數(shù)學(xué)的一些定理進(jìn)行研究，借此文章與大家共勉。

勾股定理；發(fā)現(xiàn)證明

發(fā)現(xiàn)與證明是數(shù)學(xué)研究的兩個基本的主題，數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展正是由于發(fā)現(xiàn)與證明而光彩熠熠的。本文主要對勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程及其證明過程進(jìn)行簡述。

一、勾股定理的發(fā)現(xiàn)

勾股定理是世界數(shù)學(xué)史上的第一個里程碑，但是中西方對于它的發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權(quán)一直存在著爭議。中國對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)最早能追溯到公元前一世紀(jì)的《周髀算經(jīng)》，這本書里面主要涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容是：勾股定理，測量術(shù)與分?jǐn)?shù)運算。書中記載的內(nèi)容是：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！保ā吨荀滤憬?jīng)》上卷二）。

國外對于勾股定理統(tǒng)一稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。傳說中，為了慶祝發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯定理，畢達(dá)哥拉斯的學(xué)派曾經(jīng)宰牛來慶祝。之所以被稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”，是因為大家相信它是由古希臘的數(shù)學(xué)家“畢達(dá)哥拉斯”所發(fā)現(xiàn)的，或者至少是他最先證明的，但是這些說法都沒有十分確切的證據(jù)來支撐，但是由于古希臘的另外一位學(xué)者阿波羅多洛斯寫的一首詩中曾經(jīng)提到過畢達(dá)哥拉斯證明過一個很重要的定理，此時對于是否是勾股定理尚未有明確認(rèn)識，之后的阿特納奧斯，波菲利，第歐根尼，普羅科洛斯等一些學(xué)者根據(jù)阿波羅多洛斯的話進(jìn)行推斷，都相信是由畢達(dá)哥拉斯所證明的，于是在公元三世紀(jì)后，“畢達(dá)哥拉斯定理”便被國外一直沿用至今。

除中國和希臘的發(fā)現(xiàn)之外，古埃及因為能測量直角三角形的土地，在其中有勾股數(shù)的出現(xiàn)，但是尚未有確切的文字證明古埃及人發(fā)現(xiàn)過勾股定理；古巴比倫的一些泥板中已經(jīng)出現(xiàn)了一些很復(fù)雜的，比其他當(dāng)時任何文明都復(fù)雜的勾股數(shù)，故而我們可以知道，古巴比倫人已經(jīng)掌握了一般的勾股定理和勾股數(shù)的公式，這是不容置疑的。對于古印度而言，在印度古書《測繩的法規(guī)》中明確指出了勾股定理：矩形對角線給出的面積，等于長和寬分別給出的面積之和，其中還出現(xiàn)了很多“勾股數(shù)”，即的正整數(shù)解。

上述所涉及勾股定理的發(fā)現(xiàn)，我們可以更進(jìn)一步來探討。其中有的國家提出的勾股數(shù)的發(fā)現(xiàn)無論是多個還是單個，都只能是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的開端，其實并沒有完成科學(xué)假說的提出。單個特殊值處于發(fā)現(xiàn)的最開端，多個特殊值臨近具有結(jié)構(gòu)，但是與發(fā)現(xiàn)假說相差甚遠(yuǎn)。只有提出了勾股定理發(fā)現(xiàn)假說的一般形式，才能稱之為發(fā)現(xiàn)。而中國、希臘和印度都于勾股定理做出了發(fā)現(xiàn)，但在時間上面，中國與希臘相仿，都是在公元前，雖然中國早50年，但是由于古代科學(xué)發(fā)現(xiàn)優(yōu)先權(quán)在時間上以幾十年為基準(zhǔn)，所以兩者的發(fā)現(xiàn)沒有“時間上的差異”。下面筆者將根據(jù)自己對于勾股定理的一些思考，對勾股定理的證明做一些簡論。

二、勾股定理的證明

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)格講究論證的學(xué)科，它的任何結(jié)論都需要人們的邏輯推理來進(jìn)行一步步的證實。未經(jīng)證實的論斷只能是命題，只有經(jīng)過證明的才能叫作定理。對于勾股定理的證明，古今中外有很多人都證明過，直到現(xiàn)在為止仍有人對它進(jìn)行證明。

1.經(jīng)典的證明方法

（1）劉徽的證明

在公元三世紀(jì)，我國古代學(xué)者劉徽注釋了《九章算術(shù)》這一數(shù)學(xué)名著，在其中的卷9《勾股》中載明“勾股各自乘，并而開方除之，既弦”，“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，既弦也”。從上述的表達(dá)中可以看出劉徽是根據(jù)某種圖形，借助出入相補(bǔ)來對勾股定理進(jìn)行證明的。但是劉徽的圖已經(jīng)失傳，后人補(bǔ)繪了許多種圖形來推測劉徽的證明，以十九世紀(jì)清代的數(shù)學(xué)家李銳《勾股算術(shù)細(xì)草》、李潢《九章算術(shù)細(xì)草說》所采用的出入相補(bǔ)圖最為典型。圖1中，a2+b2=Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ+Ⅴ，令Ⅰ→Ⅰ’，Ⅱ→Ⅱ’，Ⅲ→Ⅲ’，Ⅳ→Ⅳ’，Ⅴ→Ⅴ’，其余部分不動，則有a2+b2=Ⅰ’+Ⅱ’+Ⅲ’+Ⅳ’+Ⅴ’，即a2+b2=c2。由此看出劉徽與趙爽是兩種不同的證明方法，劉徽使用的圖驗法，而趙爽后面需要進(jìn)一步的代數(shù)運算。

