上海市向明中學(200020) 侯寶坤

以簡馭難
——一道經典例題的深度研讀

上海市向明中學(200020) 侯寶坤

課本例題大多是經過編寫者精心選擇的,有些例題甚至經過幾代人磨礪,被多套教材采用的,是有很大教學價值的問題.放棄對教材例題的引用和挖掘,猶如入寶山而空回.使用教材例題、研究教材例題教學價值應成為教師的自覺行動,同時也應把對教材的閱讀與研究習慣傳輸給學生,培養(yǎng)學生的閱讀習慣,提升自主學習、自我反思的能力.下面就以一道簡單的課本例題來談談怎樣根據(jù)不同學段要求,較為充分的研讀例題,挖掘其所蘊藏知識、方法、思想上教學價值.

例題寫出{1,2,3}的所有子集和真子集.

這道例題在人教版的歷代教材中都有,現(xiàn)在的北師大版、蘇教版、滬教版、湘教版也都引用了這道例題,應該是一道經典的例題.

一、例題本體的深度研讀

1.例題的一般化處理

一般化是促進數(shù)學抽象的需要,是對結論價值、方法應用的深刻理解.一個數(shù)學問題的一般化包括問題呈現(xiàn)形式的一般化、結論一般化和方法一般化.

呈現(xiàn)形式一般化,可以將具體的數(shù)字變成抽象的字母,并將元素的個數(shù)一般化,形成

問題1 寫出{a1,a2,···,an}的所有子集和真子集.

結論一般化,就是對一般化的問題形成的結論,對引例而言就是問題1的結論：有n個元素的集合子集共有2n個,真子集共有2n-1個.這個結論可以讓高一學生通過列舉用不完全歸納法得到,高二、高三則可以作為數(shù)學歸納法的一個例子使用.

方法一般化,就是解決問題的方法是否有一般性,是否有更廣闊的應用價值,這往往是例題最值得研究的地方.

引例按元素個數(shù)和順序找子集的列舉法,是完全可以用到n元集合上,在高一學生的思維最近發(fā)展區(qū),學生完全可以列舉發(fā)現(xiàn)：?,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}ws00uww,{a,d},{b,d},{c,d},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d},{a,b,c,d}

體悟出每增加一個元素,子集個數(shù)增加一倍,新增加的子集就是原來子集再添上新元素形成的,即子集個數(shù)滿足遞推關系an=2an-1.這個方法告訴學生,要學會從問題產生的順序上摸清解題思路,要關注前后聯(lián)系,特別是新對象對問題的影響,形成主動聯(lián)系的學習習慣.

子集個數(shù)問題也是一個裝球入盒問題,是典型的計數(shù)問題.從形成子集的元素個數(shù)分類入手有2n;從某個指定的元素“取”與“不取”兩種狀態(tài)入手,用乘法原理有將問題換個背景,進行跨界處理,也是處理數(shù)學問題的靈活手段,是數(shù)學知識統(tǒng)一性的體現(xiàn),對培養(yǎng)學生普遍聯(lián)系的觀點、拓寬知識面是非常有益的;善于從不同角度研究一個知識也是對知識深刻理解的表現(xiàn),是學習能力提高的表現(xiàn).

2.對例題不足的補充

認知差異使學生對相關概念、方法理解的程度也會不同,有些問題例題中可能沒有涉及,有些可能需要再做些強化,才能使學生有更深透的理解.

對于引例,如想突出和前一節(jié)集合的聯(lián)系,考查集合的互異性,也可以在引例前設計：

問題2{a,2}?{0,1,2},則a=___.

如覺得引例中?會遺忘,經過點明學生會補充,但不一定真理解到?的意義,可以設計：

問題3{x|ax=0}?{1,2},求a的取值.

有人認為上面都是離散的數(shù)集,對象簡單,方法仍是列舉沒有突破,可以設計：

問題4{x|a≤x≤2a+1}?{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍.

如想突破數(shù)集,可以設計：

問題5 非空集合A={(x,y)|y=2x,1≤x≤a},集合B={(x,y)|y=kx,m≤x≤a},若A?B,求實數(shù)k,m應該滿足的條件;

如想突出問題4“取等號”這個細節(jié)以及子集與真子集的區(qū)別,可以設計：

問題6{x|a≤x＜2a+1}?{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍;

問題7{x|a≤x＜2a+1}?{x|-1≤x＜3},求a的取值范圍;

問題8{x|a≤x＜2a+1}{x|-1≤x≤3},求a的取值范圍.

