【摘要】匯率在國際金融市場以及對外貿(mào)易中扮演著重要角色。由于匯率變動趨勢的不確定性及復(fù)雜性，傳統(tǒng)的匯率預(yù)測方法無法達(dá)到更好的預(yù)測效果。為了達(dá)到更好的預(yù)測效果，我們提出基于壓縮感知去噪和支持向量回歸（SVR）的匯率預(yù)測模型。壓縮感知去噪是對原始的匯率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理降噪的過程，支持向量回歸作為預(yù)測工具用于已降噪的數(shù)據(jù)的預(yù)測。我們采用中國人民銀行發(fā)布的人民幣兌美元匯率數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)，對我們新提出的方法進(jìn)行數(shù)值模擬，同時(shí)與小波去噪等預(yù)處理方法進(jìn)行對比，結(jié)果顯示基于壓縮感知去噪的支持向量回歸匯率預(yù)測方法具有較好的預(yù)測效果。

【關(guān)鍵詞】壓縮感知 匯率預(yù)測 支持向量回歸 時(shí)間序列 去噪

一、引言

匯率的變化是一個(gè)復(fù)雜的過程，它與一個(gè)國家的經(jīng)濟(jì)水平、物價(jià)水平、通貨膨脹率、利率和政府干預(yù)等因素息息相關(guān)。另一方面來說，匯率對于國際經(jīng)濟(jì)和金融市場的影響巨大，同時(shí)對各國社會經(jīng)濟(jì)與生活也有著重要影響。因此，對于匯率的預(yù)測是十分必要的。

現(xiàn)階段來說，由于國際金融經(jīng)濟(jì)形勢的多變以及經(jīng)濟(jì)全球化的趨勢，匯率的變化波動趨勢復(fù)雜多變。隨著對其研究的深入，匯率預(yù)測的模型也在不斷的發(fā)展。在眾多的預(yù)測模型中，通?？梢苑譃閭鹘y(tǒng)模型和人工智能模型。其中傳統(tǒng)模型有GARCH模型和ARIMA模型，它們本質(zhì)上是線性模型，由于匯率的變化不只是簡單的線性變化，其中還受很多非線性因素影響，所以線性的模型還存在許多不足和改進(jìn)的空間。

隨著人工智能領(lǐng)域的發(fā)展，支持向量回歸（SVR）等該領(lǐng)域的模型和算法所具備的自適應(yīng)和非線性性質(zhì)，已經(jīng)被證明在金融時(shí)間序列預(yù)測領(lǐng)域，面對更加復(fù)雜、非線性的數(shù)據(jù)時(shí)比傳統(tǒng)的線性模型有更好的預(yù)測效果。另外，在傳統(tǒng)模型中需要的數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)性假設(shè)，如穩(wěn)定性，規(guī)則性和線性在人工智能模型中并不需要。比如，Liu和Wang（2008）[1]使用最小二乘支持向量回歸和網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)方法來進(jìn)行匯率預(yù)測。Sermpinis G等（2015）[2]使用了SVR模型結(jié)合遺傳算法來預(yù)測歐元兌美元匯率的交易變化。人工智能模型已經(jīng)廣泛用于其他時(shí)間序列預(yù)測中，并且取得了很好的效果。然而，從一方面來看，人工智能模型也存在一定的缺陷，如過擬合問題及對參數(shù)變化的過于敏感等問題；此外，由于匯率受金融市場、國家經(jīng)濟(jì)等因素影響比較大，其產(chǎn)生的時(shí)間序列的變化十分復(fù)雜，由其產(chǎn)生的高噪聲對匯率的預(yù)測造成較大的影響。

因此我們提出結(jié)合去噪算法與人工智能模型、對原始匯率數(shù)據(jù)去噪以后進(jìn)行預(yù)測的設(shè)想，以達(dá)到提高模型預(yù)測能力的目標(biāo)。

當(dāng)前，在去噪方法還有提升的空間，目前常用的去噪方法主要有傅里葉變換、離散余弦變換、小波變換、卡爾曼濾波及中值濾波等方法。對數(shù)據(jù)去噪帶來的優(yōu)勢，使得越來越多的學(xué)者將去噪應(yīng)用到實(shí)際的預(yù)測中。如He等（2010）[3]提出了一個(gè)基于slantlet去噪的最小二乘支持向量回歸模型來預(yù)測匯率。Faria（2009）[4]提出了一個(gè)基于指數(shù)平巧去噪的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型來預(yù)測股市價(jià)格。