圖1

（2）歐幾里得的證明方法

現(xiàn)今存在的最早的最完整的證明是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的證明。如圖2，設(shè)正方形AGFB、ACKH與BDEC分別是Rt△ABC三邊上的正方形，連接AE、BK，作AL與DE垂直，并且與BC相交于M，與DE相交于L，用邊角邊判定法可以證明△BKC≌△EAC，但是正方形ACKH的面積是△BKC的2倍，同理，長方形MLEC的面積是△EAC的2倍，故長方形MLEC的面積與正方形ACKH的面積相等。同理可證，正方形AGFB與長方形BDLM的面積相等。于是正方形BDEC的面積等于正方形ACKH與正方形AGFB的面積之和。由此歐幾里得所表述的勾股定理便進(jìn)行了證明。需要注意的是，這里所講的是純粹幾何圖形之間的關(guān)系，并沒有涉及到數(shù)，但是其證明過程卻是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?/p>

圖2

（3）總統(tǒng)證明法

加菲爾德是1876年美國眾議院的議員。他獨立發(fā)現(xiàn)了勾股定理一個很好的證明方法。如圖3，設(shè)BC、AC、AB是任一直角三角形的三邊，在B點做三角形ABC的全等三角形BDE，使C、B、E在同一直線上，可得直角梯形ACED。它的面積S有兩種計算方法，一種是三個直角三角形面積之和，一種是梯形面積公式。即+c2/2。由此可以推出a2+b2=c2。在5年之后，加菲爾德被選為美國第20任總統(tǒng)，但是僅僅任職4個月便遭槍擊，在當(dāng)年的9月份去世。他關(guān)于勾股定理的證明在1882年被發(fā)表，被稱之為總統(tǒng)證法。

圖3

2.證明方法的思考和總結(jié)

勾股定理有多種證明方法，在此筆者就不一一舉例了。這些方法是有規(guī)律可循的，可以簡單分成三類：算法化證明、演繹性證明和代數(shù)計算證明。其中算法化證明以古代中國的證明方法為代表，其所應(yīng)用的“出入相補(bǔ)原理”是我國古代幾何學(xué)最為基本的思想方法。演繹性證明以古希臘的證明方法為代表。代數(shù)計算證明是中西古代數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)合。這些方法之中既結(jié)合了算法思想，又體現(xiàn)了演繹推理。比如上文所說的“總統(tǒng)證法”。在數(shù)學(xué)的殿堂里，勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明對于幾何學(xué)的發(fā)展十分重要，作為平面幾何中的一個基本定理，勾股定理對于解決三角形的問題發(fā)揮著重要的作用，同時它也是中國幾何的根源，中華數(shù)學(xué)的精髓。像開方術(shù)、方程術(shù)、天元術(shù)等方法的誕生和發(fā)展，尋根溯源，都和勾股定理密不可分。在世界上，勾股定理也推動了幾何學(xué)的發(fā)展。

在新課標(biāo)以及教材的更新背景下，教育事業(yè)慢慢開始重視數(shù)學(xué)知識的發(fā)生和發(fā)展過程，其主要目的是為了促進(jìn)學(xué)生的自主探索。作為數(shù)學(xué)教師，我們的能力或許不足以支撐我們像古往今來的數(shù)學(xué)專家那樣發(fā)現(xiàn)、證明數(shù)學(xué)中的定理、公式，但我們卻可以通過自己對新知的不斷探索以及對數(shù)學(xué)理論最新研究成果的關(guān)注，不斷革新自身的相關(guān)理論知識，從而為自己的教學(xué)增添豐富的知識儲備。中考數(shù)學(xué)試卷中，勾股定理的命題題型多樣，分?jǐn)?shù)占比可觀，勾股定理在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性可想而知。為更好地使學(xué)生對勾股定理產(chǎn)生深刻的理解，也為了讓學(xué)生能夠切實掌握勾股定理這一數(shù)學(xué)知識，使他們在中考試題中能夠充分運用這一定理進(jìn)行解題，教師可以對學(xué)生進(jìn)行簡單證明方式的講解，引起學(xué)生對于勾股定理的關(guān)注，教師將自身的知識經(jīng)驗逐漸傳授給學(xué)生，幫助他們更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

[1]陳洪鵬.勾股定理研究[D].遼寧師范大學(xué)，2011.

[2]王鋒.重現(xiàn)數(shù)學(xué)家驗證勾股定理的探究之路[J].中學(xué)生語數(shù)外：初中版，2011.

[3]張程.數(shù)學(xué)活動課《關(guān)于勾股定理的研究》教學(xué)案例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2010.