廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510050) 韓智明

形似而神更似—再讀2016高考新課標(biāo)I卷理科數(shù)學(xué)第21題有感

廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510050) 韓智明

備受社會(huì)廣泛關(guān)注的2016高考已經(jīng)過(guò)去一段時(shí)間,然而高考背后的影響深遠(yuǎn),特別是首次加入全國(guó)新課標(biāo)的部分省份的師生們,原先對(duì)首次使用全國(guó)卷的神秘感和緊張感隨著高考的結(jié)束也終于釋?xiě)?而當(dāng)神秘的新課標(biāo)試卷面紗揭開(kāi)以后,面對(duì)理科數(shù)學(xué)試卷,結(jié)果一片嘩然.回顧過(guò)去當(dāng)然是更好地展望未來(lái),更好地為新一屆高三數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)起到一定的導(dǎo)向作用.筆者在感慨試卷整體難度的同時(shí),不得不對(duì)制卷專(zhuān)家老師們的獨(dú)具匠心感到欽佩,試題在能力中體現(xiàn)選拔功能,在實(shí)際應(yīng)用中彰顯靈活性.筆者對(duì)理科數(shù)學(xué)壓軸第21題作了認(rèn)真解讀,此題雖一改以往第(I)問(wèn)送分給考生發(fā)“福利”的局面,但仔細(xì)分析在第(I)問(wèn)就是加強(qiáng)了數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想的考查,雖然在某一類(lèi)討論中不能輕易得出使函數(shù)取值為正的零點(diǎn),但作為壓軸題得到八層分也是必須的,而在第(II)問(wèn)中,從設(shè)問(wèn)結(jié)構(gòu)來(lái)看,就顯得簡(jiǎn)單易懂,有一種似曾相識(shí)的感覺(jué),究其本質(zhì)其實(shí)就是平時(shí)經(jīng)常訓(xùn)練的函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,此題如此解讀真可謂“形似而神更似”了.

題目(2016年高考新課標(biāo)I卷理科數(shù)學(xué)第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍;(II)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明：x1+x2＜2.

解析第(I)問(wèn)略;下面先給出第2問(wèn)的兩種解法：

解法1由(I)的結(jié)論可知：不妨設(shè)x1＜x2,由(I)知x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,所以x1+x2＜2,等價(jià)于f(x1)＞f(2-x2),即f(2-x2)＜0.由于f(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以

設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則

所以當(dāng)x＞ 1時(shí),g′(x)＜0,而g(1)=0,故當(dāng)x＞1時(shí), g(x)＜0.從而g(x2)=f(2-x2)＜0,故x1+x2＜2.

解法2由已知得：f(x1)=f(x2)=0,不難發(fā)現(xiàn)x1/=1, x2/=1,故可整理得：

由g(x1)=g(x2)可知x1、x2不可能在g(x)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上,不妨設(shè)x1＜x2,則必有x1＜1＜x2令m=1-x1＞0,則有

g[1+(1-x1)]＞g[1-(1-x1)]?? g(2-x1)＞g(x1)=g(x2)而2-x1＞1,x2＞1,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因此：g(2-x1)＞g(x2)?? 2-x1＞x2,整理得：x1+x2＜2.

點(diǎn)評(píng)以上兩種解法通過(guò)構(gòu)造一元的差函數(shù),然后求導(dǎo)消參,從極值點(diǎn)的角度分析入手,由于極值點(diǎn)左右“增減速度”的不同,使函數(shù)圖像失去了對(duì)稱(chēng)性,出現(xiàn)了極值點(diǎn)的左右偏移.

函數(shù)極值點(diǎn)偏移的釋義：若函數(shù)f(x)在x=x0時(shí)取得極值,則稱(chēng)x0為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).我們熟悉的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a/=0)的極值點(diǎn)為.作直線y=h與函數(shù)y=f(x)交于A(x1,h),B(x2,h)兩點(diǎn),則稱(chēng)AB的中點(diǎn)為.對(duì)于二次函數(shù),極值點(diǎn)為,此時(shí)認(rèn)為極值點(diǎn)居中,沒(méi)有偏離中點(diǎn).然而很多極值函數(shù),由于極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同,函數(shù)圖像不具有對(duì)稱(chēng)性,常常有極值點(diǎn)的情況,出現(xiàn)了極值點(diǎn)左右偏移.

