廣東省佛山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528061) 謝偉帆

高考題引發(fā)的對(duì)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)性質(zhì)思考

廣東省佛山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)(528061) 謝偉帆

A.11B.9C.7D.5

這道題目作為選擇題最后一題,綜合考察了f(x)= sin(ωx+φ)的零點(diǎn)、對(duì)稱軸及單調(diào)性.

做到這里,遇到了問題：對(duì)于每一個(gè)ω,都有滿足題設(shè)條件對(duì)應(yīng)的φ嗎?如果有,該如何確定φ的值,兩個(gè)值都能取,還是只能取其中一個(gè)?觀察③④式發(fā)現(xiàn),只要ω能寫成③的形式,就存在對(duì)應(yīng)的k1,k2,通過④式的計(jì)算可得出對(duì)應(yīng)的φ,因此φ必存在(此時(shí)φ不一定滿足接下來可以利用正弦函數(shù)T=2π找出φ的等價(jià)值,事實(shí)上,φ值只能等價(jià)于二者之一(后文會(huì)解釋).

簡(jiǎn)單來分析,當(dāng)ω＞0(ω/=1)時(shí),要使f(x)= sin(x+φ)的所有零點(diǎn)也是f(x)=sin(ωx+φ)的零點(diǎn),后者的周期必須比前者周期短,易知ω＞1,那么ω會(huì)是整數(shù)嗎?筆者先考慮φ=0,得到定理一.

定理一f(x)=sinx零點(diǎn)為f(x)=sin(ωx)零點(diǎn)的充要條件是ω為整數(shù).

證明充分性f(x)=sinx的所有零點(diǎn)為x=kπ(?k∈Z),則ωx=ωkπ=k1π(k1∈Z),sin(k1π)=0,得證.

必要性 反證法,假設(shè)ω不為整數(shù),f(x)=sinx的零點(diǎn)為x=kπ(?k∈Z),取k=1,x=π,則ωx=ωπ不是π的整數(shù)倍,因此sin(ωx)/=0,與f(x)=sinx的零點(diǎn)為f(x)=sin(ωx)的零點(diǎn)矛盾.

根據(jù)定理一的提示,考慮φ/=0的情況,得到定理二.

定理二f(x)=sin(x+φ)零點(diǎn)為f(x)=sin(ωx+φ)零點(diǎn)的充要條件是(ω∈Z,m∈Z,n∈Z).

證明充分性f(x)=sin(x+φ)的所有零點(diǎn)為x=-φ+k1π(?k1∈Z),則

必要性f(x)=sin(x+φ)的所有零點(diǎn)為x=-φ+k1π(?k1∈Z),因?yàn)閒(x)=sin(x+φ)的零點(diǎn)為f(x)=sin(ωx+φ)的零點(diǎn),所以不恒等于0,與f(x)=sin(x+φ)零點(diǎn)為f(x)=sin(ωx+φ)零點(diǎn)矛盾.

這樣就解決了開始的問題,找到了使得f(x)= sin(x+φ)的所有零點(diǎn)也是f(x)=sin(ωx+φ)的零點(diǎn)的充要條件.那對(duì)稱軸有沒有類似的結(jié)論呢?經(jīng)過筆者的思考,得到定理三.

那么使得f(x)=sin(x+φ)的所有零點(diǎn)是f(x)= sin(ωx+φ)的對(duì)稱軸的充要條件以及f(x)=sin(x+φ)的所有對(duì)稱軸是f(x)=sin(ωx+φ)的零點(diǎn)的充要條件分別又是什么呢?由于證明過程和定理二、三類似,下面的證明過程不再贅述.

定理四f(x)=sin(x+φ)零點(diǎn)為f(x)=sin(ωx+φ)對(duì)稱軸的充要條件是(ω∈Z,m∈Z,n∈Z).

證明略.

通過研究函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的性質(zhì),問題得到解決,但是過程繁雜,那有沒有更簡(jiǎn)單的方法找出φ的取值呢?經(jīng)過思考,發(fā)現(xiàn)中k2-k1與k1+k2的取值是有關(guān)聯(lián)的,由數(shù)論的知識(shí)得

(1)若k2-k1是奇數(shù),則k2,k1為一奇一偶,所以k1+k2必為奇數(shù),這樣也能解釋?duì)罩抵荒艿扔?二者之一,此時(shí)取

(2)若k2-k1是偶數(shù),則k2,k1同為奇數(shù),或者同為偶數(shù),所以k1+k2必為偶數(shù),此時(shí)取

A選項(xiàng)ω=11=1+2×5,k2-k1=5,對(duì)應(yīng)同理可知C選項(xiàng)B、D選項(xiàng)對(duì)應(yīng)這樣能更快捷地找出φ的值.