上午9時整，升旗儀式正式開始。隨著鏗鏘有力的號令聲，3名升旗手手擎一面國旗、兩面廠旗，在10名護旗手的護衛(wèi)和干部職工的注目禮下，邁著堅定有力的步伐走向升旗臺。伴隨著雄壯的《中華人民共和國國歌》和催人奮進的《開磷之歌》，國旗與廠旗在莊嚴注目下冉冉升起。砥礪拼搏六十載，開磷披荊斬棘仍舊斗志不減；風雨兼程六十載，開磷歷經滄桑依然奮發(fā)昂揚；崢嶸歲月六十載，開磷牢記使命鐫刻時代豐碑；春華秋實六十載，開磷揚帆筑夢譜寫輝煌華章。

將一個簡單例題演化為相對復雜的同類問題,根據(jù)課堂需求組成問題串,就可以非常到位地幫助初學者建立和理解相關概念,知曉易錯點,初步體會數(shù)學問題產生的途徑,逐步養(yǎng)成關注細節(jié)、大膽列舉、反思探究的良好習慣.

二、前后知識的關聯(lián)性研讀

對例題的研讀不能僅停留在本節(jié)課的理解和設計上,更應當從問題的關聯(lián)性入手,加強知識的前后聯(lián)系,使例題的價值得到更大發(fā)揮.一般可以從知識點的關聯(lián)性和思想方法的關聯(lián)性兩個方面去挖掘加深.

1.知識點的關聯(lián)性

子集與求交、并、補集的運算聯(lián)系較明顯了,有A∩B?A(B)?A∪B,A∩B=A??A?B??A∪B=B,B∪CUA=U??A?B??A∩CUB=?,A∩B=???A?CUB等.在單元復習時,將子集與交、并、補運算結合,可設計綜合問題：

問題9 非空集合A,滿足A?{1,2,3,4,5,6},若x∈A,則必有2x∈A,求所有滿足條件的集合A.

問題10 已知集合A?{1,2,3,4,5,6,7},且A∩{1,2,3,4}={1,2},求所有滿足條件的集合A有多少個?

子集也是集合,所以它的落腳點必然是元素,必然要考慮集合所具備的性質,集合元素的“取”可能更難些,子集的“取”只是元素個數(shù)的問題了,其實集合的交、并、補運算也是怎么“取”元素的問題,所以說“怎么取”才是集合的核心問題,這也是集合與排列組合的聯(lián)系所在.基于這種知識的關聯(lián)性理解,我們可以設計加深子集的理解問題：

問題11 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7},含有元素1的子集有多少個?含有元素6的子集有多少個?所有子集的元素之和是多少?如果A={1,2,···,n}上述問題答案如何?

問題12 將集合A={a1,a2,···,ak},且a1＜a2＜···＜ak,我們稱a1-a2+a3-a4+···+(-1)k-1ak為集合A的交錯和,求{1,2,···,n}所有子集的交錯和的和.

問題12與問題11思路相同,每個元素出現(xiàn)的次數(shù)剛好是剩下的元素所形成的子集個數(shù),為2n-1,和為2n-1(1+2+···+n)=2n-2n(n+1),這個問題高一單元復習可以使用.問題12對于元素1它始終為正,元素i(2≤i≤n)前的“+,-”由它在子集中的位置決定,當從1,2,···,i-1取偶數(shù)個數(shù)在子集中時i為“+”,所以“+”出現(xiàn)次,同樣“-”也出現(xiàn)剛好相互抵消,所以答案為2n-1.這道題考慮元素出現(xiàn)的方法與上面是一樣的,只是用了簡單的組合性質,可以作為高三的復習用題,或者改成較小數(shù)字,成為高一的拓展用題.

2.思想方法的關聯(lián)性

一個例題最重要的價值是,它所蘊藏的思想方法是不是有進一步拓廣的價值.能幫助我們解決相似相關的問題的價值就高,過于關注技巧而沒有一般性的價值就低.引例所涉及的列舉法、從特殊到一般、代表元素法、遞推思想都具有一般性,對其他類似問題具有指導意義,以下舉例的難度稍大,可以作為高年級的課外活動.

列舉法是解決集合、數(shù)列、計數(shù)等復雜問題的有力手段,也是從特殊到一般思想方法的具體體現(xiàn).通過列舉可以發(fā)現(xiàn)結論的規(guī)律性,更為重要的是在列舉的過程中發(fā)現(xiàn)形成這一規(guī)律的原因,從而找到解決問題的辦法;列舉是典型的從特殊到一般的思維方式,從簡單具體的事例出發(fā),發(fā)現(xiàn)并抽象從一般性的規(guī)律,是解決復雜問題的有效手段.譬如下面問題：

問題13 已知集合A={a1,a2,···,an},B={x|x=ai+aj,i/=j,i,j=1,2,···,n},n≥2,求B集合元素個數(shù)的最大、最小值.

