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        用好素材讓探究真正發(fā)生
        ——《平行四邊形的面積》探究環(huán)節(jié)問題分析與改進策略

        2017-04-02 06:02:22許冬兒
        關(guān)鍵詞:平行四邊形的面積鄰邊方格紙

        許冬兒

        《平行四邊形的面積》是小學(xué)階段“圖形與幾何”教學(xué)中一個承上啟下的重要內(nèi)容,它上承長方形、正方形面積教學(xué),下接三角形、梯形面積教學(xué),一直被廣大一線教師所重視和研究。

        一、問題與分析

        關(guān)于平行四邊形面積計算方法探究環(huán)節(jié)的教學(xué),常常存在以下幾個問題:

        1.方格使用——機械單一。

        在引入環(huán)節(jié),教師往往會創(chuàng)設(shè)平行四邊形與長方形面積大小比較的情境,引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)方格”的方法去驗證面積相等,并告知學(xué)生:不滿一格都按半格計算。由于長方形、正方形面積計算方法是用擺小方塊的方法進行探究的,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“度量思想”。將數(shù)方格的方法遷移到平行四邊形面積計算方法的探究過程中,自然是合理的。然而,平行四邊形卻不是一個方方正正的圖形,這是它和長方形最本質(zhì)的區(qū)別,占用的格子就不可能都是整格的。此時教師如果僅僅給出“不滿一格都按半格計算”的機械規(guī)定,數(shù)的過程就顯得十分被動,學(xué)生更多關(guān)注的只是數(shù)的結(jié)果,缺乏方法與技巧。甚至還會質(zhì)疑:不滿一格為什么可以按半格計算?這樣數(shù)出來還準確嗎?

        這樣的數(shù)方格形式單一,又缺乏對學(xué)生整體性思維的培養(yǎng),無疑是低效的。

        2.操作探究——暗含指令。

        在探究平行四邊形面積計算方法環(huán)節(jié),教師常常會提供平行四邊形紙片、剪刀、水彩筆等學(xué)具,要求學(xué)生以小組活動的形式進行探究并出示活動要求:通過剪一剪、拼一拼,將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形;想一想:平行四邊形與拼成的長方形的面積有什么關(guān)系?平行四邊形的底、高分別與拼成的長方形的長、寬有什么關(guān)系?平行四邊形面積該怎樣計算?

        試想,當面對計算平行四邊形面積這一新問題時,學(xué)生是自覺想到把平行四邊形剪拼成長方形的嗎?這樣的操作活動,學(xué)生更多是按照教師的指令去操作,看似很順利達成目標,但學(xué)生的思維卻無法得到深入發(fā)展。

        3.面積公式——不明所以。

        在合作探究平行四邊形面積計算公式時,教師往往發(fā)給每個小組同樣的平行四邊形紙片,剪拼推導(dǎo)出這個平行四邊形面積用“底×高”來計算,然后歸納得出平行四邊形面積的計算公式就是“底×高”。這是一個不科學(xué)的推理過程,這個平行四邊形的面積可以用“底×高”來計算,就能斷定所有平行四邊形的面積都可以用“底×高”來計算了嗎?學(xué)生頭腦中是會有疑問的。即便教師能追問:“只要沿著其中的一條高剪,所有的平行四邊形一定能拼成長方形,大家說是嗎?”這也只是形式上的不完全歸納,沒有真正引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷不完全歸納的過程。

        這樣的面積公式探究,學(xué)生只知其然,卻不知其所以然。

        二、改進的策略

        1.利用顯性素材,為公式推導(dǎo)奠定基礎(chǔ)。

        這里的顯性素材是指教師在課始為每位學(xué)生提供的畫有一個平行四邊形的方格紙。蘇教版教材中的例1從比較方格紙上每組中的兩個圖形面積是否相等入手,引導(dǎo)學(xué)生把稍復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化成簡單的、熟悉的圖形,讓學(xué)生感受轉(zhuǎn)化方法在圖形面積計算中的作用,并為進一步的探索活動提供基本思路。例2引導(dǎo)學(xué)生通過平移把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形。教材一方面突出了平移在轉(zhuǎn)化過程中的應(yīng)用,另一方面也鼓勵學(xué)生用不同方法實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的目的。例3的重點則放在探索平行四邊形與轉(zhuǎn)化成的長方形之間的聯(lián)系上,從而推導(dǎo)出平行四邊形面積計算方法。值得一提的是,這里的例1、例2的教學(xué)都是以方格紙為載體,方格紙作用的發(fā)揮也僅僅是數(shù)一數(shù)驗證一下,這樣就滲透了轉(zhuǎn)化思想及不同的轉(zhuǎn)化方法。通過例2的轉(zhuǎn)化,學(xué)生已能初步從方格圖上感悟轉(zhuǎn)化后平行四邊形與之前長方形之間各部分的關(guān)系,為后面進一步探究平行四邊形面積奠定了基礎(chǔ)。

