廣東省廣州市第97中學(xué)(510260) 林佳娜

整合教學(xué)內(nèi)容實現(xiàn)有效復(fù)習(xí)

廣東省廣州市第97中學(xué)(510260) 林佳娜

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)不是簡單的知識重復(fù),而是再認識、再提高的過程.復(fù)習(xí)中的最大矛盾是時間短、內(nèi)容多,學(xué)生之間的能力差距大.運用教學(xué)內(nèi)容的整合,可以有效地解決這些矛盾.

林少杰老師指出:教材的內(nèi)容從總體上看,有主次之分,枝干之別.因此,內(nèi)容的提煉與整合應(yīng)當成為教學(xué)設(shè)計的核心,削枝強干、優(yōu)化結(jié)構(gòu)應(yīng)當成為教學(xué)設(shè)計的重點;教師應(yīng)建立有效的課內(nèi)技能訓(xùn)練系統(tǒng),在每位學(xué)生都在完成適合自己的任務(wù)的同時,教師利用課內(nèi)的其余時間,從講臺上“解放”出來,走到學(xué)生中去,充分利用“非線性主干結(jié)構(gòu)”為不同的學(xué)生提供不同的“最近發(fā)展區(qū)”;教師要設(shè)計出適合于學(xué)生課內(nèi)外研討的問題系統(tǒng),組織起有效的活動,發(fā)展學(xué)生的潛能.這些觀點正是數(shù)學(xué)教育改革的需要.如今的數(shù)學(xué)教育就是“要建立以促進學(xué)生的全面發(fā)展為本的,以學(xué)科知識體系與人的認知結(jié)構(gòu)的全面整合為中心的課程體系.”對于中考的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí),要求“尤其要抓好初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容(包括基本概念、定理、公式、法則等)的教學(xué),不僅要重視知識和技能學(xué)習(xí)的落實,而且要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程,把握蘊涵其中的的數(shù)學(xué)思想方法,領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精髓和本質(zhì).”因此,我們在中考復(fù)習(xí)中要充分實現(xiàn)學(xué)生認知經(jīng)驗、數(shù)學(xué)知識與社會發(fā)展需求的有機結(jié)合.這就要求我們要更好地把握教材、把握考綱,整合出有利于學(xué)生復(fù)習(xí)的教學(xué)內(nèi)容.本文從系統(tǒng)論的觀點,探討復(fù)習(xí)整合的有效方法與策略.

一、關(guān)于整合教學(xué)內(nèi)容的探索

系統(tǒng)論告訴我們:一個系統(tǒng)的功能不僅取決于它內(nèi)部的要素,更取決于各要素之間的結(jié)構(gòu),具有良好結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),往往會出現(xiàn)“整體大于部分之和”的效果.

對教學(xué)內(nèi)容的整合,就是要把學(xué)科的工具類知識和非工具類的重點知識,整合為學(xué)習(xí)系統(tǒng)的主干.而對于學(xué)科的經(jīng)驗類、非重點內(nèi)容,讓學(xué)生在活動中形成經(jīng)驗和完善知識結(jié)構(gòu),教師只在適當時候點撥.

(一)整體知識的發(fā)散整合

數(shù)學(xué)里的各個概念、各個定理不是各自孤立,互不相干的,而是緊密聯(lián)系、互相制約、互為因果的,并按數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律形成一個嚴謹?shù)目茖W(xué)體系.對整體知識的復(fù)習(xí),教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要,提供給學(xué)生完整的、能夠引起主動學(xué)習(xí)的任務(wù).

1.搭架式.搭建一個“支架”,把系統(tǒng)歸納的責(zé)任還給學(xué)生.

比如,在一章的復(fù)習(xí)前,提出問題:本章書有什么知識點?各知識之間有什么聯(lián)系?等等.要求學(xué)生自己去歸納,用自己的方式去建構(gòu)知識序列.用自己的語言(可以是文字語言、也可以是圖形語言)去描述所學(xué)的定義、定理、規(guī)則,并把它記錄下來,然后給同組的同學(xué)看,他歸結(jié)得對不對,有什么地方可以進行補充、修正.這樣,在同學(xué)的互相指正下,完成對知識系統(tǒng)的整理.

2.主干式.在進行每章書的復(fù)習(xí)時,抓住知識的主干,把枝葉部分留給學(xué)生完成.

例如:圓的知識系統(tǒng)可以由兩種途徑進行復(fù)習(xí):(1)抓性質(zhì)——中心對稱性與軸對稱性,(2)抓關(guān)系——圓與各種圖形的關(guān)系.復(fù)習(xí)時,把這兩個線索抓住了,留給學(xué)生的是按圖索驥.這可以最大限度地留給學(xué)生主動復(fù)習(xí)的機會.

