浙江省寧波市第四中學(xué)(315016) 沈盈盈 魏定波

對一類齊二次型最值問題的深究

浙江省寧波市第四中學(xué)(315016) 沈盈盈 魏定波

一、問題再現(xiàn)

對任意不全為0的實(shí)數(shù)x,y,z,證明：

(第二屆陳省身杯全國高中數(shù)學(xué)奧林匹克試題).

二、證明方法

評注對于這類最值問題,我們的解題方向是,借助變量x,y的對稱性,以減少待定系數(shù)法運(yùn)用中的參數(shù)個(gè)數(shù),避免直接用基本不等式湊數(shù)法的不確定性.

例如,若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2=1,則3ab-3bc+ 2c2的最大值為___.(2015浙江省五校聯(lián)考試題.)

分析由3ab-3bc+2c2的結(jié)構(gòu),可以設(shè)

證法三(三角代換法)由于代數(shù)式3xy+yz+zx,x2+y2+2z2關(guān)于x,y對稱,對于最大值來說,不妨設(shè)z≥0,x2+y2+2z2=1.于是有

評注對于類似上例關(guān)于x,y對稱的不等式證明,通過基本不等式與三角函數(shù)的結(jié)合運(yùn)用,避免了一些復(fù)雜方程的變換,不失為解決這類問題的又一個(gè)通性通法.

三、一般結(jié)論

定理1 對△ABC和任意的實(shí)數(shù)x,y,z恒有

證明設(shè)

由于

所以,

上式=[x-(zcosB+ycosC)]2+(zsinB-ysinC)2≥0等號(hào)成立的條件是：zsinB-ysinC=0且x-(zcosB+ycosC)=0.所以,不等式①成立,當(dāng)且僅當(dāng)

三式相加,即可證.在②式中,令a=b=1,得：

四、鏈接高數(shù)

我們用線性代數(shù)中的二次型的相關(guān)知識(shí)對這個(gè)問題進(jìn)行解釋.

定理n元二次型XTAX為半正定的充要條件是：矩陣A的各階順序主子式大于或等于零.

上述問題,等價(jià)于：

求f(x,y,z)=x2+y2+2z2-3axy-ayz-azx≥0恒成立的a的取值范圍.

當(dāng)XTAX為半正定,即

恒成立,由

[1]劉小東.也談“怪異”不等式的證明[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2015(11)：40-41.

[2]姜坤崇.證明陳省身杯一賽題的簡單實(shí)用方法[J].數(shù)學(xué)教學(xué). 2015(10)：36-38.