        筆者摒棄了教材中“不滿一格按半格計算”的單純數(shù)格子的方式,而是引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)的過程中自發(fā)產(chǎn)生轉(zhuǎn)化的需要,為后續(xù)發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后的長方形和平行四邊形的關(guān)系埋下伏筆。

        【教學(xué)片斷一】

        師:看來對于這個平行四邊形的面積計算,同學(xué)們有兩種不同的方法:7×4=28(cm2);7×5=35(cm2)。要知道哪一種是正確的,我們可以怎么辦?

        生:數(shù)一數(shù)格子。

        師:如果一個小方格的面積是1cm2,你能數(shù)出這個平行四邊形的面積是多少平方厘米嗎?并且一邊數(shù)一邊把自己是怎么數(shù)的表示在方格紙上。

        (反饋不同數(shù)法)

        師:這個平行四邊形的面積是多少?看一下同學(xué)們都是怎么數(shù)的,誰愿意到上面來介紹一下?

        生 1:(如下圖1)我把左邊的三角形分開,移到右邊,這樣都是整格的了,就能一格一格數(shù)了,我數(shù)出來有28格,所以是28cm2。

        生 2:(如下圖2)我也把左邊的三角形補到右邊變成整格的,數(shù)了數(shù)每行有7格,有4行,所以一共是 4×7=28(cm2)。

        生 3:(如下圖3)我是把多出來的這塊直角三角形經(jīng)過平移直接拼到右邊,這樣平行四邊形就拼成了一個長方形。長方形的長是7cm,寬是4cm,所以面積也是 28(cm2)。

        生 4:(如下圖4)我是沿著中間分開,把右邊的梯形平移到左邊,也正好拼成長方形,面積也是 7×4=28(cm2)。

        圖1

        圖2

        圖3

        圖4

        師:這么多種數(shù)法,你更喜歡哪一種?說說你的理由。

        生5:我更喜歡后面兩位同學(xué)的方法,他們其實都是把平行四邊形割補成了長方形,只要計算長方形的面積就可以了,這樣方便。

        生6:不過同樣是數(shù),生2的數(shù)法更“高級”。

        師:你的“高級”是什么意思?

        生:她沒有一格一格數(shù),只數(shù)了每行的格數(shù)和行數(shù),比生1方便些。

        師:那同樣是算的方法,生3和生4有什么不一樣呢?

        生7:生3是沿著頂點出發(fā)的高分開,而生4是沿著中間的高分開。

        師:除了這兩種分法,還有其他的分法嗎?你是怎么想的?

        生8:我覺得有無數(shù)種分法,因為平行四邊形有無數(shù)條高。

        “并且一邊數(shù)一邊把自己是怎么數(shù)的表示在方格紙上”的要求把單純的數(shù)格子上升為有不同方法的數(shù)格子,激發(fā)學(xué)生將目光從局部轉(zhuǎn)向整體,促使學(xué)生把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后再數(shù),進而發(fā)現(xiàn)算一算就可以了,為后續(xù)推導(dǎo)面積公式打下重要的基礎(chǔ)。這樣使用方格紙無疑是有效的。

        2.妙用生成素材,讓探究過程科學(xué)完整。

        【教學(xué)片斷二】

        師:我們已經(jīng)知道了這個平行四邊形面積的計算方法,那是不是所有的平行四邊形面積都可以用“底×高”來計算呢?

        學(xué)生有的說可以,有的說不一定。

        師:出現(xiàn)了不同的聲音,那接下去我們該怎么辦?

