周四望　羅孟儒

摘 要：針對壓縮感知中測量次數(shù)不確定的問題，提出了順序小波包圖像壓縮感知方法.該方法選用小波包變換分解圖像，降低信號(hào)稀疏度，將圖像劃分為大小相等的小波包系數(shù)塊，利用小波包系數(shù)塊數(shù)學(xué)期望與稀疏度之間的關(guān)系，對初始采樣信號(hào)y0的長度進(jìn)行預(yù)測；同時(shí)變長設(shè)置順序壓縮感知過程中采樣信號(hào)y1，…，yn的長度，來減少解壓縮端重構(gòu)次數(shù)以及兩端的通信次數(shù)，從而解決傳統(tǒng)順序壓縮感知方法中存在的不足.實(shí)驗(yàn)表明該方法在重構(gòu)次數(shù)和重構(gòu)精度上優(yōu)于傳統(tǒng)順序壓縮感知方法.

關(guān)鍵詞：小波變換；壓縮感知；數(shù)學(xué)期望；圖像

中圖分類號(hào)：TN911.73 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

壓縮感知理論（Compressed Sensing，CS） ＼[1＼]已經(jīng)在圖像處理等領(lǐng)域[2-3]引起了極大的重視.CS中對于稀疏度為K的信號(hào)，可以通過M大小的采樣值進(jìn)行重構(gòu).文獻(xiàn)＼[4＼]指出，當(dāng)M=4K時(shí)信號(hào)能近乎完美重構(gòu)，因此在大部分應(yīng)用中，CS的采樣長度選擇上限4K.隨著研究的深入，研究人員發(fā)現(xiàn)對于含噪聲的K稀疏信號(hào)，只需M=O（Klog （N/K））就能夠在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)魯棒地恢復(fù)原信號(hào)[5].在基于模型的壓縮感知方法中[6]，Baraniuk等人證明，若能增加小波樹結(jié)構(gòu)的先驗(yàn)信息，則CoSaMP算法僅需滿足M=Ο（K）即可實(shí)現(xiàn)魯棒重構(gòu).由于不同圖像的結(jié)構(gòu)等先驗(yàn)信息不盡相同，研究人員只能盡力尋找壓縮感知重構(gòu)所需M的界，不可能從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出M的值.因此在實(shí)際應(yīng)用中，有時(shí)M取值過大，則會(huì)增加設(shè)備的采樣負(fù)擔(dān)、耗費(fèi)更多的網(wǎng)絡(luò)延時(shí)和其它資源[7-8].因而在保證圖像恢復(fù)質(zhì)量的前提下，盡可能地減少采樣值是圖像壓縮感知處理中值得考慮的一個(gè)問題.

順序壓縮感知（Sequential CS） [9]為盡量減少采樣值提供了新思路.文獻(xiàn)＼[10＼]為Sequential CS提供了理論基礎(chǔ).文獻(xiàn)＼[11＼]將Sequential CS應(yīng)用到無線傳感網(wǎng)絡(luò)，并提出相關(guān)算法來提高信號(hào)重構(gòu)效率.Sequential CS對稀疏信號(hào)x依次進(jìn)行分段采樣從而得到采樣信號(hào)y0，y1，…，ynT=（φ0，φ1，…，φn）Tx，y0，y1，…，yn是分段采樣的信號(hào).在本文中，我們將y=φx寫成如下形式：

y=y0，y1，…，ynT=

φ0，φ1，…，φnTx=φx （1）

Sequential CS為盡可能減少采樣值提出了解決方案，然而Sequential CS仍有以下2個(gè)方面值得考慮.其一，如何確定初始采樣信號(hào)y0的長度.y0的長度直接影響著信號(hào)的傳送以及重構(gòu)次數(shù).若y0的長度設(shè)置合理，重構(gòu)和通信次數(shù)就會(huì)越少.然而Sequential CS相關(guān)方法對于如何確定y0的長度沒有提出相應(yīng)的解決方法.其二，如何確定y1，…，yn的長度.在實(shí)際應(yīng)用中，如果重構(gòu)信號(hào)間的誤差很大，采樣信號(hào)的長度相對取大些，這樣能加快Sequential CS處理進(jìn)程，從而減少通信次數(shù)及計(jì)算量；若誤差相差不大，采樣信號(hào)的長度取小些，就不會(huì)造成采樣浪費(fèi).然而Sequential CS中，y1，…，yn的長度設(shè)定都是相同的，不能根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行變長處理來減少計(jì)算量.