在歷年高考或高三備考模擬考試中,以此為背景的極值點(diǎn)偏移問(wèn)題屢屢出現(xiàn).由于x0、x1或x2往往不易求解,x0與的大小不便直接比較,試題難度較大,常常處在試卷的壓軸題位置,其地位顯得十分重要.

下面選取在以往高考或在高三備考中出現(xiàn)的有關(guān)函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的試題,通過(guò)剖析和挖掘,分析其問(wèn)題解決的思想和本質(zhì),我們就不難發(fā)現(xiàn)2016年高考新課標(biāo)I卷理科數(shù)學(xué)第21題的用心良苦了.

例1 (2016年湖北省七校2月聯(lián)考試題)已知函數(shù).

(I)記F(x)=f(x)-g(x),證明F(x)在區(qū)間(1,2)內(nèi)有且僅有唯一實(shí)根;

(II)記 F(x)在 (1,2)內(nèi)的實(shí)根為 x0,m(x) = min{f(x),g(x)},若m(x)=n(n∈R)在(1,+∞)有兩不等實(shí)根x1,x2(x1＜x2),判斷x1+x2與2x0的大小,并給出對(duì)應(yīng)的證明.

解析(1)略.

(II)當(dāng)0＜x≤1時(shí),f(x)=xlnx≤0,而g(x)=＞0,故此時(shí)有f(x)＜g(x),由(1)知,

當(dāng)x＞1時(shí),F′(x)＞0,且存在x0∈(1,2)使得F(x0)= f(x0)-g(x0)=0,故1＜x＜x0時(shí),f(x)＜g(x);當(dāng)x＞x0時(shí),f(x)＞g(x).因而

顯然當(dāng)1＜x＜x0時(shí),m(x)=xlnx,m′(x)=1+lnx＞0,因而m(x)遞增;當(dāng)x＞ x0時(shí),m(x)=,m′(x)=,因而m(x)遞減;m(x)=n在(1,+∞)有兩不等實(shí)根x1,x2,則x1∈(1,x0),x2∈ (1,+∞),顯然當(dāng)x2→+∞時(shí),x1+x2＞2x0,

下面用分析法給出證明.要證：x1+x2＞x0,即證x2＞ 2x0-x1＞ x0,而m(x)在(x0,+∞)上遞減,故可證m(x2)＜m(2x0-x1),又由m(x1)=m(x2),即證m(x1)＜m(2x0-x1),即

記

其中h(x0)=0.

即h(x)單增.從而1＜x＜x0時(shí),h(x)＜h(x0)=0,即,故x1+x2＞2x0得證.

例2 (河南2016天一大聯(lián)考(五)第21題)已知函數(shù)f(x)=eaxlnx(a＞0,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).)

(I)若f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

解析(I)略.

點(diǎn)評(píng)例1第(II)問(wèn)證出結(jié)果是x1+x2＞ 2x0,即要證.其中就是直線y=h(h= m(x1)=m(x2))被函數(shù)y=m(x)所截線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),不等式右邊的x0恰好是的極值點(diǎn),因此本質(zhì)上是證極值點(diǎn)左偏;例2第(II)問(wèn)證,即要證,其中就是直線y=h(h=g(x1)=g(x2))被函數(shù)y=g(x)所截線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo),不等式右邊的恰好是的極值點(diǎn),此例本質(zhì)上是證極值點(diǎn)右偏.

2016年高考新課標(biāo)I卷理科數(shù)學(xué)第21題與以上兩個(gè)例題從形式和本質(zhì)上都明顯符合極值點(diǎn)偏移問(wèn)題,所以在平時(shí)訓(xùn)練中,只要弄清解決該問(wèn)題的本質(zhì)策略,我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)高考試題和我們平常訓(xùn)練的題型不光是“形”似,有時(shí)候近乎于“神”似.

下面再看兩個(gè)例題,它們與極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是“形”似還是“神”似呢?

