亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        一類非線性橢圓方程解的存在性

        2018-04-03 11:30:52陳俊龍楊柳青柴曉娟
        關(guān)鍵詞:方程解柯西正則

        陳俊龍,楊柳青,柴曉娟

        (安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

        1 引言

        設(shè)Ω是RN(N≥2)上一個有界光滑區(qū)域,本文研究如下帶低正則值和退化耗散系數(shù)的非線性橢圓方程解的存在性,

        其中,g∈L1(Ω),p∈(1,N),耗散系數(shù) σ(x)非負(fù)、有界可測,在區(qū)域Ω內(nèi)部至多有限個零點并且滿足如下假設(shè):

        帶低正則值得橢圓方程解的存在性問題一直偏微分方程領(lǐng)域比較熱點的問題.自上世紀(jì)七十年代以來,Stampacchia、Benilan、Brezis等學(xué)者對外力項為可積函數(shù)或一般Radon測度的線性或半線性橢圓方程界的存在性問題進(jìn)行了深入研究[1-4].近年來,圍繞帶低正則值的橢圓、拋物方程解的存在性問題產(chǎn)生了大批新的結(jié)果,參見[5,6,7]及本文第三作者的工作[8].

        帶有退化耗散系數(shù)的橢圓或拋物方程主要產(chǎn)生于非均勻介質(zhì)中擴(kuò)散現(xiàn)象的描述.在文獻(xiàn)[9]中,Cardiroli等學(xué)者研究了g∈L2(Ω)時上述方程弱解的存在性.本文借助文獻(xiàn)[3,4]的思想,研究g∈L1(Ω)時上述方程解存在性問題.

        2 預(yù)備知識和主要結(jié)果

        定義2.1我們稱v∈T10,1(Ω,σ)是方程(1.1)的熵解.如果?k>0,Tk(v)∈W10,p(Ω),且對任意的 φ∈D10,p(Ω,σ)∩L∞(Ω),有

        定理 2.2設(shè)g∈L1(Ω),σ(x)非負(fù)、有界可測,在區(qū)域Ω內(nèi)部至多有限個零點且滿足條件A,則問題(1.1)至少有一個熵解.

        3 定理證明

        設(shè){gn}是光滑的函數(shù)列,在L1(Ω)中收斂于g,且滿足||gn||L1(Ω)≤||g||L1(Ω).考慮如下逼近方程

        由經(jīng)典的橢圓方程解的存在性結(jié)果可知,對于任意給定的 n,方程(3.2)至少有一個解 un∈D10,p(Ω,σ).下面我們建立un的一致估計,進(jìn)而給出原方程解的存在性.令q∈[1,Np/(N+α)),由(3.2)及 Holder不等式可得

        記 q*=Nq/N-q,則?0<ξ≤k,

        取 ξ=k,則?s<Nq/(2N-2q+2α)(>1),

        由(3.3)及 Sobolev嵌入定理知{Tk(un)}是L1(Ω)中的柯西列,因此也是測度意義下的柯西列.由于?δ>0,

        meas{|un-um|>δ}≤meas{|un|>k}+meas{|um|>k}+meas{|Tk(un)-Tk(um)|>δ}.

        結(jié)合(3.5)知{un}是以測度意義下的柯西列.不妨假設(shè)其依測度收斂于函數(shù)u.下面證明{▽un}在測度μ=σdx下是依測度柯西列.?δ>0,

        meas{σ|▽un-▽um|>δ}≤meas{|un-um|>η}+meas{|un-um|≤η,σ|▽un-▽um|>δ}?E1+E2

        由于{un}是以測度柯西列,當(dāng)η充分小時,有E1<ε.另一方面,

        當(dāng) η 充分小時,有 E2<ε.因此{(lán)▽un}在測度 μ=σdx 下是依測度柯西列,且其極限為▽u.取Tk(un-φ)作為試驗函數(shù),其中φ∈D10,p(Ω,σ)∩L∞(Ω),則由(3.2)得

        顯然∫Ωgn·Tk(un-φ)dx→∫Ωg·Tk(un-φ)dx.進(jìn)一步,由于Tk(un-φ)dx在 D10,p(Ω,σ)中弱收斂到 Tk(un-φ),根據(jù) Fatou 引理可推出

        因此u是問題(1.1)的熵解.證畢.