1 順序小波包圖像壓縮感知方法

本文設(shè)計(jì)的順序小波包圖像壓縮感知方法將解決以上兩個(gè)問題.本文采用小波包變換對圖像進(jìn)行分解，進(jìn)一步提高圖像稀疏度.另外由于小波包變換將圖像分為大小相等的小波包系數(shù)塊，因而我們以小波包系數(shù)塊為單位進(jìn)行壓縮感知測量，自然地降低了測量矩陣的維數(shù).

1.1 基于數(shù)學(xué)期望的初始采樣信號(hào)y0長度設(shè)置方法

本小節(jié)研究基于數(shù)學(xué)期望來預(yù)測初始采樣信號(hào)y0長度的方法.由式（1）可知，y0為Sequential CS中壓縮端首次傳遞給解壓縮端的采樣信號(hào).y0長度的設(shè)置，對壓縮端采樣、解壓縮端信號(hào)重構(gòu)次數(shù)和信號(hào)傳遞次數(shù)都有著非常直接的影響.

我們知道小波包系數(shù)塊的稀疏度是通過大系數(shù)的多少來反映的.在系數(shù)都為正數(shù)的情況下，數(shù)學(xué)期望值小的小波包塊相對有更高的稀疏度.另外由于信號(hào)越稀疏，恢復(fù)信號(hào)所需的采樣值就越少.因而在本文中我們根據(jù)小波包系數(shù)塊之間數(shù)學(xué)期望與稀疏度的比例關(guān)系來對y0的長度進(jìn)行預(yù)測，算法如圖1所示.

其中針對小波包系數(shù)有正有負(fù)的情況，我們對經(jīng)典的數(shù)學(xué)期望公式做一些改動(dòng).設(shè)n為小波包系數(shù)塊中大小，對序列x=xj，將數(shù)學(xué)期望E定義為：

E=∑ni=1|xi|pi，其中pi=1n. （2）

在圖1中，數(shù)學(xué)期望為中位數(shù)的小波包系數(shù)塊（i，j）是在計(jì)算需進(jìn)行壓縮感知處理的小波包系數(shù)塊的數(shù)學(xué)期望后，對那些不為0的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行粗略排序得到；小波包系數(shù)塊（k，p）指第k行第p個(gè)小波包系數(shù)塊，它泛指除（i，j）外其他要進(jìn)行壓縮感知處理的小波包系數(shù)塊.MM為最大采樣長度，即y0長度最大不能超過MM.另外由于小波包系數(shù)塊（1，1）為低頻信號(hào)，它包含圖像大部分信息，一般采用線性傳輸，因而不參與此過程.

從圖1可以看出，在計(jì)算出（i，j）的最終采樣長度M后，我們就根據(jù)eM=e（k，p）M（k，p）這種比例關(guān)系得到（k，p）的初始采樣長度M（k，p）=e（k，p）*Me，從而讓初始采樣長度更接近于最終采樣長度.

圖2更清楚地闡述了本算法的實(shí)質(zhì).從圖2可以看出，只要確定一個(gè)小波包系數(shù)塊（i，j）的最終采樣長度，那其他小波包系數(shù)塊的初始采樣長度就能根據(jù)（i，j）的數(shù)學(xué)期望和采樣長度進(jìn)行確定.在對（i，j）進(jìn)行順序壓縮感知處理時(shí)，由于信息不充分，（i，j）的初始采樣長度只能手動(dòng)設(shè)置，故壓縮端和解壓縮端之間計(jì)算時(shí)間和通信次數(shù)沒有太多的改變.但得到（i，j）最終采樣長度后，就可以根據(jù)其數(shù)學(xué)期望和采樣長度去預(yù)測其他小波包系數(shù)塊初始采樣長度.這樣在對其他小波包系數(shù)塊進(jìn)行順序壓縮感知處理時(shí)，由于初始采樣值設(shè)定合理，既能盡量少采樣，又可以從整體上大大節(jié)省壓縮端和解壓縮端的計(jì)算壓力以及通信次數(shù).

圖2 基于數(shù)學(xué)期望的初始采樣信號(hào)長度確定

Fig.2 Determining the length of initial sampling

signal based on mathematical expectation

1.2 變長設(shè)置的y1，…，yn長度

本節(jié)將變長設(shè)置y1，…，yn的長度.圖3采用時(shí)序圖的思路展示了對某一小波包系數(shù)塊進(jìn)行順序壓縮感知處理時(shí)，y1，…，yn的長度確定過程.其中Emin 為常數(shù).首先壓縮端發(fā)送采樣值yj-1給解壓縮端，解壓縮端收到信號(hào)后對其進(jìn)行重構(gòu)，計(jì)算兩重構(gòu)信號(hào)間的誤差Ej-1，然后比較Ej-1與Emin ，若Ej-1≤Emin 說明重構(gòu)圖像滿足誤差要求，解壓縮端讓壓縮端停止傳送采樣值，重構(gòu)結(jié)束.若Ej-1>Emin 則說明不能重構(gòu)原信號(hào)，解壓縮端讓壓縮端再次傳送采樣值yj，yj的長度nj=αEj-1*M，其中α為常系數(shù)，M為原始信號(hào)長度.這樣依次傳遞直到滿足要求為止.

