程澤　呂繼考　劉繼光　王莉

摘 要：鋰離子電池荷電狀態(tài)的快速準(zhǔn)確估計(jì)是電池管理系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一.針對(duì)鋰離子電池這一動(dòng)態(tài)非線性系統(tǒng)，通過(guò)測(cè)試分析鋰離子電池的滯回特性，建立了鋰離子電池的二階RC滯回模型，并利用容積卡爾曼濾波算法對(duì)電池荷電狀態(tài)進(jìn)行估算.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該模型能較好地體現(xiàn)電池的動(dòng)態(tài)滯回特性，而且容積卡爾曼濾波算法在估算過(guò)程中能保持較高的精度.

關(guān)鍵詞：鋰離子電池；荷電狀態(tài)；滯回模型；容積卡爾曼濾波

中圖分類(lèi)號(hào)：TM912.1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

隨著環(huán)保和節(jié)能問(wèn)題的日益突出，鋰離子電池由于高能量密度、高工作電壓、無(wú)記憶效應(yīng)、循環(huán)壽命長(zhǎng)、無(wú)污染、質(zhì)量輕、自放電小[1]以及在安全性和循環(huán)性方面的突出性能，使得它在儲(chǔ)能動(dòng)力電池領(lǐng)域占據(jù)越來(lái)越重要的地位， 準(zhǔn)確估計(jì)鋰離子電池的荷電狀態(tài)（State of Charge， SOC） 也漸漸成為研究熱點(diǎn).

可靠的電池模型是電池SOC準(zhǔn)確估計(jì)的前提條件，鋰離子電池模型的準(zhǔn)確度直接影響SOC估計(jì)的精度.滯回特性是鋰離子電池的基本特性之一，它是指電池在充電過(guò)程的開(kāi)路電壓（Open Circuit Voltage， OCV）與放電過(guò)程的開(kāi)路電壓不一致的現(xiàn)象，文獻(xiàn)＼[2＼]介紹了產(chǎn)生滯回現(xiàn)象的原因.文獻(xiàn)＼[3＼]在等效電路模型的基礎(chǔ)上引進(jìn)了描述滯回特性的電路參數(shù)， 該方法使得模型待估參數(shù)明顯增加，參數(shù)估計(jì)成本較大.文獻(xiàn)＼[4-5＼]分別建立了Preisach模型和Jiles Atherton模型描述鋰離子電池的動(dòng)態(tài)特性，上述數(shù)學(xué)模型雖然很大程度提高了精度，但模型算法復(fù)雜，計(jì)算量大，不適合工程實(shí)現(xiàn).

本文針對(duì)鋰離子電池充放電過(guò)程中的滯回特性提出了一種簡(jiǎn)單的基于滯回特性的鋰離子電池模型，并利用容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter， CKF）算法將上述模型應(yīng)用到鋰離子電池的SOC估計(jì)中，從而大幅度降低了SOC估計(jì)過(guò)程中的模型誤差和算法誤差.

1 鋰離子電池滯回特性實(shí)驗(yàn)分析

本文選用天津力神公司生產(chǎn)的磷酸鐵鋰動(dòng)力電池LP2770102AC（電池的標(biāo)稱(chēng)電壓為3.3 V，標(biāo)稱(chēng)容量為12.5 Ah），在Digatron動(dòng)力電池測(cè)試系統(tǒng)上設(shè)計(jì)了室溫條件下的脈沖充放電實(shí)驗(yàn).測(cè)試過(guò)程中還假定鋰離子電池每次充放電結(jié)束靜置1 h后，電池電壓均已經(jīng)恢復(fù)至穩(wěn)定值[6].考慮到鋰離子電池在SOC<10%和SOC>90%的情況下OCV隨SOC變化速度較快[7]，因此為了準(zhǔn)確地描述充放電過(guò)程中OCVSOC曲線的變化趨勢(shì)，當(dāng)10%90%時(shí)，充放電電流的幅值和寬度則是6.25 A，3 min，每個(gè)脈沖電流使得SOC變化2.5%.