3.主題式.對于具有整體效應(yīng)的知識,在復(fù)習(xí)時提出來加以類化.

例如:初中代數(shù)中有很多“不等于0”的規(guī)定.這些規(guī)定往往是考題里面的難點.這些知識點包括:

(1)分式的分母“不等于零”.

(2)一元一次方程中的一次項系數(shù)“不等于零”.

(3)一元二次方程中二次項系數(shù)“不等于零”.

(4)函數(shù)中有關(guān)系數(shù)“不等于零”.

(5)等比性質(zhì)中“不等于零”的規(guī)定.

這些問題要求學(xué)生自己去把它們挖掘出來,各自舉出相應(yīng)的例子,可以通過小組學(xué)習(xí)完成.

(二)局部知識的關(guān)聯(lián)整合

“非線性”教學(xué)模式強調(diào)“循環(huán)向前”,學(xué)生對整體知識的認識是忽略細節(jié)與技巧,較為粗糙的,要使學(xué)生真正把握知識,就必須設(shè)計有效的對局部知識的強化訓(xùn)練.通過呈現(xiàn)問題,進行有效的訓(xùn)練,要求問題要具備以下特點:(1)目的性明確,有針對性;(2)有啟發(fā)性,能啟迪思維;(3)能活躍氣氛,使興趣加濃.在實踐中,以下的呈現(xiàn)方式是比較有效的:

1.一串問題,一個知識

G.波利亞指出,學(xué)習(xí)解題的最好途徑是自己去發(fā)現(xiàn).在學(xué)習(xí)過程中,教師要為學(xué)生創(chuàng)造一個適合他自己去尋找知識的意境,使學(xué)生經(jīng)常處于“憤”與“悱”的境地,引導(dǎo)學(xué)生去做力所能及的事.“一串問題,一個知識”就是讓學(xué)生體驗做力所能及的事的最好的方法.它主要用于處理重要知識點的不同側(cè)面的理解與熟練運用上.比如:在復(fù)習(xí)“一元二次方程的根的判別式”時,給出問題:

例1:(1)寫出一個兩根之和是1的一元二次方程.

(2)寫出一個兩根之積是1000的一元二次方程.

(3)寫出一個兩根相等的一元二次方程.

(4)試寫出k的值,使含未知數(shù)的方程x2+3x+4k=0在實數(shù)范圍內(nèi)沒有解.

以上問題學(xué)生一看就會,一下子就能寫出自以為正確的答案,例如:寫出(1)的方程:x2?x+1=0.初看:是一元二次方程;根據(jù)韋達定理,兩根之和是1.好象沒有錯.教師先不必點破,讓學(xué)生把結(jié)果展現(xiàn)出來,給全班同學(xué)評判,這時學(xué)生間的一句:“這方程的根的判別式小于0,它根本就沒有實數(shù)根”.學(xué)生恍然大悟,其他同學(xué)也會馬上檢查自己其他各題是否也犯了同樣的錯誤.這比老師講多少遍都有效.

2.一個問題(條件),一串知識

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個特殊的認識過程,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中,學(xué)生需要具備一定的能力,而能力是有層次的,它從簡單到復(fù)雜,從低級到高級,分階段出現(xiàn).提出一個問題(條件),串出一連串的知識.這是最容易檢查學(xué)生的能力到達的層次,從而組織有針對性的強化訓(xùn)練的方法,這對于連帶知識的復(fù)習(xí)很有效.

例2:已知:三點的坐標:(1,?4),(2,?3),(4,5).

(1)求經(jīng)過這三點的拋物線的解析式.

(2)求出拋物線的開口方向,頂點A的坐標和對稱軸.

(3)x取何值時,函數(shù)有最值,最值是多少?

(4)求拋物線與y軸的交點B的坐標.

(5)求拋物線與x軸的交點C、D的坐標.

(6)作出函數(shù)的圖象.

(7)求△ACD和△BCD的面積.

學(xué)生看到這些題目,很容易就一步一步做下去了,學(xué)生做完了,二次函數(shù)的知識點也復(fù)習(xí)得差不多了.這時老師要及時總結(jié)、提升.關(guān)注學(xué)生哪些問題可以過關(guān)、哪些問題沒有過關(guān),并點明解題過程用到的知識和方法.如:這些方法包括:(1)用到待定系數(shù)法,(2)和(3)用到配方法,(4)和(5)用到方程思想,(6)和(7)用到數(shù)形結(jié)合思想.

借助于建構(gòu)主義的觀點,用“一串問題,一個知識”和“一個問題,一串知識”,有效組織學(xué)生的課堂技能訓(xùn)練,教師從講臺上“解放”出來,更多地去關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)困惑,為不同的學(xué)生提供不同的“最近發(fā)展區(qū)”,并給以最及時的引導(dǎo)和幫助.