從圖3看出yj的長度nj是基于上一次誤差進(jìn)行確定的，從而根據(jù)圖像重構(gòu)效果變長設(shè)置y1，…，yn長度.此方法是借鑒TCP流量控制的思想，其中窗口的大小（即y1，…，yn的長度）由解壓縮端進(jìn)行控制，如yj的長度nj=αEj-1*M，解壓縮端就是通過重構(gòu)信號(hào)之間的誤差Ej-1來控制下一次采樣信號(hào)yj的長度，如圖4所示，α控制窗口的規(guī)模，我們可以根據(jù)圖像恢復(fù)的精度需要對α進(jìn)行設(shè)置，Ej-1確定窗口的大小.只要把α設(shè)置為正數(shù)，那么兩信號(hào)之間的誤差Ej-1越大，nj也會(huì)相應(yīng)地更長.這樣就可以根據(jù)每個(gè)小波包系數(shù)塊各自的特點(diǎn)，對y1，…，yn的長度進(jìn)行自適應(yīng)地調(diào)整.

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本節(jié)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)平臺(tái)為matlab7.0，電腦主頻為2.53 GHz，內(nèi)存大小為2 G.測試圖像為Lena，Cameraman和BABOON，其中Lena包含豐富的細(xì)節(jié)和紋理特征，Cameraman前景和背景對比較大，BABOON平滑區(qū)域和細(xì)節(jié)區(qū)域較為明顯.實(shí)驗(yàn)中，我們用“Symmlet”小波對圖像進(jìn)行4層小波包分解，觀測矩陣為高斯矩陣，重構(gòu)算法為OMP.

2.1 初始采樣信號(hào)y0長度設(shè)置合理性驗(yàn)證

我們選取圖像中6個(gè)位置（數(shù)學(xué)期望相對很靠前）的小波包系數(shù)塊進(jìn)行驗(yàn)證.我們依次增加信號(hào)采樣比，觀察信號(hào)誤差隨采樣比的變化情況.

圖5～圖7分別是Lena，Cameraman，BABOON的小波包系數(shù)塊采樣比與誤差的關(guān)系.圖中橫坐標(biāo)為采樣值占信號(hào)總長度百分比，縱坐標(biāo)為原小波包系數(shù)塊與重構(gòu)后小波包系數(shù)塊的誤差.如圖5所示（3，1）1.078表示小波包變換后，位于圖像第3行第1塊的小波包系數(shù)塊的數(shù)學(xué)期望為1.078.

從圖中看出，小波包系數(shù)塊的大系數(shù)百分比越大，數(shù)學(xué)期望也就越大，誤差達(dá)到平衡時(shí)所需的采樣比也越大.此外同一圖像中，信號(hào)的數(shù)學(xué)期望與對應(yīng)的達(dá)到平衡時(shí)的采樣比之間存在比例對應(yīng)關(guān)系.如圖5中，信號(hào)（2，1）和（2，2）的期望值分別為25.35和26.81，誤差達(dá)到平衡時(shí)的采樣比分別為0.52和0.53，即25.3526.81≈0.520.53，同樣信號(hào)（2，2）和（1，4）也有類似關(guān)系.圖6中的信號(hào)（3，1）和（2，2）、信號(hào)（2，2）和（1，4）；圖7中信號(hào)（3，1）和（1，3）都有類似關(guān)系.這說明在同一圖像中根據(jù)某一小波包系數(shù)塊的數(shù)學(xué)期望和最終采樣長度預(yù)測另一小波包系數(shù)塊的初始采樣長度是合理的.因而本文提出的y0的設(shè)置方法是合理的.