1.1 滯回主回路特性

滯回主回路特性是指鋰電池在完整SOC循環(huán)周期下的OCVSOC特性曲線[8]，鋰離子電池的滯回主回路特性具體測(cè)試步驟如下：

1）先將電池充滿(mǎn)電（SOC=100%）后靜置1 h；

2）對(duì)電池進(jìn)行4次脈沖放電（6.25 A放電3 min，靜置1 h）至電池SOC=90%；

3）對(duì)電池進(jìn)行16次脈沖放電（6.25 A放電6 min，靜置1 h）至電池SOC=10%；

4）對(duì)電池進(jìn)行4次脈沖放電（6.25 A充電3 min，靜置1 h）至電池SOC=0%；

5）對(duì)電池進(jìn)行4次脈沖充電（6.25 A充電3 min，靜置1 h）至電池SOC=10%；

6）對(duì)電池進(jìn)行16次脈沖充電（6.25 A充電6 min，靜置1 h）至電池SOC=90%；

7）對(duì)電池進(jìn)行4次脈沖充電（6.25A充電3 min，靜置1 h）至電池SOC=100%.

整個(gè)充放電過(guò)程時(shí)長(zhǎng)約53 h，采樣間隔為1 s.圖1給出了測(cè)試過(guò)程中鋰離子電池的端電壓和端電流變化曲線，可以看出充放電過(guò)程中的電池端電壓在SOC<10%和SOC>90%階段變化幅度較大.

改變上述測(cè)試過(guò)程中的靜置時(shí)間，分別將其設(shè)置為1 min，5 min，30 min，得到不同靜置時(shí)間下的OCVSOC曲線，如圖3所示.鋰離子電池的滯回特性不僅是SOC的函數(shù)，而且是靜置時(shí)間的函數(shù)，且隨著靜置時(shí)間的加長(zhǎng)鋰離子電池的滯回特性逐漸減弱，并最終趨于平滑.

SOC

1.2 滯回小回路特性

與滯回主回路特性相對(duì)應(yīng)，滯回小回路特性是指鋰電池在局部SOC循環(huán)周期下的OCVSOC曲線，鋰離子電池的滯回小回路特性具體測(cè)試步驟如下：

1）先將電池充滿(mǎn)電（SOC=100%）后靜置1 h；

2）對(duì)電池進(jìn)行4次脈沖放電（6.25 A放電3 min，靜置1 h）至電池SOC=90%；

3）對(duì)電池進(jìn)行12次脈沖放電（6.25 A放電6 min，靜置1 h）至電池SOC=30%；

4）對(duì)電池進(jìn)行8次脈沖充電（6.25 A充電6 min，靜置1 h）至電池SOC=70%；

5）對(duì)電池進(jìn)行8次脈沖放電（6.25 A放電6 min，靜置1 h）至電池SOC=30%；

6）對(duì)電池進(jìn)行12次脈沖充電（6.25 A充電6 min，靜置1 h）至電池SOC=90%；

7）對(duì)電池進(jìn)行4次脈沖充電（6.25 A充電3 min，靜置1 h）至電池SOC=100%.

整個(gè)充放電過(guò)程時(shí)長(zhǎng)約53.5 h，采樣間隔為1 s.圖4給出了測(cè)試過(guò)程中鋰離子電池的電壓和電流變化曲線.

對(duì)圖4中的數(shù)據(jù)分析處理，得到鋰離子電池靜置1 h的滯回小回路特性曲線，如圖5所示，圖中箭頭表示SOC的變化方向.

綜合以上測(cè)試和數(shù)據(jù)，我們可以得到如下結(jié)論：

滯回特性不能被簡(jiǎn)單表述為一條或幾條曲線，應(yīng)該是一簇曲線.

滯回特性是電池充放電歷史的函數(shù)；

滯回特性是靜置時(shí)間的函數(shù)；

滯回小回路OCVSOC曲線始終在滯回主回路OCVSOC曲線的內(nèi)部；

當(dāng)電流方向改變時(shí)，OCVSOC曲線的方向也隨之改變，且隨著時(shí)間的推移滯回小回路特性曲線總是逐步逼近滯回主回路特性曲線，逼近速度隨二者距離的減小逐漸降低.

