劉娟

摘 要 壓縮感知理論（CS）是利用信號(hào)稀疏性的一種新的信號(hào)采樣方法，而稀疏優(yōu)化是該理論的研究熱點(diǎn)之一。本文提出了有效的基于加權(quán)正則化的塊稀疏優(yōu)化算法。盡管加權(quán)正則化改善了塊稀疏問題，但是由于結(jié)構(gòu)和可能的分塊不則則性，所以該正則化問題會(huì)比傳統(tǒng)的正則化問題更難解決。本文基于變量分裂和交替方向（ADM），將兩種算法分別對(duì)應(yīng)于加權(quán)正則化的原規(guī)劃問題和對(duì)偶規(guī)劃問題，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的ADM算法在隨機(jī)問題中具有良好的效率及穩(wěn)健性。

關(guān)鍵詞 壓縮感知 塊稀疏 加權(quán)正則化 交替方向法

中圖分類號(hào)：TN911.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

近十年來(lái)，現(xiàn)代信號(hào)處理領(lǐng)域出現(xiàn)一個(gè)熱門的研究方向，即壓縮感知理論（Compressive Sensing（CS）），此概念由Candes和Donoho等人于2004年首次提出，是一種尋找欠定線性系統(tǒng)的稀疏解的技術(shù)。實(shí)際上，許多稀疏解都是已知的某些塊稀疏結(jié)構(gòu)。此稀疏解已有了一個(gè)自然分塊，而這個(gè)塊可能由全是零或者全非零的元素塊成。編碼塊稀疏結(jié)構(gòu)可以減少稀疏解中的自由度。從而較大程度地提升了對(duì)稀疏信號(hào)的恢復(fù)重建能力。

本文主要研究欠定線性測(cè)量中稀疏解的重建問題。近年來(lái)，對(duì)于塊稀疏重建問題，一個(gè)較好的解決方法是運(yùn)用加權(quán)正則化。假設(shè)x∈Rn是未知的塊稀疏解，{xgi∈∶i=1，…，s}是x的分塊，其中g(shù)i {1，2，…，n}是對(duì)應(yīng)于第i塊的一個(gè)指標(biāo)集，表示指標(biāo)集gi的矢量。下面定范數(shù)為||x||∶||x||2 （1）

范數(shù)正則化有助于塊稀疏信號(hào)重建，但同時(shí)也會(huì)引起凸優(yōu)化問題。然而，由于非平滑和混合范數(shù)結(jié)構(gòu)，范數(shù)正則化的問題很難解決。目前已有的算法譜有：投影梯度法（SPGLI），加速梯度法（SLEP），塊坐標(biāo)下降算法和SpaRSA。

本文基于變量分裂和交替方向法（ADM）提出了一個(gè)解決范數(shù)正則化問題的新方法。本文運(yùn)用了ADM方法解決了范數(shù)正則化中的原則劃問題和對(duì)偶規(guī)劃問題，并得到所有子問題的閉合形式解。數(shù)值結(jié)果表明，本文所提出的算法快速、穩(wěn)健。

1數(shù)據(jù)模型和問題描述

3結(jié)語(yǔ)

本文提出了有效的交替方向法來(lái)解決基于一正則化的塊稀疏優(yōu)化問題。如果每次迭代時(shí)可正確地簡(jiǎn)化凸二次函數(shù)。那么現(xiàn)有的理論可以保證這些ADM算法的收斂。當(dāng)測(cè)量矩陣A是一個(gè)行是標(biāo)準(zhǔn)正交的部分變換矩陣.那么主要的計(jì)算量就只是每次迭代中的兩個(gè)矩陣矢量乘法。此外，這樣一個(gè)矩陣A可以被視為一個(gè)無(wú)明確存儲(chǔ)的線性算子。這對(duì)于大則模計(jì)算是特別可取的。對(duì)于一般的矩陣A。求解一個(gè)線性系統(tǒng)也是必須的。計(jì)算結(jié)果可以證明了ADM算法對(duì)于塊稀疏解的重建的有效性。ADM算法的實(shí)現(xiàn)表明了此方法比SPGLl算法有著明顯的速度優(yōu)勢(shì)。此外。至少在隨機(jī)問題上ADM算法比SPGLl算法更易得到精確解。

參考文獻(xiàn)

[1] 韓寧，劉勇進(jìn)，劉梅嬌.一類閉凸錐上投影算子的計(jì)算[J].沈陽(yáng)航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，30（5）：88-91.