廣東省佛山市南海區(qū)西樵鎮(zhèn)樵北初級中學(xué)(528211) 許剛

平面幾何入門學(xué)習(xí)困因分析及其教學(xué)策略

廣東省佛山市南海區(qū)西樵鎮(zhèn)樵北初級中學(xué)(528211) 許剛

我們先來看一道題,這是由北師大版教材七年級下冊第四章《三角形》第一節(jié)的課后練習(xí)題.

如圖,一艘輪船按箭頭所示方向行駛,C處有一燈塔,輪船行駛到哪一點(diǎn)時距離燈塔最近?當(dāng)輪船從A點(diǎn)行駛到B點(diǎn)時∠ACB的度數(shù)是多少?

對于剛接觸幾何表達(dá)的七年級學(xué)生來說,以下解答比較常見.

因?yàn)椤螧=180°?70°= 110°,又因?yàn)椤螦+∠B+∠C= 180°,所以∠C=180°?30°?110°=40°.

圖1

在解答過程中,我們發(fā)現(xiàn)該學(xué)生已經(jīng)掌握了一些基本的幾何邏輯推理的方法,掌握了基本的知識點(diǎn),如平角的定義、三角形內(nèi)角和定理等.但我們也發(fā)現(xiàn)該學(xué)生在一些基本的幾何符號表示和推理的嚴(yán)謹(jǐn)性方面仍然出現(xiàn)疏漏.如∠B的表示應(yīng)該寫為∠ABC,∠C的求解過程應(yīng)寫為∠C=180°?∠A?∠ABC=180°?30°?110°=40°等.

在教學(xué)中,對于平面幾何剛?cè)腴T的學(xué)生來講,估計會有相當(dāng)一部分人會犯如上的錯誤.在平面幾何入門學(xué)習(xí)中,由于學(xué)生的身心發(fā)展、思維定勢、以及幾何本身的符號轉(zhuǎn)換、推理嚴(yán)謹(jǐn)?shù)纫蛩氐挠绊?我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中會遇見較多的困難,會對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難情緒,甚至厭倦.作為教學(xué)工作者我們應(yīng)該如何調(diào)整我們的教學(xué)策略,讓學(xué)生在平面幾何入門階段能順利開展學(xué)習(xí),對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)特別是幾何的學(xué)習(xí)保留濃厚的興趣呢?

一.平面幾何入門階段的學(xué)習(xí)困因分析

1.符號意識和抽象思維欠缺,不能準(zhǔn)確對幾何圖形進(jìn)行符號表述.

按照新課程標(biāo)準(zhǔn)要求,在小學(xué)階段,對于圖形的認(rèn)識只需要能用口頭語言進(jìn)行簡單描述.比如:這里有一條線段,它的長度是3cm.這種認(rèn)識只需要文字表達(dá)和數(shù)量上的認(rèn)識.在初中階段,對于線段、直線和射線的表示,要求用大寫字母和小寫字母進(jìn)行表示,并且在表示方式中對于大小寫的運(yùn)用,字母順序等方面都有嚴(yán)格的規(guī)定.符號的運(yùn)用不僅代表了圖形,在一定程度上還體現(xiàn)了圖形的一般性質(zhì).這一方面是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)范要求,另一方面也是為了向更深層次的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),比如負(fù)數(shù)的意義、高中階段的向量等.

字母表示一方面要求學(xué)生掌握表示的方法,更重要的是要求學(xué)生能將圖形轉(zhuǎn)化為字母,這里有一個抽象和符號化的過程.是幾何入門的基礎(chǔ),也是學(xué)生思維發(fā)展的需要.但我們應(yīng)要認(rèn)識到,學(xué)生的思維發(fā)展是有差異的,學(xué)生的接受水平也有差異,因此在教學(xué)中我們會發(fā)現(xiàn)各種各樣的表示錯誤.初學(xué)者中尤其表現(xiàn)在線段、直線、射線的表示,角的表示.

如線段表示中的幾種常見錯誤:線段ab,線段A等;另一中錯誤體現(xiàn)在幾何作圖中的不規(guī)范.如:如下圖,畫直線AC,射線BA,線段BC.

圖2

2.生活經(jīng)驗(yàn)缺乏,難以產(chǎn)生應(yīng)有的幾何直觀.

希爾伯特(Hilbert)在其名著《直觀幾何》一書中所談到的,“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題;可以幫助我們尋求解決問題的思路;可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果”.幾何直觀在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的價值由此可見一般.

圖3

圖4

在七年級《標(biāo)準(zhǔn)》中要求,通過圖形的抽象、性質(zhì)探討,掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識、基本技能,進(jìn)一步發(fā)展空間概念,初步建立幾何直觀.但學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的多少對于幾何直觀的建立有著較大的影響.

比如七年級上冊第四章第4節(jié)“做一做”中設(shè)計活動:如下圖,請估計∠AOB和∠DEF的大小.

學(xué)生可能比較容易比較兩個角度的大小關(guān)系,但對于其數(shù)量的估計會有一定難度.這要求學(xué)生要有一定的生活經(jīng)驗(yàn)和角度度量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ),有一定的幾何直觀感受,才能大致估計出該兩個角度的大小.