        生:用形狀不同的平行四邊形進行驗證。

        師:好,請你拿出另一張方格紙。

        師:就請你自己在方格紙上畫一個和剛才完全不一樣的平行四邊形,也通過割一割、拼一拼來驗證它的面積是不是也可以用“底×高”來計算。

        學(xué)生興致盎然,畫著自己心目中的平行四邊形。畫完后組織同桌交流,再全班反饋。

        這一環(huán)節(jié),學(xué)生借助方格紙,創(chuàng)造出了各種形狀的平行四邊形,為進一步理解面積計算公式提供了豐富的素材,并且通過割補都順利轉(zhuǎn)化成了長方形。從這些豐富的素材中,我們可以感受到,各種平行四邊形面積計算方法的推導(dǎo)已深入學(xué)生的心,學(xué)生已經(jīng)完全理解平行四邊形的面積為什么用“底×高”來計算了,而且引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了科學(xué)的探究過程。這比教師提供給學(xué)生不同的平行四邊形紙片進行驗證要有效、有趣得多。

        3.補用變式素材,讓公式理解更加全面。

        在得出面積計算公式后,筆者又補充了如下兩個平行四邊形素材。其目的有三:其一,由于前面都是以方格圖為載體,但其實練習(xí)中、生活中平行四邊形的出現(xiàn)一般并不帶方格。因此,在借助方格探究出面積計算方法后,引導(dǎo)學(xué)生想象這兩個平行四邊形沿高剪開后將會轉(zhuǎn)化成怎樣的長方形是十分必要的。其二,是因為在方格紙上提供或創(chuàng)造的平行四邊形,學(xué)生習(xí)慣沿著格子線畫高,因此高都是縱向的。這里提出如圖1左右底邊上的高有利于打破學(xué)生的思維定勢,況且尋找左右底邊對應(yīng)的高也是學(xué)生面積公式應(yīng)用的難點。其三,又因為格子圖上畫出的都是水平放置的平行四邊形,割補時只是水平平移,這里給學(xué)生提供如圖2可以上下平移轉(zhuǎn)化的平行四邊形,有助于學(xué)生從不同的角度進行轉(zhuǎn)化。

        圖1

        圖2

        這一組素材的補用,不僅使學(xué)生充分理解了面積推導(dǎo)的過程,而且從多角度、多維度的變式中,對計算公式的理解更加完整、全面。

        4.活用感悟素材,讓探究難點有效突破。

        【教學(xué)片斷三】

        師:我們已經(jīng)知道平行四邊形的面積是用“底×高”來計算的,那用“底×鄰邊”的方法為什么就不對了呢?問題究竟在哪兒呢?

        (以底12高7鄰邊11的平行四邊形為例)版貼平行四邊形紙片及邊框(如下圖1:分別標出底、鄰邊、高的長度)

        師:剛才你們都是把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長方形,瞧!我也可以把這個平行四邊形拉成長方形(拉成如下圖2),這個長方形的面積不就是長乘寬,也就是底12×鄰邊11嗎?

        生1:這個長方形的面積和原來平行四邊形的面積不一樣了?

        師:怎么不一樣了?誰愿意到黑板上邊演示邊解釋?

        生2:我們可以把這塊多出的三角形拼到左邊,這個平行四邊形轉(zhuǎn)化成的是這個長方形,而不是老師拉成的長方形(如下圖3)。

        生3:這個長方形的面積是用12×7來計算的,老師拉成的長方形面積是12×11。

        圖1

        圖2

        圖3

        師:這多出的空白部分面積有多大呢?

        生 4:12×(11-7)=48(cm2)。

        師:現(xiàn)在你知道平行四邊形面積為什么不能用“底×鄰邊”來計算了嗎?

        生5:知道了,底×鄰邊算出來的是拉成的大長方形的面積,而平行四邊形轉(zhuǎn)化成的是小長方形的面積。

        師:請同學(xué)們仔細觀察,要是我繼續(xù)拉動這個框架(從圖3—圖4—圖5),你又有什么新的發(fā)現(xiàn)?(同桌討論)

        生6:長方形的框架又變成了平行四邊形,而且面積越來越小了。

        師:知道面積為什么會越來越小嗎?

        生7:平行四邊形的高越來越短了,所以面積越來越小了。

        生8:我發(fā)現(xiàn)不管怎么拉,這個框架的周長一直都沒有變。

        師:誰聽明白他的意思了?

        生9:他的意思是不管面積怎么變,平行四邊形框架四條邊的長度始終是兩條12厘米,兩條11厘米,所以周長一直都沒變。

        師:看來拉動平行四邊形框架,面積變了,周長不變。

        圖4

        圖5

        其實,澄清錯誤比建立正確認識更重要。在上述教學(xué)中,筆者通過自制學(xué)具的動態(tài)演示,進一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)拉動后的平行四邊形框架面積變了、周長不變。學(xué)生在觀察、比較、分析等充滿挑戰(zhàn)性的過程中,獲得了真正的數(shù)學(xué)理解,發(fā)展了推理能力,有效突破了本節(jié)課的教學(xué)難點。

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