解析要使元素少,那么ai+aj出現(xiàn)重復的數(shù)值就要多;要多,重復就少.給我們的問題比較抽象,我們先將問題特殊為An={1,2,···,n}(再慢些用{1},{1,2},{1,2,3}等)來體會,此時Bn={3,4,···,2n-1}共2n-3個元素;如果將最大數(shù)換成n+1,即An={1,2,···,n-1,n+1},此時Bn={3,4,···,2n}增加一個元素,為2n-2;如果將最大數(shù)換成n+2,即An={1,2,···,n-1,n+2},此時Bn={3,4,···,2n+1}又增加一個元素,為2n-1;……,當最大數(shù)換成2n-3,時Bn={3,4,···,3n-4}元素個數(shù)為3n-6;最大數(shù)再變大時B中元素個數(shù)不再增加.我們發(fā)現(xiàn)：

(1)對An={1,2,···,n}最大元素變化時,集合元素個數(shù)從最小2n-3連續(xù)取到最大.

(2)當最大數(shù)字變大時,新集合中數(shù)字與原來由An-1={1,2,···,n-1}形成的Bn-1集合重復元素減少,當An最大值大于Bn-1的最大值后就不再有重復數(shù)字,這時所有這樣的Bn比Bn-1都多n-1個元素.

所以要想元素最多,所取的數(shù)必須不小于前面兩個最大數(shù)的和,如取著名的斐波那契數(shù)列{1,2,3,5,8,13,···}和等比數(shù)列{1,2,4,···,2n-1}構成的集合,它們元素最多,為最少為2n-3.

抽象的也可以簡單證明,元素最多就是所取任意兩數(shù)和都不相等,為如我們所構造的兩個例子,構造法證明存在性就是一般轉化為特殊.下面證明最小：

不妨設a1＜a2＜···＜an,顯然,a1+a2＜a1+a3＜a1+a4＜···＜a1+an＜a2+an＜a3+an＜a4+an＜···＜an-1+an共有2n-3個,如我們構造的An={1,2,···,n}.

如果再更一般的追問：B={x|x=ai+aj,i/=j,i,j= 1,2,···,n}的元素個數(shù)能否取遍2n-3到中的所有整數(shù)?

這時,上面列舉的價值就可以得到充分體現(xiàn)了,利用數(shù)學歸納法,我們只證明第二步：

假設n=k時,集合B元素個數(shù)取遍2k-3到中的所有整數(shù).

當n=k+1時,由發(fā)現(xiàn)(2),此時B元素個數(shù)取遍(2k-3)+k到中的所有整數(shù),即取遍3k-3到中的所有整數(shù);由發(fā)現(xiàn)(1)知,當n=k+1時,B元素個數(shù)取遍2(k+1)-3到3(k+1)-6=3k-3中的所有整數(shù);綜合即知結論成立.

集合是由一類具有共同性質的元素構成的,代表元素法就是選取集合的一個元素作為研究的對象,集中力量研究它的構成和性質,是一種以點帶面的解題方法,是解決抽象集合問題的有效手段.譬如：

問題14 取集合{1,2,3,···,n}的所有含有m個元素的子集,再將子集中的元素從小到大排列,則所有子集的第r個元素的平均數(shù)為多少?

解析本題關鍵在求第r個元素的和,第r個元素前有r-1個元素后有m-r個元素,將第r個元素分類為：r,r+1,···,k,···,n-(m-r),選取代表元素k研究：k前面元素有取法,后面元素有種取法,所以第r個元素是k的集合共有根據(jù)分析,如果按照第r個元素的不同將這些子集分類,根據(jù)加法原理我們有：

值得注意的是,解題過程中要注意分析結論以外的東西,加強對問題條件的理解和應用,盡量產生更多有用有趣的結論,使問題能向縱深發(fā)展.

問題1的解決表明,數(shù)學規(guī)律的發(fā)展通常是有先后順序的,是相互關聯(lián)的.如果能厘清先后關系,找出它們的數(shù)量關系或者變化特征就能使問題得到解決.前后關系中表現(xiàn)最為典型的就是遞推關系和數(shù)學歸納法,它們也是解決與整數(shù)有關問題的有力手段.比如：

問題15 證明：方程x2-2y2=1有無窮多組正整數(shù)解.

解析要證明有無窮多組正整數(shù)解,不可能窮舉,只能構造解的遞推關系,來完成解是可以不斷產生的.首先猜出一組解然后建立遞推關系式

根據(jù)上述推算,由此產生的解是遞增的正整數(shù),且有無數(shù)個.

通過對例題本體性研究,可以促進我們對例題所包含的知識有更為深透的理解;通過一般化研究,可以驗證涉及的方法是否具有更廣闊的前景,同時也加深了對方法的體會,為靈活使用奠定基礎;通過對不足的自覺反思,加強變式研究,促進了對知識的全面升華.

知識關聯(lián)性研究,可以使知識前后連貫,相互關聯(lián),氣勢相通,形成四通八達的網絡結構,使知識更加牢固靈活;同時也可以培養(yǎng)善于聯(lián)想的思維品質.數(shù)學思想方法的關聯(lián)則更為深刻,通過對思想方法的領悟,可以由點及面、由例及類的解決一大片問題,甚至解決與原例相去甚遠乃至面目全非的問題,通過思想方法的關聯(lián)可以培養(yǎng)更有深度和跨度的思考能力,使思維更加通透深刻.