相對上面提到的幾種去噪方法，最近流行的基于壓縮感知去噪方法，通過合適的稀疏基轉(zhuǎn)換，能夠最大程度的保留數(shù)據(jù)信息，在此情況下，結(jié)合壓縮感知去噪方法和智能預(yù)測算法能夠提高對匯率的預(yù)測精度。目前來說，壓縮感知去噪應(yīng)用的領(lǐng)域還不是很多，大多數(shù)是集中在圖像去噪方面。應(yīng)用于一維信號的去噪處理的相關(guān)工作比較少，如Yu（2014）[8]應(yīng)用壓縮感知去噪基于人工智能模型預(yù)測國際油價(jià)變化。

本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于將壓縮感知理論應(yīng)用于數(shù)據(jù)去噪，然后使用ε-SVR模型對去噪數(shù)據(jù)進(jìn)行匯率的建模預(yù)測。并使用人民幣兌美元匯率數(shù)據(jù)進(jìn)行模型仿真，并與傳統(tǒng)的去噪方法進(jìn)行對比，結(jié)果證明壓縮感知去噪在匯率預(yù)測問題上相對來說有著更好的效果。

二、理論知識

（一）壓縮感知理論

壓縮感知理論首先是由Donoho在2004年提出的，它提供了一種新的信號采樣方式。壓縮感知理論指出：當(dāng)信號在某個(gè)變換域是稀疏的或可壓縮的，可以利用與變換矩陣非相干的測量矩陣將變換系數(shù)線性投影為低維觀測向量，同時(shí)這種投影保持了重建信號所需的信息，通過進(jìn)一步求解稀疏最優(yōu)化問題就能夠從低維觀測向量精確地或高概率精確地重建原始高維信號。

壓縮感知理論主要涉及3個(gè)核心問題：1）稀疏表示。2）隨機(jī)采樣。3）信號恢復(fù)。

就稀疏表示而言，信號能被精確地通過一些基函數(shù)如傅里葉基和小波基表達(dá)出來。從數(shù)學(xué)的角度來說，有限長實(shí)質(zhì)信號向量X∈Rn，假設(shè)■是Rn的一個(gè)正交基，則信號X∈Rn可以線性表示為：

■ （式2.1）

si是X的第i個(gè)系數(shù)：

■ （式2.2）

通過這種方法，X能被表達(dá)為ψs，ψ是一個(gè)n×n的矩陣，其中ψ1，……，ψn是它的列向量。如果si的大部分元素為0，則系數(shù)S是稀疏的。如果信號X∈Rn在一個(gè)正交基ψ下是稀疏的，那么稀疏系數(shù)S能被表達(dá)為

S=ψTX （式2.3）

就隨機(jī)采樣而言，定義一個(gè)和轉(zhuǎn)換基ψ不相干的m×n（m

Y=ΦψTX （式2.4）

在信號恢復(fù)方面，在壓縮感知理論中，由于觀測數(shù)量m遠(yuǎn)小于信號長度n，因此不得不面對求解欠定方程組Y=ΦψTX的問題。針對優(yōu)化問題中的NP難情況，因此實(shí)際上可以將問題轉(zhuǎn)化為求解問題：

■ （式2.5）

其中，||x||1表示向量x的l1范數(shù)。

如果信號X被污染，上述問題還可以寫成：

■ （式2.6）

目前為止出現(xiàn)的重構(gòu)算法都可歸入以下三大類：貪婪追蹤算法；凸松弛法；組合算法。通過上述的重構(gòu)算法，信號可以被精確地從壓縮后的信號恢復(fù)過來。

（二）支持向量回歸

支持向量回歸，通過引入核函數(shù)的概念，將輸入向量映射到一個(gè)高維的特征向量空間，并在高維特征空間構(gòu)造最優(yōu)回歸函數(shù)，解決非線性回歸問題。在支持向量回歸模型中，核函數(shù)的選擇十分重要。核函數(shù)種類有很多，主要有：多項(xiàng)式函數(shù)k（xi，xj）=[（xi+x）+1]q，高斯徑向基函數(shù)k（xi，xj）=exp（-||xi-x||2/（2g）2），sigmiod函數(shù)k（xi，xj）=tanh（v（xi·x）+c）等。通過引入核函數(shù)巧妙地解決了維數(shù)災(zāi)難問題，使得算法的復(fù)雜度與樣本維數(shù)無關(guān)。

三、壓縮感知去噪預(yù)測模型

根據(jù)上面提到的相關(guān)算法與技術(shù)，我們設(shè)計(jì)了壓縮感知去噪預(yù)測模型。該模型包括兩個(gè)步驟，即數(shù)據(jù)去噪和預(yù)測兩部分。

步驟一：用壓縮感知算法對數(shù)據(jù)進(jìn)行去噪

首先，原始數(shù)據(jù)X包含有趨勢T和噪聲Z，它通過一個(gè)合適的轉(zhuǎn)換基表示出來，比如小波基。然后用一個(gè)高斯白噪聲矩陣對稀疏系數(shù)進(jìn)行采樣。最后，通過正交匹配追蹤算法來恢復(fù)趨勢T，以便進(jìn)行后續(xù)的分析。