SOC

圖5 滯回小回路特性

Fig.5 Hysteresis minor loop characteristics

1.3 滯回特性對(duì)SOC估計(jì)的影響

定義由滯回特性引起的SOC估計(jì)誤差為：

ESOC_Hys=SOCCharge-SOCDischargeSOCmax -SOCmin ×100%.（2）

交換圖2（a）中的坐標(biāo)軸并做差值，得到圖6所示的SOCOCV曲線以及由滯回特性引起的SOC誤差曲線.

OCV/V（a）SOCOCV曲線

OCV（b）SOC誤差曲線

圖6 滯回特性對(duì)SOC估計(jì)的影響

Fig.6 The influence of hysteretic

characteristics to SOC estimation

從圖6（b）可以看出，由滯回特性引起的SOC估計(jì)誤差的最大值是32.6%（OCV=3.3 V），也就是說(shuō)如果我們使用充放電過(guò)程中OCVSOC曲線的平均值估計(jì)鋰離子電池的SOC會(huì)造成非常大的誤差，特別是當(dāng)電池的SOC在10%到90%之間時(shí)，相應(yīng)的OCVSOC曲線非常平滑，SOC相對(duì)于OCV的變化非常敏感，非常小的OCV 變化都有可能引起很大的SOC估計(jì)誤差.因此在鋰離子電池SOC估計(jì)過(guò)程中必須考慮滯回特性的影響.

2 鋰離子電池等效電路模型

綜合考慮等效電路模型的準(zhǔn)確度和復(fù)雜度，按照不同精度的要求，等效電路模型可分為：線性模型、靜置模型、滯回模型＼[9-11＼].

2.1 線性模型

如圖7所示，線性模型將電池看作一個(gè)大電容C，電容電壓為Uoc，同時(shí)串聯(lián)一個(gè)小電阻R0表示電池內(nèi)阻，內(nèi)阻阻值隨著周?chē)h(huán)境溫度和電池壽命的改變而變化.

圖7 線性等效電路模型

Fig.7 Equivalent circuit of liner model

2.2 靜置模型

將電池靜置特性考慮在內(nèi)的電池模型稱(chēng)為靜置模型.與線性模型比較，靜置模型用可控電壓源代替了大電容表示電池的電動(dòng)勢(shì)，用一系列的RC網(wǎng)絡(luò)等效表示靜置特性，其電壓值是SOC的函數(shù).圖8給出了相應(yīng)的靜置模型.

2.3 滯回模型

將電池滯回特性考慮在內(nèi)的電池模型稱(chēng)為滯回模型.本文對(duì)鋰離子電池滯回特性建模的基本思想是建立一種數(shù)學(xué)模型使得鋰離子電池的OCV在充電過(guò)程中逐步趨向于滯回主回路中的OCVCharge、放電過(guò)程中逐步趨向于滯回主回路中的OCVDischarge.考慮到OCVSOC曲線越接近于滯回主回路特性曲線，其逼近速度就越小，經(jīng)過(guò)多次比較篩選選取了如下模型：

dOCVdSOC=

dOCVChargedSOC+λOCVCharge-OCV，dSOCdt≥0，

dOCVDischargedSOC+λOCV-OCVDischarge，dSOCdt<0.（3）

其中，λ為調(diào)整系數(shù).針對(duì)本文選取的電池取λ=10.

為了驗(yàn)證上述模型的準(zhǔn)確性，將測(cè)試2中得到的滯回小回路數(shù)據(jù)代入式（3），結(jié)果如圖9所示，可以看出該模型輸出值基本接近于鋰離子電池OCV的真實(shí)值，說(shuō)明上述模型可以準(zhǔn)確地再現(xiàn)鋰離子電池的滯回特性.

圖8 靜置等效電路模型

Fig.8 Equivalent circuit of rest model

SOC

圖9 滯回特性估計(jì)曲線

Fig.9 Estimate curve of hysteresis characteristics

綜合考慮模型精度、復(fù)雜度以及實(shí)驗(yàn)選用的LiFePO4，本文采用圖10所示的二階RC滯回等效電路模型.