采樣比

圖5 大小為512×512的Lena小波包系數(shù)塊采樣比與誤差的關(guān)系

Fig.5 Relationship between sampling ratio and error of wavelet blocks in Lena with the size of 512×512

采樣比

圖6 大小為512×512的Cameraman小波包系數(shù)塊采樣比與誤差的關(guān)系

Fig.6 Relationship between sampling ratio and error of wavelet blocks in cameraman with the size of 512×512

采樣比

圖7 大小為512×512的BABOON小波包系數(shù)塊采樣比與誤差的關(guān)系

Fig.7 Relationship between sampling ratio and error of wavelet blocks in BABOON with the size of 512×512

2.2 變長設(shè)置y1，…，yn長度合理性驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)中，對比實(shí)驗(yàn)為文獻(xiàn)＼[9＼]中（即傳統(tǒng)順序壓縮感知方法）等長設(shè)置y1，…，yn.設(shè)y0的采樣比為0.1，信號(hào)總采樣比不高于0.7.等長方法設(shè)置y1，…，yn長度時(shí)，y1，…，yn的采樣比為0.02.變長設(shè)置時(shí)，我們根據(jù)Sj與Sj-1的誤差E（Sj，Sj-1）大小進(jìn)行設(shè)置，令α=0.1，則采樣比為E（Sj，Sj-1）×0.1，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位.若E（Sj，Sj-1）=0.827，則yj+1的采樣比為0.08.圖中，“文獻(xiàn)＼[9＼]重構(gòu)”表示文獻(xiàn)＼[9＼]中的等長設(shè)置方法，“我們重構(gòu)”表示我們提出的變長設(shè)置方法.

圖8～圖10是Lena，Cameraman和BABOON等長和變長設(shè)置y1，…，yn采樣值的重構(gòu)次數(shù)比較結(jié)果.橫坐標(biāo)表示所處位置的小波包系數(shù)塊，如圖8中（3，1）指位于圖像第3行第1塊的小波包系數(shù)塊.縱坐標(biāo)為Sequential CS處理時(shí)解壓縮端的信號(hào)重構(gòu)次數(shù).從圖8～圖10中可以看出變長設(shè)置y1，…，yn解壓縮端所需的重構(gòu)次數(shù)比等長設(shè)置少.

小波包系數(shù)塊

圖11～圖13是Lena，Cameraman和BABOON等長和變長設(shè)置y1，…，yn重構(gòu)次數(shù)相同時(shí)各小波包系數(shù)塊的誤差比較結(jié)果.圖中橫坐標(biāo)表示所處位置的小波包系數(shù)塊，縱坐標(biāo)為重構(gòu)信號(hào)與原始信號(hào)之間的重構(gòu)誤差.實(shí)驗(yàn)中，重構(gòu)次數(shù)是每個(gè)小波包系數(shù)塊變長設(shè)置y1，…，yn重構(gòu)誤差為0或者采樣總長度到達(dá)最大采樣值MM時(shí)的重構(gòu)次數(shù).從圖11～圖13中看出，在重構(gòu)次數(shù)相同的情況下，變長設(shè)置y1，…，yn的重構(gòu)誤差相比等長設(shè)置的重構(gòu)誤差要小.

圖14展示了大小為512×512的Lena，Cameraman和BABOON采用等長和變長設(shè)置y1，…，yn重構(gòu)次數(shù)相同時(shí)重構(gòu)圖像對比.其中，低頻信號(hào)進(jìn)行線性傳遞，小波包系數(shù)塊（3，1），（2，1），（2，2），（1，4），（1，3），（1，2）分別采取等長和變長設(shè)置y1，…，yn方法得到，其他小波包系數(shù)塊不進(jìn)行信號(hào)采樣.從圖14可以更直觀地看出，在重構(gòu)次數(shù)相同的情況下，變長設(shè)置y1，…，yn的重構(gòu)誤差比等長設(shè)置的小.

通過上述實(shí)驗(yàn)，可以看出在完全重構(gòu)信號(hào)時(shí)，變長設(shè)置y1，…，yn采樣長度解壓縮端所需重構(gòu)次數(shù)更少.當(dāng)重構(gòu)次數(shù)相同時(shí)，變長設(shè)置y1，…，yn比等長設(shè)置重構(gòu)得到的誤差小.

3 結(jié) 論

在CS中，減少采樣長度意味著減少設(shè)備的采樣負(fù)擔(dān)、計(jì)算時(shí)間以及網(wǎng)絡(luò)傳輸壓力.Sequential CS為盡可能減少采樣值提出了新思路，但仍存在一些不足.本文提出的順序小波包圖像壓縮感知方法通過對圖像進(jìn)行小波包分解，從而對y0的長度進(jìn)行預(yù)測，同時(shí)借鑒TCP流控制的思想變長設(shè)置y1，…，yn的長度，從整體上降低壓縮端和解壓縮端的通信次數(shù)和運(yùn)算負(fù)擔(dān).實(shí)驗(yàn)表明，根據(jù)小波包系數(shù)塊的期望值對y0進(jìn)行預(yù)測、變長設(shè)置y1，…，yn的長度是合理的.

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