江蘇省徐州市第一中學(221000) 馬芹

數(shù)學學習與研究不能“跟著感覺走”—“推理與證明”的教學研究和啟發(fā)

江蘇省徐州市第一中學(221000) 馬芹

數(shù)學學習與研究“跟著感覺走”并不是以個例的形式存在,尤其是在學習成績中等及以下的同學身上表現(xiàn)明顯,可以說這是他們學習成績無法取得進步的一個非常重要的因素.這種問題的形成原因與學生的惰性、急于求成等不良習慣有直接關(guān)系,但也與教師的教學認知和習慣有很大關(guān)系.

1問題的提出

在數(shù)學教學中,很多時候教師會發(fā)現(xiàn)一些同學在分析問題、解決問題的時候這樣說：“我覺得是這樣的”.這就是學生數(shù)學學習研究“跟著感覺走”最直接的表現(xiàn)方式,而有這種習慣的學生,一般他的數(shù)學學習能力和成果不會太好,而且這個現(xiàn)象尤其在學困生身上表現(xiàn)更明顯,甚至“胡扯”的解決過程也屢見不鮮.這些情況為什么會出現(xiàn),怎么解決?諸如此類的問題通常都會被“該生學習習慣不好”或“該生學習能力不高”而掩蓋,從而被教師們忽略而未加以深究.但通過對的“推理與證明”教學的研究和發(fā)現(xiàn)猛然敲醒了筆者,故而整理如下,以期拋磚引玉.

2問題的分析

2.1 “推理與證明”教材分析

推理與證明是課程標準中新增加的內(nèi)容.本章內(nèi)容分為“合情推理與演繹推理”、“直接證明與間接證明”、“數(shù)學歸納法”三個部分.

在義務(wù)教育階段的數(shù)學課程中,學生對演繹推理、數(shù)學證明、公理化思想、合情推理等只有初步的認識和體會,本章的主旨意圖是讓學生結(jié)合已經(jīng)學過的數(shù)學實例和生活中的實例,對合情推理、演繹推理以及數(shù)學證明的方法進行概括與總結(jié),體會合情推理、演繹推理以及數(shù)學證明在數(shù)學結(jié)論的發(fā)現(xiàn)、證明與數(shù)學體系建構(gòu)中的作用,從而讓學生進一步加深對推理與證明的理解,掌握推理與證明的基本方法,提高數(shù)學思維能力,形成對數(shù)學較為完整的認識.

2.2 教學實際情況和成果分析

經(jīng)過多個周期的觀察筆者發(fā)現(xiàn),對于推理證明的教學設(shè)計,絕大多數(shù)教師的安排都是把以下幾個方面作為教學目標的重點：能利用歸納和類比等方法進行簡單的推理、能利用分析法、綜合法、反證法解決問題、能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題,實現(xiàn)這些目標的方式一般是通過練習的分析處理來實現(xiàn).而演繹推理一般同推理案例賞析的處理方法相同：賞析、了解就好.

仔細分析,不難發(fā)現(xiàn)這樣的安排實質(zhì)是緊跟高考的指揮棒,考什么教什么,怎么考怎么教.不可否認,無論是從實際出發(fā)還是從實質(zhì)出發(fā),這樣的安排都有一定的道理,因為這些確實是重點.但如果認真細致地研究學生的學習和掌握情況,我們會發(fā)現(xiàn)兩個被我們忽略的問題.一是通過習題的分析和訓練是否能實現(xiàn)教學目標;二是演繹推理我們只要能明白推理形式就可以了嗎?實踐證明這是不行的,從以下兩個案例可見一斑.

案例一(普通高中課程標準實驗教科書選修2-2第72頁第3題第(1)題)把下列推理回復成完全的三段論：因為△ABC三邊的長依次為3,4,5,所以△ABC是直角三角形.

絕大多數(shù)同學給出的解答如下：

直角三角形中a2+b2=c2(大前提)

三角形ABC三邊長為3,4,5(小前提)

△ABC為直角三角形(結(jié)論)

錯誤原因很顯然：他們僅僅只了解了演繹推理的“形”,而未弄清演繹推理的“實”.此處的大前提應(yīng)該改為：若一個三角形的三邊a,b,c滿足a2+b2=c2,則這個三角形是直角三角形.大前提應(yīng)該是由小前提得到結(jié)論的理論依據(jù).

案例二(普通高中課程標準實驗教科書選修2-2第87頁第2題)求證：當a＞1時,.

這道題會有很多同學會這樣寫：要證

只要證

所以

所以a2-1＜a2,所以-1＜0,綜上可知：

本題錯誤原因絕不只是因為一個“懶”字,而是學生根本沒有去思考為什么要寫“要證”、“只要證”之類的文字.

另外,在課本書后練習中,有不少題目考查的是三角、數(shù)列、不等式等部分的知識.這些知識、問題本身就比較靈活,更重要的是學生因?qū)W習時間已經(jīng)過去較久,故而遺忘的東西太多,因此在解決問題時絕大多數(shù)精力都放在知識的回憶中了,怎么可能專心致志地體會本章的知識及運用呢?故而筆者認為本章的重點不是如何解決問題,而是如何應(yīng)用本章的知識去解決問題并弄清應(yīng)用的理由.

