山東省聊城第一中學(xué) 崔金霞

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系專題講解

山東省聊城第一中學(xué) 崔金霞

一、高考目標(biāo)

（1）能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實(shí)際問題；

（2）進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。

二、要點(diǎn)再現(xiàn)

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

從幾何角度看，可分為三類：有兩個(gè)公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)及沒有公共點(diǎn)。

從代數(shù)角度看，將表示直線的一次方程和表示圓錐曲線的二次方程聯(lián)立成方程組，實(shí)際上是研究方程組解的個(gè)數(shù)問題.通過消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，最終化歸為該方程解的情況。特別提示：二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況。

2.弦長問題

（1）聯(lián)立方程組求兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求解。

（2）若直線的斜率為k,被圓錐曲線截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)為（x1,y1）,(x2,y2),則弦長公式為或

（3）含焦點(diǎn)的弦長問題，要注意應(yīng)用圓錐曲線的定義。

分 析： 設(shè) 橢 圓 截 直 線l于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩 點(diǎn)， 由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0。

計(jì)算完畢后，比較竣工和設(shè)計(jì)標(biāo)高差異值。其中在公式（2）中的可以直接作為實(shí)際施工立模標(biāo)高。正向分析法主要是按照實(shí)際施工的步驟順序進(jìn)行橋梁施工數(shù)據(jù)的分析測(cè)算，合理解決了傳統(tǒng)的倒裝分析法不可避免的橋梁連續(xù)施工混凝土收縮不變的計(jì)算問題[3]。假設(shè)在實(shí)際計(jì)算過程中，橋梁施工單位在第一階段應(yīng)力并沒有通過，也可以及時(shí)進(jìn)行調(diào)整。此外，正向分析法可以充分考慮設(shè)計(jì)資料和相應(yīng)施工方案，對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)工程、施工工作以及后續(xù)的工程監(jiān)管融為一體，保證監(jiān)管工作的現(xiàn)實(shí)性和針對(duì)性。

3.弦的中點(diǎn)問題

（1）先求弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

（2）聯(lián)立成方程組,消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程,然后利用判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。

例3 直線y＝kx－2與拋物線y2＝8x交于A、B不同的兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求k的值。

4.直線與圓錐曲線相離時(shí),求曲線上的點(diǎn)到直線的最短（長）距離

主要求法有：（1）函數(shù)法，（2）數(shù)形結(jié)合法。

例4 在拋物線y2＝4x上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線y=x+3的距離最短。

解法一：在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出拋物線與直線的方程，發(fā)現(xiàn)直線與拋物線相離，最短距離就是拋物線的一條與y=x+3平行的切線到直線y=x+3的距離，從而轉(zhuǎn)化成求切點(diǎn)即為P點(diǎn)坐標(biāo)。

當(dāng)取得最小值時(shí)y0=2，x0=1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）。

3.實(shí)踐活動(dòng)

請(qǐng)你計(jì)算一面少先隊(duì)中隊(duì)旗的面積，需要測(cè)量哪些數(shù)據(jù)。請(qǐng)找一面中隊(duì)旗測(cè)量并計(jì)算。

通過組合圖形的鞏固練習(xí)，讓學(xué)生在實(shí)踐中獲得分塊、加減及割補(bǔ)的方法，并在不斷的思考中將思維引向更深處，使解決問題的能力獲得進(jìn)一步的提高。