例3(2014年江蘇南通市二模第20題)設(shè)函數(shù)f(x)= ex-ax+a,a∈R,其圖像與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn),且x1＜x2.

命題老師給出的參考答案：

解析： (I) 略.(II)因?yàn)閮墒较鄿p得：

點(diǎn)評(píng)第(II)問(wèn)從“形”上看,很難把它和極值點(diǎn)偏移問(wèn)題聯(lián)系起來(lái),從答案方法來(lái)看,中間有個(gè)過(guò)渡,顯得證明技巧很強(qiáng),學(xué)生甚至是老師也覺(jué)得無(wú)從下手.結(jié)果要從轉(zhuǎn)化為證明.思路自然一時(shí)受阻,如果結(jié)合上文的2016高考題和例1、例2的處理策略就不難發(fā)現(xiàn)它們雖然“形”不盡似,但“神”在本質(zhì)上是相似的,只不過(guò)是試題對(duì)極值點(diǎn)的偏移作了一些包裝.注意到不等式右邊的0就是極值點(diǎn)lna處的導(dǎo)數(shù),即f′(lna)=0,因此也就是要證明,又因?yàn)閒′(x)單調(diào)遞增,就可以轉(zhuǎn)化為證明了,顯然就是極值點(diǎn)右偏問(wèn)題了.下面我們給出證明過(guò)程：

由F′(x)=a(ex+e-x-2)≥0,故F(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.當(dāng)x＞0時(shí),F(x)＞F(0)=0,即f(lna+x)＞f(lna-x).由(I)可知x1＜lna＜x2,所以x2-lna＞0,2lna-x2＜lna.因此

例4 (2016河北省衡水中學(xué)高三下學(xué)期二調(diào)第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(a-2)x-alnx.

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)a的值;

(III)若方程f(x)=c(c∈R),有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2,比較與0的大小.

解析：(I)、(II)略.

試卷第 (III)問(wèn)給出的解題分析：由 x1,x2是方程f(x)=c的兩個(gè)不等實(shí)根,則-(a-2)x1-alnx1=c,-(a-2)x2-alnx2=c,兩式相減,得

然后通過(guò)換元求導(dǎo)即可證明.試卷的參考答案對(duì)第(III)問(wèn)給出的論證如下：

因?yàn)閤1,x2是方程f(x)=c的兩個(gè)不等實(shí)根,由(1)知a＞0.不妨設(shè)0＜x1＜x2,則

因?yàn)閠＞0,所以g′(t)≥0.當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),g′(t)=0.所以g(t)在(0,+∞)上是增函數(shù),又g(1)=0,所以當(dāng)t∈(0,1)時(shí),g(t)＜0總成立,故題得證.

點(diǎn)評(píng)在高三備考復(fù)習(xí)訓(xùn)練中,通過(guò)消元減少變量來(lái)轉(zhuǎn)化處理的解題策略應(yīng)該是深入學(xué)生心中,但其中巧妙的構(gòu)造技巧和繁雜的計(jì)算量確實(shí)讓人嘆為觀止.在第(III)問(wèn)中,是否還能夠找到與文中本質(zhì)相同的處理策略呢?其實(shí)只要仔細(xì)比較不難發(fā)現(xiàn)還真有“神”似的地方.

解析通過(guò)第(I)問(wèn)不難得出：當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),且f(x)的最小值.

高考試題是歷屆高三復(fù)習(xí)備考的風(fēng)向標(biāo),盡管年年迥乎異同,但其本質(zhì)是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,它決不是天外來(lái)客,而是蘊(yùn)藏在書(shū)本中,潛伏在你平時(shí)的訓(xùn)練作業(yè)里,只要你細(xì)心、留意,一定會(huì)發(fā)現(xiàn)高考題的來(lái)龍去脈.不管是各省市自主命題考試還是參加全國(guó)新課標(biāo)考試,它一定都會(huì)成為大家熟悉的“陌生人”,正如2016年新課標(biāo)理科數(shù)學(xué)壓軸題一樣,它“形”似,更是“神”似!

[1]邢友寶.極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的處理策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2014(7).