2.3 教學實況的深入分析和折射

結(jié)合我們實際的教學經(jīng)驗,我們會發(fā)現(xiàn)不止本章學生有典型錯誤,其它章節(jié)也有很多類似的案例.比如,已知三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱時,有不少學生會這樣用此條件：因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,所以平面ABB1A1⊥平面ABC;又比如,解不等式1時,不少同學這樣解：因為,所以x+1＞1,所以x＞0;再比如,求函數(shù)的減區(qū)間,答案(-1,0)∪(0,1)會“前仆后繼”地出現(xiàn),諸如此類,數(shù)不勝數(shù).

這些都是典型的錯誤,這樣的錯誤遍布各個章節(jié),這樣的錯誤經(jīng)歷無數(shù)遍仍會出現(xiàn),而且最關(guān)鍵的是當這些錯誤出現(xiàn)的時候,會有同學理直氣壯地向老師發(fā)問：“我這兒為什么錯?”.這么顯而易見的問題為何如此難以解決呢?

首先是這些錯誤出現(xiàn)的原因,不是學生因不會而亂寫,而是他們“覺得”對.再者是教師沒有發(fā)現(xiàn)真正的錯因,通常把錯因歸咎于學生“懶”或“習慣不好”.真正的原因不被發(fā)現(xiàn),那錯誤就會一直延續(xù).真正的錯因到底是什么?筆者認為就在“覺得”兩個字上.他們解決問題都是憑感覺,這肯定經(jīng)不住推敲.凡是解決問題“跟著感覺走”的,就沒有考慮每一步推導的理論依據(jù)的習慣,也就是不知道演繹推理中的“大前提”及其作用.

所以本章的內(nèi)容設(shè)置不僅不是可有可無的,反而給“學生的學、教師的教”提供了一個尋根究底、反思總結(jié)的“源”.

3教學的建議

3.1 勿以題練手而忽略對基礎(chǔ)知識本身的思考探索

數(shù)學學習與研究,不做題無疑是不行的,但只做題肯定也是不行的.這不僅僅是說題海戰(zhàn)術(shù)不可取,更重要的是不能讓學生陷入機械地模仿中去.數(shù)學問題的解決過程多數(shù)是演繹推理過程,只是省略了大前提,而這個大前提恰恰就是基礎(chǔ)知識.如果平時只注重“刷題”,忽略對基礎(chǔ)知識的分析、思考,那越來越多的學生就會出現(xiàn)“跟著感覺走”的現(xiàn)象.

3.2 勿以經(jīng)驗為主而忽略對教學資源的再研究發(fā)現(xiàn)

經(jīng)常會有人說經(jīng)驗主義教條主義害死人,但不可否認,一旦我們有了一定的經(jīng)驗,就會不知不覺地從經(jīng)驗出發(fā).為了不陷于此,只是提醒自己,那是遠遠不夠的.我們只有不斷地梳理更新自己的理念,才不會被經(jīng)驗束縛.哪怕是舊資料只要不斷地嘗試從新的角度探討研究,也會有不同的發(fā)現(xiàn).只要追求,總會有收獲.

3.3 勿以本為本而忽略教材資源的開發(fā)、重組和取舍

比如“推理與證明”這一章,筆者是用下面這道題,開始本章的旅程的.

問題已知數(shù)列{an}中,a1=0,an+1=an+(2n-1),求{an}的通項公式.

多數(shù)學生基本和當初剛學數(shù)列時一樣不會用疊加法求解,而是用歸納推理.原來用這個方法的時候是因為無可奈何,但現(xiàn)在學生會高興的發(fā)現(xiàn)這個方法也是很重要的一種數(shù)學思想方法,并且一直到本章結(jié)束學生才能徹底地解決這個問題,不僅達到一線貫穿始終的目的,同時還掌握了歸納猜想證明的數(shù)學思想方法.再例如,進行“直接證明和間接證明”的教學時,在了解熟悉各類方法之后,先不要急于進行書后練習.此時可以把書上的一道例題搬出來,要求學生用三種方法去證明.

題目若a,b,m∈(0,+∞),b＜a,求證:.

證明完成的過程,學生既有“形”的認識,又有“實”的比較,就不會只是感覺和模仿了.

數(shù)學學習與研究中,因為學生的學習習慣或教師的教學方式,有很多學生學習研究會“跟著感覺走”,而“推理與證明”這一章節(jié)為教師和學生提供了一個轉(zhuǎn)變認識、更正習慣的好平臺.正確地引導、研究,讓學生逐漸養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習慣,才能真正有助于發(fā)展學生的數(shù)學思維能力,形成理性思維和科學精神.

[1]江蘇省考試院.2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)說明(M),南京：江蘇鳳凰教育出版社,2014

[2]普通高中課程標準實驗教科書選修2-2數(shù)學(M),江蘇教育出版社,2006.

[3]普通高中課程標準實驗教科書選修2-2教學參考數(shù)學(M),江蘇教育出版社,2006.