(三)以數(shù)學(xué)思想方法為主線的整合

經(jīng)常聽到學(xué)生這樣說:“我上課時,例題都能聽明白,但自己做題就不會了”,“同例題類似的題,我會做,一變樣就不會了”.究其原因是學(xué)生并沒有真正理解例題的本質(zhì)及掌握解法的實質(zhì).如果用數(shù)學(xué)的思想方法來指導(dǎo)解題,就能從根本上改變這種狀況.復(fù)習(xí)中可以從以下方面進行數(shù)學(xué)思想方法的整合.

1.突出統(tǒng)帥作用的整合

就是要讓學(xué)生認識到用數(shù)學(xué)思想的高度來總結(jié)學(xué)過的知識,好比用一根線把一串珍珠(知識點)連起來,既有條理,又不易遺忘.如:復(fù)習(xí)平面幾何的“面積、勾股定理”這一章,要建立起各圖形的面積公式之間的聯(lián)系,找出本章的特殊思想方法“割補法”與“等積變形”,用這一思想方法概括,才能達到對知識整合的目的.

2.深刻領(lǐng)會細節(jié)的整合

就是要讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想方法在具體運用上的細微的差別.如:在解一元二次方程和求函數(shù)的最值及代數(shù)證明題都會用到配方法,但它們在運用上是有區(qū)別的,可以通過例題進行對比講解,讓學(xué)生明白它們之間的共同點與差別.

例3:(1)用配方法解方程:2x2+7x?16=0.

(2)用配方法求二次函數(shù)y=2x2+7x?16的頂點坐標.

(3)證明m不論取何值時,方程x2?2(m+1)x+4m?1= 0有兩個不等的實數(shù)根.

同樣是用配方法解題,(1)和(2)對二次項系數(shù)的處理就完全不同,而(3)用到配方法是比較隱蔽的,同時,用配方法是解此題的必經(jīng)之路,需要自己的主動構(gòu)造.

3.經(jīng)歷總結(jié)提高的整合

在中考復(fù)習(xí)進行到一定的階段以后,要強化對以下幾個數(shù)學(xué)思想方法的理解運用:

(1)等價轉(zhuǎn)化的思想.轉(zhuǎn)化是指化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體、化高次為低次、化復(fù)雜為簡單的解題策略.任何數(shù)學(xué)問題都是通過數(shù)或形的逐步轉(zhuǎn)化,從而揭示條件與結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系而使問題獲得解決的.

(2)數(shù)形結(jié)合的思想.“數(shù)”與“形”是密切相關(guān)的兩個數(shù)學(xué)表象,也是數(shù)學(xué)研究的兩大對象.著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過:“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難入微.”在解題中把數(shù)與形有機結(jié)合是優(yōu)化思維品質(zhì)的有效途徑.

求:k滿足什么條件時,這兩個函數(shù)在同一直角坐標系中的圖象有兩個交點.設(shè)這時兩個交點為A、B,試比較∠AOB與90°的大小.

分析:問何時有兩個交點,可以轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程,進一步用判別式得到.而判斷角的大小,就必須通過畫圖,用圖象幫助理解.兩個函數(shù):一個的圖象是直線、另一個是雙曲線.直線是明確的,過一、二、四象限,而求出的雙曲線的k＜16,也就是k值可正可負,導(dǎo)致結(jié)果必須分類.

(3)運用方程的思想.簡單地說就是利用已知條件構(gòu)造方程(組)解題.

例6:如圖,在△ABC中, AB=5,AC=7,∠B=60°,求BC的長.

分析:通過作BC邊上的高,把圖形分成兩個直角三角形,列出方程,馬上可以得解.

圖1

(4)運用分類討論的思想.分類討論的思想在代數(shù)、幾何的學(xué)習(xí)中是常見的,如一元二次方程根的判別式、一次函數(shù)的性質(zhì)、兩個幾何圖形的位置關(guān)系(點和直線、直線與直線、直線和圓)等.在解決數(shù)學(xué)問題時,當研究對象不惟一時,需要對可能出現(xiàn)的情況一一加以討論,這種對事情分情況加以討論的思想,復(fù)習(xí)時要注意對它的研究,要理解什么時候要分類,如何分類.

例7:試判斷關(guān)于x的方程(m2?m?2)x2+2(m?2)x+1=0的根的情況.

分析:對字母系數(shù)的方程ax2+bx+c=0的解,在同一層次上存在兩大類情況:a/=0和a=0.即:在m2?m?2/=0的前提下,即m/=?1且m/=2時,存在第二個層次的3種情況(判別式).在m2?m?2/=0的前提下,即m=?1或m=2時,第二層次中存在2種情況(m值不同,解也不同).