        參考文獻(xiàn):

        〔1〕G.Stampacchia,Equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinus,Presses de l’Universite de Montreal,1966.

        〔2〕Ph.Benilan,H.Brezis,Nonlinear problems related to the Thomas-Fermi equation,J.Evolution Equations 3(2004)673–770.

        〔3〕L.Boccardo,T.Gallou?t,Nonlinearellipticand parabolicequationsinvolvingmeasuredata,J.Funct.Anal.87(1989)149–169.

        〔4〕Ph.Benilan,L.Boccardo,Th.Gallouet,R.Gariepy,M.Pierre,J.L.Vazquez,An L 1-theory of existence and uniqueness of solutions of nonlinear elliptic equations,Ann.Sc.Norm.Super Pisa Cl.Sci.22(4)(1995)51–273.

        〔5〕H.Brezis,M.Marcus,A.C.Ponce,Nonlinear elliptic equations with measures revisited.Mathematical aspects of nonlinear dispersive equations,55--109,Ann.of Math.Stud.,163,Princeton Univ.Press,Princeton,NJ,2007.

        〔6〕L.Boccardo,L.Moreno-Mérida,solutions of nonlinearproblemswithnonhomogeneousNeumann boundary conditions.Milan J.Math.83(2015),no.2,279–293.

        〔7〕L.Francesco,R.Eugénio,S.Vasile Quasilinear elliptic systems with measure data.Nonlinear Anal.154(2017),210–224.

        〔8〕X.Chai,W.Niu,Existence and non-existence results for nonlinear elliptic equations with nonstandard growth.J.Math.Anal.Appl.412(2014)1045–1057.

        〔9〕P.Cardiroli,R.Musina,On a variational degenerate elliptic problem,NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl.7(2000)47–199.

        猜你喜歡
        方程解柯西正則
        Navier-Stokes-Coriolis方程解的長時間存在性
        柯西積分判別法與比較原理的應(yīng)用
        柯西不等式在解題中的應(yīng)用
        柯西不等式的變形及應(yīng)用
        剩余有限Minimax可解群的4階正則自同構(gòu)
        類似于VNL環(huán)的環(huán)
        一類Choquard型方程解的存在性
        柯西不等式的應(yīng)用
        一類Kirchhoff-Poisson方程解的存在性
        有限秩的可解群的正則自同構(gòu)
        日本在线一区二区三区视频观看| 日本视频中文字幕一区在线| 成人国产精品免费网站| 一区二区三区在线乱码| 国产精品美女久久久网av| 国产精品三级在线观看无码| 欧美亚洲国产人妖系列视| 国产精品亚洲精品专区| 人人妻人人澡人人爽欧美一区| 亚洲精品无码不卡在线播放he| 任你躁国产自任一区二区三区| 国语自产啪在线观看对白| 亚洲乱码一区二区三区在线观看| 中国熟妇人妻xxxxx| 亚洲最大无码AV网站观看| 国产伦精品一区二区三区| 性猛交ⅹxxx富婆视频| 久久久久99精品成人片试看| 欧美亚洲另类自拍偷在线拍| 色婷婷久久综合中文蜜桃| 先锋中文字幕在线资源| 亚洲日本va中文字幕久久| 亚洲精品中文字幕尤物综合| 永久免费视频网站在线| 国产精品福利自产拍在线观看| 精品人妻中文av一区二区三区| 视频一区中文字幕日韩| 玩弄少妇人妻中文字幕| 国产山东熟女48嗷嗷叫| 久久91精品国产91久久麻豆| 日本一区二区不卡精品| 国产精品丝袜久久久久久不卡| 精品视频专区| 激情五月开心五月啪啪| 国产成人综合亚洲看片| 精品午夜久久网成年网| 手机免费在线观看日韩av| 18岁日韩内射颜射午夜久久成人| 国产精品久久久久久麻豆一区 | 精品国产乱码一区二区三区| 狂猛欧美激情性xxxx大豆行情|