南雄市第二中學(512400) 黃端鑫

例談初中數(shù)學有關三角函數(shù)應用題的四個模型

南雄市第二中學(512400) 黃端鑫

三角函數(shù)在初中是一個非常重要的函數(shù),用途很廣泛,我們常遇見直角三角形中三邊的關系用勾股定理,而要聯(lián)系角和邊就需要借助三角函數(shù),因此透過三角函數(shù)的定義和本身的意義的考查確實是監(jiān)測學生各方面的知識和能力的好方法.尤其是有關三角函數(shù)應用題在中考試題中時常出現(xiàn),做好此類應用題的解題環(huán)節(jié)是學生取得好成績的關鍵所在.我認為一是加強三角函數(shù)基礎知識的訓練,二是要熟練掌握三角函數(shù)知識應用四個方面的知識模型,這樣一定能做好三角函數(shù)應用的考題的,現(xiàn)舉例分析說明.

圖1

分析Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC,根據(jù)CD=BC?BD可得關于AB的方程,解方程可得.

點評此題考查了解直角三角形的應用-仰角問題,主要是三角函數(shù)的基本概念及運算,關鍵是用數(shù)學知識解決實際問題.我們將這種圖形歸納為一個模型(圖2)

圖2

例2(2015?韶關模擬)如圖3,從A地到B地的公路需經(jīng)過C地,圖中AC=10千米,∠CAB=25°,∠CBA=45°.因城市規(guī)劃的需要,將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路.

圖3

(1)求改直后的公路AB的長;

(2)問公路改直后該路程比原來縮短了多少千米?(精確到0.1)

分析(1)過點C作CD⊥AB與D,根據(jù)AC=10千米,∠CAB=25°,求出CD、AD,根據(jù)∠CBA=25°,求出BD、BC,最后根據(jù)AB=AD+BD列式計算即可,(2)根據(jù)AC=10千米,BC=5.9千米,即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程.

圖4

對于第(1)小題的解答是:如圖4,過點C作CD⊥AB與D,因為AC=10千米,∠CAB=25°,所以CD=sin∠CAB·AC= sin25°×10≈0.42×10=4.2 (千米),AD=cos∠CAB·AC=cos25°×10≈0.91×10= 9.1(千米),因為∠CBA=25°,所以BD=CD=4.2(千米),所以AB=AD+BD=9.1+4.2=13.3(千米).

點評本小題考查了解直角三角形的應用,用到的知識點是三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值,關鍵是作出輔助線,構(gòu)造直角三角形,我們將這種圖形歸納為一個模型(圖5)

圖5

例3(2016?云南昆明)如圖6,大樓AB右側(cè)有一障礙物,在障礙物的旁邊有一幢小樓DE,在小樓的頂端D處測得障礙物邊緣點C的俯角為30°,測得大樓頂端A的仰角為45°(點B,C,E在同一水平直線上),已知AB=80m,DE=10m,求障礙物B,C兩點間的距離(結(jié)果精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù):

圖6

圖7

點評此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題,主要是三角函數(shù)的基本概念及運算,關鍵是用數(shù)學知識解決實際問題.我們將這種圖形歸納為一個模型(圖8)

圖8

例4(2016?湖北黃石)如圖9,為測量一座山峰CF的高度,將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段,每一段山坡近似是“直”的,測得坡長AB=800米,BC=200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.

圖9

(1)求AB段山坡的高度EF;

分析(1)作BH⊥AF于H,在Rt△AHB中根據(jù)正弦的定義可計算出BH的長,從而得到EF的長;(2)先在Rt△CEB中利用∠CBE的正弦計算出CE,然后計算CE和EF的和即可.

圖10

點評此題考查了解直角三角形的應用-坡度與坡角問題:坡度是坡面的鉛直高度和h水平寬度l的比,又叫做坡比,它是一個比值,反映了斜坡的陡峭程度,一般用i表示,常寫成i=h:l的形式.把坡面與水平面的夾角α叫做坡角,坡度i與坡角α之間的關系為:i=tanα.我們將這種圖形歸納為一個模型(圖11)

圖11

總之,在求解有關三角函數(shù)背景下的應用題時,數(shù)形結(jié)合,借助三角函數(shù),通過利用三角函數(shù)的定義和本身的意義,聯(lián)系角和邊的關系,進而解決實際問題.只要掌握了上面4個模型,反復訓練,是很容易做好三角函數(shù)應用的考題的.

[1]《數(shù)學九年級教材下冊》[M],人民教育出版社,2013;

[2]黃李珍,銳角三角函數(shù)的應用分類例談[J],《數(shù)學學習與研究》, 2012,(14).