二、整合案例—–函數(shù)的復(fù)習(xí)

(一)整體分析:本部分的知識點包括:平面直角坐標系、常量和變量、函數(shù)概念、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù).結(jié)合復(fù)習(xí)指導(dǎo)書和初三代數(shù)教材,復(fù)習(xí)用5個課時:

第一課時:勾畫本章的知識樹(整體感知和建構(gòu)).通過“平面直角坐標系”和“函數(shù)概念”熟悉對應(yīng)思想.進行平面直角坐標系和函數(shù)自變量取值范圍和求函數(shù)值的局部訓(xùn)練.

第二課時:求函數(shù)的解析式.熟悉對應(yīng)思想—–能根據(jù)問題特點確定用哪種函數(shù)解析式.待定系數(shù)法的局部訓(xùn)練.

第三課時:各類函數(shù)(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù))的圖象與性質(zhì),熟悉用方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想找出圖象與某些圖形(坐標軸或其他)的交點問題.進行求交點和圖形面積的局部訓(xùn)練.

第四課時:數(shù)形結(jié)合研究二次函數(shù)的圖象特點.熟悉配方法求函數(shù)的頂點坐標等.第五課時:函數(shù)知識的綜合運用.

(二)一個課例:—–求函數(shù)的解析式

設(shè)計意圖:這是初三復(fù)習(xí)課中,函數(shù)復(fù)習(xí)的第2節(jié)課.通過本節(jié)課的教學(xué),希望達到以下幾個目的:

1.通過函數(shù)解析式的求解,使學(xué)生熟悉掌握求函數(shù)解析式的幾種方法.

2.理解待定系數(shù)法的實質(zhì),能夠靈活運用待定系數(shù)法解題.

3.熟悉幾類函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,學(xué)會“對號入座”,從而培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣.

教學(xué)過程:

1.提出問題,搭建支架

1.1 求函數(shù)的解析式的方法:

(1)待定系數(shù)法:先根據(jù)函數(shù)的類型,作出假設(shè),設(shè)出式子中的未知系數(shù),再根據(jù)條件求出未知系數(shù),從而寫出這個式子.

(2)圖象信息法:根據(jù)圖象中給出的信息,尋找相關(guān)的條件求解.

(3)題意與圖形結(jié)合法:注意讀懂題意和圖形,挖掘隱含條件,按需要列式求解.

1.2 幾種類型的函數(shù)解析式及其求法:

函數(shù)類型函數(shù)解析式求解條件正比例函數(shù)一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)一般式頂點式交點式

2.局部訓(xùn)練,關(guān)聯(lián)整合

2.1 一串問題,一個知識—–待定系數(shù)法

練習(xí):(1).若正比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(?9,2),則正比例函數(shù)的解析式是____.

(3).若一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A(1,?3),B(3,1),則解析式為____.

(4).一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(2,1)且平行于直線y=2x+3,這個一次函數(shù)的解析式為____.

(5).寫出一個過點(0,3)的函數(shù)的解析式____.

(6).設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(?3,3),且過點(1,1),則此函數(shù)解析式為___.

(7).寫出符合下列圖意的函數(shù)解析式:

2.2 一個問題,一串知識——函數(shù)解析式、自變量取值范圍、圖形面積;數(shù)形結(jié)合法等

例題:

已知直線y=6?x與兩條坐標軸交于點A、B,點P(x,y)在線段AB上,點M的坐標是(4,0),△POM的面積為S.

(1)S與y具有怎樣的函數(shù)關(guān)系?寫出其中自變量y的取值范圍;

圖3

(2)S與x具有怎樣的函數(shù)關(guān)系?寫出其中自變量x的取值范圍;(3)當點P的坐標為何值時,△PMB與△AOP的面積相等?

3.練習(xí)鞏固,總結(jié)提高

3.1 小結(jié):

求函數(shù)解析式時,要注意分清問題是否提供了函數(shù)的類型.如果有,按照類型進行假設(shè),然后用待定系數(shù)法求解;如果沒有,要注意審題,根據(jù)題意去尋找函數(shù)關(guān)系.

3.2 課堂練習(xí):

(1).設(shè)拋物線交x軸于點(?1,0)、(7,0),且過點(3,?8),則此函數(shù)解析式為___.

(2).若直線y=kx+b的圖象平行直線y=?2x+1,并與y軸交于點(0,4),則這條直線的解析式是___.

(3).如圖,在△ABC中,∠C=90°,P為AB上一點,且P不與點A重合,過點P作PE⊥AB交AC邊于E點,E不與點C重合,若AB=10, AC=8,設(shè)AP的長為x,四邊形PECB的周長為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系.并求自變量x的取值范圍.