江蘇省南京市金陵中學(xué)(210005) 祁云

源于課本題的一道高考題的多種解法

江蘇省南京市金陵中學(xué)(210005) 祁云

三角變換是歷年高考的必考考點之一,也是要求學(xué)生熟練掌握和運用的知識點.以2016年江蘇高考數(shù)學(xué)填空題的第14題為例,題目將三角變換和不等式結(jié)合,有一定的難度:

14.在銳角三角形ABC中,sinA=2sinB sinC,則tanAtanB tanC的最小值是____.

【答案】8.

【解析】注意到題中條件兩邊的次數(shù)不齊,考慮將sinA改寫為sin(B+C),得sinB cosC+cosB sinC= 2sinB sinC.銳角△ABC中,cosB＞0,cosC＞0.在上式的兩側(cè)同時除以cosB cosC,得tanB+tanC=2tanB tanC.此時,條件中僅剩下B與C的關(guān)系,于是將所求式也化為僅和B、C相關(guān).因為

點評:這兩種方法都采用了“消元”的思想.先利用A+B+C=π將三個變量轉(zhuǎn)化為兩個變量B、C,然后方法二是令t=tanB tanC再轉(zhuǎn)化為一個變量,方法三是令t=tanB+tanC再轉(zhuǎn)化為一個變量.難點在于第二步,即如何實現(xiàn)變量形式的統(tǒng)一化.

點評:多元問題除了一元化之外,還可以直接運用基本不等式求得最值.

數(shù)學(xué)必修2第103頁習(xí)題10“已知M(x,y)與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離之比為那么點的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系?”

數(shù)學(xué)選修2-1第51頁例2“求平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比等于2的動點M的軌跡軌跡方程.”的綜合改編.

(1)求tan(α+β)的值;

圖1

(2)求α+2β的值.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)f(x)= x2+2x+b(x∈R)與兩坐標(biāo)軸有三個交點.記過三個交點的圓為圓C.

(1)求實數(shù)b的取值范圍;

(2)求圓C的方程;

(3)圓C是否經(jīng)過定點(與b的取值無關(guān))?證明你的結(jié)論.

數(shù)學(xué)必修2第101頁例3“已知△ABC的頂點A(4,3),B(5,2),C(1,0),求△ABC外接圓的方程.”數(shù)學(xué)必修2第80頁第8題“設(shè)直線y?3=k(x+2).當(dāng)k取任意的實數(shù)時,這樣的直線應(yīng)具有什么共同特點?”的綜合改編.

所以我們在高三這一年的綜合復(fù)習(xí)中,不能僅僅局限于大量的題海中,而是要著眼于課本,回歸教材,將例題習(xí)題真正理解透徹,才能以不變應(yīng)萬變,掌控高考的變化.