再比如,在七年級上第四章有這樣一道習(xí)題.

圖5

圖6

如圖5,∠AOC和∠DOB都是直角.

(1)如果∠DOC=28°,那么∠AOB的度數(shù)是多少?

(2)找出圖5中相等的角.如果∠DOC/=28°,他們還會相等嗎?

(3)若∠DOC越來越小,則∠AOB如何變化?若∠DOC越來越大,則∠AOB又如何變化?

(4)在圖6中利用能夠畫直角的工具再畫一個與∠FOE相等的角.

學(xué)生在解題過程中,對于該題圖形中角之間的關(guān)系模糊不清.∠AOC、∠DOB與∠DOC之間有何關(guān)系?∠AOB與∠DOC之間有何關(guān)系?學(xué)生缺少角度重疊的生活經(jīng)驗(yàn)或空間想象,所以對于角度的和差關(guān)系不能一目了然.不能建立角度之間的數(shù)量關(guān)系,第3問中∠DOC的變化對于∠AOB的影響就更加難以想象了.

就義務(wù)教育學(xué)生心理發(fā)展特征來看,借助直觀圖形支撐數(shù)學(xué)的抽象思維,逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的.

3.幾何語言表達(dá)的符號意識欠缺.

受小學(xué)算術(shù)慣性思維影響,學(xué)生在初步接觸幾何推理或計算的時候,仍然只關(guān)注數(shù)字,缺少符號意識,不能將思維過程用符號表示出來,顯性化.

圖7

如:已知點(diǎn)c是線段AB上一點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),BC= 4cm,DB=7cm,求AB的長度.學(xué)生常見解答為:AB= (7?4)×2+4=10答:AB的長度為10cm.

顯然,該學(xué)生是明白題意,了解中點(diǎn)的概念等知識點(diǎn),也明白其中的線段和差關(guān)系和推理過程,但卻不能將推理用幾何語言表述.數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)具有十分重要的意義.數(shù)學(xué)語言及其使用,是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式.初學(xué)幾何的學(xué)生常常會受到小學(xué)圖形學(xué)習(xí)的初等要求影響,在幾何學(xué)習(xí)中,缺少文字語言、圖形語言和符號語言的轉(zhuǎn)換意識.

4.基本概念、公理和定理的學(xué)習(xí)缺少透徹理解;

在日常教學(xué)中,部分教師為了更加快速講授知識點(diǎn),采取一些簡單直接的方式,如背誦、模仿等進(jìn)行教學(xué),沒有提供足夠的時間和空間讓學(xué)生去感受、實(shí)踐、理解知識,從而造成學(xué)生對知識的一知半解,不能有效遷移.

比如,學(xué)生在學(xué)習(xí)“同位角相等,兩直線平行”的時候,鑒于其逆定理也成立,因此在學(xué)生心目中容易形成“同位角相等”的錯覺,忽略“兩直線平行”的充要條件.

鑒于學(xué)生在平面幾何入門學(xué)習(xí)中可能會涉及到的一些困難和障礙,我們?nèi)绾芜M(jìn)行教學(xué)方式的調(diào)整和教學(xué)意識的轉(zhuǎn)變來幫助學(xué)生呢?

二.平面幾何入門的教學(xué)策略

1.選取盡量多的生活背景,培養(yǎng)學(xué)生從生活物體中抽象幾何圖形的能力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣,培養(yǎng)空間觀念;

維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論指出,兒童發(fā)展的兩種水平:一種是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平;另一種是兒童可能達(dá)到的發(fā)展水平,表現(xiàn)為“兒童還不能獨(dú)立地完成任務(wù),但在成人的幫助下,在集體活動中,通過模仿,卻能夠完成這些任務(wù)”.這兩種水平之間的距離,就是“最近發(fā)展區(qū)”.把握“最近發(fā)展區(qū)”,能加速學(xué)生的發(fā)展.

選取學(xué)生比較熟悉的生活背景作為學(xué)習(xí)的基點(diǎn),在此基礎(chǔ)上進(jìn)行活動、探索、歸納,從而形成概念或幾何事實(shí),這不僅能最大限度激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,也符合學(xué)生發(fā)展的認(rèn)知規(guī)律.

如,在學(xué)習(xí)比較線段大小的時候,可以從比較兩棵樹木的高矮、兩支鉛筆的長短等入手;在學(xué)習(xí)角的概念時,可以出示靜態(tài)的角“剪紙”或動態(tài)的角“建筑的塔架”等.

2.加強(qiáng)識圖、讀圖、畫圖訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀;

幾何學(xué)習(xí)的難點(diǎn)不僅在于演繹推理,而且在于數(shù)學(xué)語言的三種形式(文字語言、圖形語言和符號語言)的轉(zhuǎn)換.在開始幾何學(xué)習(xí)的時候,教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)三種語言轉(zhuǎn)換的滲透,加強(qiáng)識圖、讀圖、畫圖訓(xùn)練.

圖8

圖9

如圖8,AB//DE,AB=DE,BE=CF,請判斷△ABC與△DEF是否全等.