其中Uoc（SOC）表示鋰離子電池的OCV，用來(lái)描述電池的滯回特性；Ut為端電壓；It為端電流；R0為歐姆內(nèi)阻；Re，Ce和Rd，Cd用來(lái)描述電池的靜置特性.

鋰離子電池的上述參數(shù)均隨著SOC的變化而變化，為了提高模型精度，本文采用遞推最小二乘法估計(jì)等效電路模型的各個(gè)參數(shù).遞推最小二乘法無(wú)需存儲(chǔ)全部數(shù)據(jù)，取得一組觀測(cè)數(shù)據(jù)，便可估計(jì)一次參數(shù)，因此所需的計(jì)算量和占用的存儲(chǔ)空間都很小，如圖11所示基于脈沖放電數(shù)據(jù)的辨識(shí)結(jié)果.

圖10 二階RC滯回等效電路模型

Fig.10 Equivalent circuit of secondorder

RC hysteresis model

T/s

圖11 參數(shù)辨識(shí)曲線

Fig.11 Parameters identification curve

3 基于滯回特性的鋰離子電池SOC估計(jì)

考慮到鋰離子電池模型的參數(shù)較多和高度非線性，而擴(kuò)展卡爾曼濾波在狀態(tài)估計(jì)過(guò)程中，存在兩個(gè)缺點(diǎn)：

1）當(dāng)非線性函數(shù)的Taylor展開(kāi)式高階項(xiàng)無(wú)法忽略時(shí)，線性化會(huì)使系統(tǒng)產(chǎn)生較大誤差，甚至使濾波器不穩(wěn)定；

2）在每個(gè)濾波周期需要計(jì)算雅克比矩陣，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)，將大大增加濾波估計(jì)的運(yùn)算量.

本文將卡爾曼濾波的另一種非線性化方法——容積卡爾曼濾波（Cubature Kalman Filter， CKF）[12]應(yīng)用于鋰離子電池的SOC估計(jì)中.CKF既不需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行線性化，也不需要計(jì)算 Jacobin 矩陣，算法的數(shù)值穩(wěn)定性不受狀態(tài)維數(shù)的影響，適用于解決從低維到高維的非線性狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題，估計(jì)精度至少能精確到二階泰勒精度.

將圖10所示電池模型以SOC，Ue，Ud為狀態(tài)變量，It為輸入量，Ut為輸出量離散化后得到的模型的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程分別為：

SOC（k+1）Ue（k+1）Ud（k+1）=1000e-Tsτe000e-Tτd×

SOC（k）Ue（k）Ud（k）+-ηTsQnRe（1-e-Tsτe）Rd（1-e-Tsτd）It（k）+wk； （4）

Ut（k）=Uoc（SOC（k））-Ue（k）-Ud（k）-

R0It（k）+vk. （5）

其中η為庫(kù)侖效率，可以通過(guò)電池充放電實(shí)驗(yàn)得到；Qn為電池額定容量；Ts為采樣周期；τe，τd是RC網(wǎng)絡(luò)的時(shí)間常數(shù)，且τe=ReCe，τd=RdCd；It（k）為k時(shí)刻的電流，本文中，充電時(shí)It（k）>0，放電時(shí)It（k）<0；wk和vk是互不相關(guān)的高斯白噪聲.

1）初始化：

0=[SOC（0） 0 0]，

0=E[（x0-0）（x0-0）T].（6）

2）預(yù)測(cè)更新：

由k時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)k=[SOC（k） Ue（k） Ud（k）]和誤差協(xié)方差P^k=E[（xk-k）（xk-k）T]，根據(jù)球面徑向規(guī)則，計(jì)算容積點(diǎn)ξCKFi，k（i=1， 2，…，L）.

Pk=SkSTk，ξCKFi，k=Skξi+k.（7）

式中：L=2n，ξi=L2[1]i，而[1]∈Rn且

[1]i=

100，010，…，001，-100，0-10，…，00-1.

