舒華瑛

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“導數(shù)與函數(shù)”高考題解題策略探析

舒華瑛

（杭州市余杭高級中學，浙江 杭州 311100）

在近年高考數(shù)學試卷中，“導數(shù)與函數(shù)”這一內容難度在逐年增大，這個難度的增加主要包含了兩大部分：一是增加了解不等式及證明不等式等內容；二是函數(shù)的結構形式有了很大的改變。但“萬變不離其宗”，教師要指導學生掌握解決這些“變化”的問題的“不變”的“通性通法”。

高考數(shù)學；導數(shù)與函數(shù)；解題策略

在高中數(shù)學教學中發(fā)現(xiàn)，“導數(shù)與函數(shù)”這一內容難度在逐年增大，而這個難度的增加主要包含了兩大部分：一是從單純的考查導數(shù)在函數(shù)中的簡單應用，如利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、利用導數(shù)求函數(shù)的極值以及利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，到增加解不等式以及證明不等式等內容；二是函數(shù)的結構形式有了很大的改變，如從多項式函數(shù)轉變到多項式函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的復合函數(shù)，或者是多項式函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)進行四則運算得到的新的函數(shù)類型。雖然函數(shù)的結構形式在變，考查的面也在加大，但“萬變不離其宗”?，F(xiàn)結合教學實踐談談解決這些“變化”的問題的“不變”的“通性通法”。

一、“導數(shù)與函數(shù)”這一壓軸題考查的常見形式

除了常見的考查導數(shù)了幾何意義，求單調區(qū)間，求極值點以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，近年來對不等式考查比較常見。筆者以全國新課標Ⅱ卷為例：

近六年的全國新課標Ⅱ第21題考查情況統(tǒng)計

201120122013201420152016 (1)導數(shù)的運算導數(shù)的幾何意義單調性單調性單調性單調性單調性不等式證明 (2)恒成立求參數(shù)范圍恒成立，求值域不等式證明恒成立求參數(shù)范圍恒成立求參數(shù)范圍函數(shù)的最值 (3)估值

二、導數(shù)在研究函數(shù)中的作用——做出函數(shù)的“草圖”

我們知道要想做出函數(shù)的“草圖”，需要函數(shù)的定義域，單調性，極值，區(qū)間端點值（區(qū)間端點函數(shù)值存在的情況下），漸近線等。導數(shù)的正負決定了函數(shù)的單調性，從而決定了函數(shù)圖像在這一區(qū)間的走勢。

筆者將課本的例題進行了改變，并提出了如下問題，進一步理解導數(shù)在函數(shù)中的作用。

（5）由上述問題（8）和問題（2）你認為求函數(shù)單調區(qū)間的本質是什么？

三、函數(shù)的結構形式

高考考查導數(shù)以來，函數(shù)的結構形式有了很大的變化，從簡單的三次函數(shù)到含參的三次函數(shù)，再到多項式函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的復合函數(shù)或者是四則運算。近六年的全國新課標Ⅱ第21題函數(shù)的結構形式統(tǒng)計：

函數(shù)的結構形式的不同直接影響到解決問題的難易程度。

四、解題中的難點以及解決策略

如：（2016年高考全國II卷）

【解析】(Ⅰ)證明：略

【解析】⑴略

總之，導數(shù)是解決函數(shù)問題的一個強大的工具，通過研究一個函數(shù)的導數(shù)可以知道這一函數(shù)圖像的走勢和極值，再結合函數(shù)的定義域、區(qū)間端點值以及漸近線可以較為準確的做出函數(shù)的“草圖”。導數(shù)與函數(shù)溝通了數(shù)學中的兩大基石——“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，需要數(shù)學教師認真鉆研，探索出更為有效的教學方法。

2018-08-22

G633.6

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1673-4564（2019）01-0128-03