在教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生將題目中的條件用適當(dāng)?shù)姆绞綐?biāo)注在圖中,如圖9.這樣不僅有效將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為圖形語言,也讓條件在圖中更加形象,便于學(xué)生進(jìn)行分析.這是學(xué)習(xí)幾何的一種良好習(xí)慣.

3.加強(qiáng)幾何語言運(yùn)用的示范教學(xué);

學(xué)習(xí)除了需要探索體驗(yàn),思考?xì)w納外,對于初學(xué)者來說,在一些特別注重規(guī)范的地方,模仿也特別的重要.因此,在日常幾何教學(xué)中,我們應(yīng)該注重一些幾何事實(shí)的幾何表達(dá)示范和例題解答的表達(dá)示范.

比如,在學(xué)習(xí)相交線與平行線時,學(xué)生通過大量的實(shí)驗(yàn),在探索、測量、猜想、歸納的基礎(chǔ)上得出“兩直線平行,同位角相等”的幾何事實(shí).該結(jié)論固然重要,但此時我們不能忽略它的幾何語言表達(dá)示范.

如圖10,因?yàn)锳B//CD,所以∠1=∠2在比如,在學(xué)習(xí)全等三角形的時候,對于例題更加應(yīng)該示范過程.如下題.

圖10

圖11

如圖11,AB與CD相交于點(diǎn)O,O是AB的中點(diǎn),∠A=∠B,△AOC與△BOD全等嗎?為什么?

解:△AOC與△BOD全等.原因如下:因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)(已知)所以AO=BO(中點(diǎn)的性質(zhì))又因?yàn)椤螦OC與∠BOD是對頂角所以∠AOC=∠BOD(對頂角相等)在△AOC與△BOD中

所以△AOC～=△BOD(角邊角)

長期的示范教學(xué)再輔以學(xué)生優(yōu)秀作業(yè)展示等方法,將潛移默化地促進(jìn)學(xué)生的幾何表達(dá)意識的形成,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語運(yùn)用能力.

示范的方式可以采取教師課堂板書示范、學(xué)生板演示范、學(xué)生優(yōu)秀作業(yè)展示等方式,要長期堅持,潛移默化地提高學(xué)生的意識,規(guī)范細(xì)節(jié).

4.在幾何推理中引入反例教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生注重邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性.

圖12

圖13

在幾何初學(xué)時,教師和學(xué)生都最頭痛的就是解題過程的表達(dá).對于一些錯誤或不規(guī)范表達(dá),學(xué)生不明就理,認(rèn)為理所當(dāng)然,思路清晰明了,但教師卻看到的是一塌糊涂,亂七八糟.

如圖12,AB//CD,HF和CG分別是∠EHB和∠HCD的平分線.求證:HF//CG.

如圖13,學(xué)生錯解為:

圖14

明顯的錯誤在第③步.學(xué)生在閱讀完題目后,理所當(dāng)然認(rèn)為,只要第②步成立,第③步就一定成立,不需要注明.我們在和學(xué)生講解時,可以引入反例,如果沒有注明角平分線,將會產(chǎn)生什么樣的不同結(jié)果.如圖14,當(dāng)HF,CG有一條不是平分線時,角度的偏移就造成了,HF與CG的不平行.這樣的反例引入,不僅能更加形象的引導(dǎo)學(xué)生注重幾何表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性,還能夠逐漸形成學(xué)生的幾何直觀和空間思維.

5.重視課堂活動,為學(xué)生創(chuàng)造實(shí)踐探索的空間

幾何的學(xué)習(xí)是在文字語言、幾何語言和符號語言相互之間不斷轉(zhuǎn)換的過程.學(xué)生需要積累大量的活動經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn).在教學(xué)中,教師應(yīng)該創(chuàng)造大量的動手操作的實(shí)驗(yàn),提供足夠的空間和時間,讓學(xué)生多從事觀察、測量、拼擺、折疊、畫圖等活動,讓他們獲得足夠的成功的體驗(yàn).比如,在學(xué)習(xí)平行線性質(zhì)的時候,教科書提供了運(yùn)用測量進(jìn)行探索的活動.我們還可以鼓勵學(xué)生利用其他方法進(jìn)行探索,比如剪下一個角看看是否與另一個角重合等.再比如,在驗(yàn)證三角形內(nèi)角和為180度的時,鼓勵學(xué)生嘗試不同方法進(jìn)行驗(yàn)證.可以測量、剪拼、折疊、作輔助線等.

數(shù)學(xué)是一切自然學(xué)科的基礎(chǔ),其獨(dú)有的學(xué)科特性展示其獨(dú)有的魅力.嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)、簡潔,人們也在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中發(fā)現(xiàn)自己的空間想像能力、邏輯思維能力、歸納總結(jié)能力等得到不斷的提升和發(fā)展.平面幾何的學(xué)習(xí)在初中階段能有效的提升這幾種能力.我們應(yīng)該要把好入門關(guān),度好入門關(guān),幫助孩子們順利進(jìn)入幾何之門,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奇幻之美.