步驟二：用支持向量回歸模型預(yù)測

在進(jìn)行數(shù)據(jù)去噪之后，用支持向量回歸模型來對去噪后的數(shù)據(jù)T進(jìn)行建模，來獲得原始數(shù)據(jù)X的預(yù)測結(jié)果■。

（一）數(shù)據(jù)描述

在模型仿真中，我們采用中國人民銀行（所有數(shù)據(jù)均來源于中國人民銀行網(wǎng)站：www.pbc.gov.cn）每日公布的人民幣兌美元匯率中間價(jià)的數(shù)據(jù)作為實(shí)證研究對象。因?yàn)橹醒胝?005年年中由以往的固定匯率制度轉(zhuǎn)為實(shí)行以市場供求為基礎(chǔ)的、單一的、有管理的浮動匯率制，所以2005年前的數(shù)據(jù)不具備參考。綜合考慮，實(shí)驗(yàn)選取2010年8月2日到2012年9月6日共512個(gè)數(shù)據(jù)用來作為研究對象。其中前462個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)來訓(xùn)練模型，后50個(gè)數(shù)據(jù)作為測試數(shù)據(jù)。

樣本數(shù)據(jù)的設(shè)定基于兩個(gè)原因。首先，相比于周度數(shù)據(jù)和月度數(shù)據(jù)，日度數(shù)據(jù)中包含的噪聲更多，數(shù)據(jù)特征更復(fù)雜。其次，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的長度應(yīng)當(dāng)為2n（n>0），以便于用來創(chuàng)造一個(gè)正交稀疏轉(zhuǎn)換矩陣。

（二）數(shù)據(jù)處理

匯率屬于一種時(shí)間序列，對于時(shí)間序列的預(yù)測需要對時(shí)間序列進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，對于非平穩(wěn)序列無法進(jìn)行更好的預(yù)測。對數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)序列，因此我們對其進(jìn)行差分處理，具體處理如下：

Yt=100×（logyt-logyt-1） （式3.1）

其中{yt}為原始匯率序列，{Yt}為匯率自然對數(shù)一階差分序列。用支持向量回歸做完預(yù)測后，再通過下面的公式將預(yù)測的公式將其轉(zhuǎn)換為匯率形式：

■ （式3.2）

處理后的數(shù)據(jù)經(jīng)檢驗(yàn)為平穩(wěn)序列，可以進(jìn)行后續(xù)的步驟。

在進(jìn)行支持向量回歸模型仿真的時(shí)候，采用直接預(yù)測策略。即給定一個(gè)時(shí)間序列xt，（t=1，2，..，T），向前預(yù)測第m步的值xt+m由如下式子計(jì)算所得：

■ （式3.3）

其中■t代表第t期的預(yù)測值，xt是第t期的實(shí)際值，l代表滯后階數(shù)。

（三）評價(jià)指標(biāo)

對于最終預(yù)測出來的結(jié)果要進(jìn)行評估，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷男Ч暮脡?，我們采取統(tǒng)計(jì)分析中常用的幾個(gè)評價(jià)指標(biāo)。

（1）絕對偏差均值（MAD）

■ （式3.4）

（2）均方誤差估計(jì)（MSE）

■ （式3.5）

（3）方向性統(tǒng)計(jì)量Dstat

■ （式3.6）

at=1 如果（xt+1-xt）（■t+1-xt）≥0不然at=0

MAD、MSE越小，回歸決定系數(shù)越接近0，說明模型預(yù)測精確度越高。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

在壓縮感知去噪步驟中，最重要的是選取合適的稀疏基做稀疏變換。我們采用離散余弦變換作為稀疏基，采樣數(shù)目設(shè)為200。為了研究壓縮感知去噪方法與其他去噪方法效果的不同，我們選取中值濾波、小波變換兩種常見的去噪方法作為對比。其中小波變換采用symlet6來構(gòu)建小波基。在支持向量回歸算法的仿真中，采用網(wǎng)格參數(shù)尋優(yōu)，確定合適的參數(shù)C=400，ε=0.05。

首先，通過壓縮感知去噪，能夠?qū)?shù)據(jù)中的噪聲進(jìn)行減弱，同時(shí)相對其他傳統(tǒng)去噪方法來說，壓縮感知去噪可以保留更多的細(xì)節(jié)，而其他去噪方法去噪效果過于明顯，將部分的重要細(xì)節(jié)也一同抹去。如圖所示，可以看出壓縮感知去噪效果明顯。