容積點(diǎn)通過(guò)非線性狀態(tài)函數(shù)傳播為γCKFi，k+1|k（i=1，2，…，L），再由γCKFi，k+1|k得到一步狀態(tài)預(yù)測(cè)k+1|k和誤差協(xié)方差陣Pk+1|k：

γCKFi，k+1|k=f（ξCKFi，k，uk）+k； （8）

k+1k=1L∑Li=1γCKFi，k+1|k=1L∑Li=1f（ξCKFi，k，uk）+k；（9）

Pk+1|k=1L∑Li=1（γCKFi，k+1|k-k+1|k）（γCKFi，k+1|k-k+1|k）T+k=

1L∑Li=1γCKFi，k+1|kγCKFi，k+1|kT-k+1|k+k.（10）

3）量測(cè)更新：

由上式所得到的k+1|k和Pk+1|k，按照步驟1）的計(jì)算方式，得到容積點(diǎn)ξCKFi，k+1|k（i=1，2，…，L）.同理，容積點(diǎn)通過(guò)非線性輸出函數(shù)傳播為χCKFi，k+1|k，再由χCKFi，k+1|k估計(jì)觀測(cè)期望值k+1k以及誤差協(xié)方差陣Pzk+1|k和交叉協(xié)方差陣Pxzk+1|k：

Pk+1k=Sk+1kSTk+1k； （11）

ξCKFi，k+1|k=Sk+1kξi+k+1k； （12）

χCKFi，k+1|k=h（ξCKFi，k+1|k，uk+1）+k+1；（13）

k+1k=

1L∑Li=1χCKFi，k+1|k=1L∑Li=1h（ξCKFi，k+1|k，uk+1）+k+1；（14）

Pzk+1|k=1L∑Li=1（χCKFi，k+1|k-k+1|k）（χCKFi，k+1|k-k+1|k）T+k+1=1L∑Li=1χCKFi，k+1|kχCKFi，k+1|kT-k+1|k+k+1=1L∑Li=1χCKFi，k+1|kχCKFi，k+1|kT-k+1|k+k+1；（15）

Pxzk+1|k=1L∑Li=1（ξCKFi，k+1|k-k+1|k）（χCKFi，k+1|k-k+1|k）T=

1L∑Li=1ξCKFi，k+1|kχCKFi，k+1|kT-k+1|kTk+1|k.

（16）

4）狀態(tài)更新：

估計(jì)卡爾曼增益，更新?tīng)顟B(tài)以及誤差協(xié)方差陣.

Wk+1=Pxzk+1|k（Pzk+1|k）-1；（17）

k+1=k+1k+Wk+1zk+1-k+1k；（18）

Pk+1=Pk+1|k-Wk+1Pzk+1|kWTk+1.（19）

4 結(jié)果驗(yàn)證

目前動(dòng)力鋰離子電池廣泛應(yīng)用于電動(dòng)汽車(chē)領(lǐng)域，此時(shí)電池的工作特點(diǎn)是工作電流變化劇烈.本文選取2種DST（Dynamic Stress Test）工況對(duì)鋰離子電池滯回模型和CKF算法進(jìn)行驗(yàn)證，分別為充電工況和放電工況.2種DST測(cè)試工況均循環(huán)5次，每次循環(huán)包括14個(gè)步驟.圖12給出了實(shí)驗(yàn)過(guò)程中鋰離子電池的端電壓和端電流.

T/s（a）充電工況

T/s（b）放電工況

圖12 DST工況下端電壓和端電流

Fig.12 Terminal voltage and current in DST condition

4.1 模型驗(yàn)證

將采集到的鋰離子電池的電壓和電流值代入到圖10所示的模型中，分別得到兩種工況下考慮滯回特性和不考慮滯回特性的鋰離子電池端電壓估計(jì)值及估計(jì)誤差，如圖13所示.從圖13（c）可以看出，在DST工況下考慮滯回特性的端電壓估計(jì)誤差在0.02 V以?xún)?nèi)， 不考慮滯回特性的端電壓估計(jì)誤差最大達(dá)到0.06 V.說(shuō)明二階RC滯回模型在電流劇烈變化的情況下可以更準(zhǔn)確地表現(xiàn)電池的動(dòng)態(tài)特性.