（一）壓縮感知去噪的有效性

將去噪后的數(shù)據(jù)運(yùn)用支持向量回歸進(jìn)行樣本訓(xùn)練，使用通過訓(xùn)練得到的模型對驗(yàn)證數(shù)據(jù)集即后50個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)該模型在驗(yàn)證集上的表現(xiàn)還是不錯(cuò)的。其中描點(diǎn)之后的趨勢代表預(yù)測結(jié)果。

除了單純的從該模型本身來看，我們將其與未去噪的模型的效果作對比，主要是從MAD、MSE和Dstat三個(gè)方面來做對比，發(fā)現(xiàn)經(jīng)過壓縮感知去噪過程的預(yù)測還是改進(jìn)明顯的。

通過圖3可以得出結(jié)論：壓縮感知去噪預(yù)測模型提高了預(yù)測結(jié)果的精確度。從MAD和MSE的角度來看，兩種模型的值都比較小，而且經(jīng)過壓縮感知去噪的預(yù)測模型的MAD與MSE相比未去噪模型更??；從Dstat的角度來看，經(jīng)過壓縮感知去噪的模型的Dstat更高，而且達(dá)到了0.6以上，說明預(yù)測的方向性更好。

（二）壓縮感知去噪的優(yōu)勢

通過上面的程序仿真模擬，可以發(fā)現(xiàn)在針對匯率預(yù)測問題時(shí)，通過壓縮感知去噪確實(shí)可以提高模型的預(yù)測能力。結(jié)合傳統(tǒng)的去噪方法，壓縮感知去噪具備比其他去噪方法更好的效果。對同樣的數(shù)據(jù)分別運(yùn)用不同方法進(jìn)行去噪再進(jìn)行預(yù)測，目前來說壓縮感知去噪方法使得后續(xù)的預(yù)測能力更加優(yōu)越。

從表1可以看出未去噪的預(yù)測模型的MAD最大，壓縮感知去噪預(yù)測模型的MAD最小，并且其他兩種去噪模型的MAD均比未去噪模型要小，說明對數(shù)據(jù)預(yù)先去噪確實(shí)提高了預(yù)測能力；相比其他幾種去噪模型來看，壓縮感知去噪模型擁有更好的效果。此外由圖中可以看出針對方向性統(tǒng)計(jì)量，壓縮感知去噪預(yù)測模型的Dstat最大，未去噪模型的Dstat最小，說明經(jīng)過壓縮感知去噪的預(yù)測方向性更好，進(jìn)而說明其預(yù)測效果更好；同時(shí)與其他兩種去噪手段相比較而言，壓縮感知去噪的預(yù)測模型預(yù)測的準(zhǔn)確度更高。

（三）穩(wěn)定性分析

為了避免選取的訓(xùn)練數(shù)據(jù)的特殊性，特地選取2013年3月1日到2015年4月10日共512個(gè)數(shù)據(jù)做同樣的模型仿真，以便測試壓縮感知模型的穩(wěn)定性，證明與選取的訓(xùn)練集無關(guān)。

由圖6我們可以看出對兩組不同時(shí)間的數(shù)據(jù)，通過壓縮感知去噪的支持向量回歸模型MAD、MSE都比其他三種模型更小，Dstat都比其他三種模型要大。在不同的數(shù)據(jù)樣本下，最終得到的結(jié)果相符，一定程度上證明了基于壓縮感知去噪的支持向量回歸模型的穩(wěn)定性。

五、結(jié)論

考慮到國際匯率的多變性、復(fù)雜性及包含的高噪聲情況，提出基于壓縮感知去噪的支持向量回歸的預(yù)測模型。選取人民幣兌美元匯率作為研究對象，先對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮感知去噪，然后對去噪后的數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練預(yù)測。通過進(jìn)行模型仿真、數(shù)據(jù)分析可以得出結(jié)論。

在針對匯率預(yù)測問題上時(shí)通過壓縮感知去噪再進(jìn)行預(yù)測的方法是可行的，并且去噪后預(yù)測效果變得更好；與其他傳統(tǒng)去噪方法比較來看，壓縮感知去噪方法在匯率預(yù)測領(lǐng)域更加出色。此外，穩(wěn)定性分析說明該方法的普適性。

通過以上研究，今后我們可以將該方法推廣到其他時(shí)間序列的預(yù)測上來。對于壓縮感知去噪理論，選取合適的稀疏基是下一步工作的重點(diǎn)；對于預(yù)測模型來說，可以將線性模型與人工智能模型相結(jié)合進(jìn)行更準(zhǔn)確的預(yù)測。

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作者簡介：孟建釗（1992-），男，山東鄒城人，華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院碩士研究生在讀，研究方向：數(shù)據(jù)挖掘與機(jī)器學(xué)習(xí)。