陜西省商洛市洛南縣西關(guān)中學(xué)(726100) 冀建軍

挖掘隱含條件 探求解題視角

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挖掘隱含條件是破除解題障礙探求解題思路的關(guān)鍵,題目表述越簡潔,隱含條件就越多,就會造成解題無法入手.因此要針對教材中典型例、習(xí)題,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會挖掘隱含條件.本文以北師大版高中教材《數(shù)學(xué)》(選修2-2)《推理證明》的一道證明題為例,進行多角度審視和深層次挖掘隱含條件,探求解題視角.

一、題目再現(xiàn)

題目[1]已知a＞0,b＞0,且a+b=1,求證3a+3b＜4.

二、題目隱含條件的挖掘

該題是在學(xué)生學(xué)習(xí)了《推理證明》的基礎(chǔ)上安排在本章復(fù)習(xí)題B組的,其意圖要求學(xué)生了解數(shù)學(xué)證明的幾種基本方法(綜合法、分析法、反證法).此題短小精悍,表述簡潔,不易入手.

該題題設(shè)顯示：a,b∈R+,且a+b=1,其等價條件：0＜a,b＜1,a,b相互制約,且b=1-a.難點在于3a、3b的取值相互制約,3a+3b-4不能直接分解因式,不能直接作差、作商比較,同時由于3a·3b=3,根據(jù)“定積和最小”可求3a+3b的最小值,但不能直接用基本不等式確定3a+3b的上確界.此題作為證明題,借助所求證結(jié)論尋找隱含條件,是尋找證明思路的一種常用方法.

從不等式證明角度分析結(jié)論：要比較3a+3b與4的大小,必須把4與3a、3b聯(lián)系起來,如4=3a+b+1;從函數(shù)角度,要確定3a+3b的范圍,可能要借助指數(shù)函數(shù)y=3x的圖像和性質(zhì).

從數(shù)學(xué)思想定位：a、b兩個變量相互制約要運用消元思想(變二元為一元)、化歸思想等;從數(shù)學(xué)學(xué)科特點考慮可能用數(shù)形結(jié)合思想.

相關(guān)隱含條件如：b=1-a,3b=31-a,3a·3b=3,3a+b=3,4=3a+b+1,0＜a＜1,1＜3a＜3等.這些信息重新組合將會得到不同的解題思路.

三、探求幾種證明視角

1.不等式常規(guī)證明視角

分析不等式證明首先考慮常規(guī)方法,如作差(商)比較、分析法、反證法,但必須借助隱含條件,若將結(jié)論中的“4”變成與a,b有關(guān)系的形式,或利用3a的范圍,便于常規(guī)證明.

證法1由于a＞0,b＞0且a+b=1,則0＜a,b＜1,即3a＞1、3b＞1,則3a+3b-4=3a+3b-3a+b-1= (3a-1)(1-3b)＜0,亦即3a+3b＜4.

評注此法做差比較,運用隱含條件 3a+b=3, 4=3a+b+1,將所證結(jié)論轉(zhuǎn)化成證明3a+3b＜3a+b+1.考慮到不等式兩邊為正值,可用作商比較法.

證法2 由于3a+3b＞ 0,,由0＜a＜1,即1＜3a＜3,則(3a-1)(3a-3)＜0,即32a-4×3a+3＜0,即32a+3＜4×3a.故即3a+3b＜4.

證法3 要證3a+3b＜4,由于3a+3b＞ 0,只需證 (3a+3b)2＜16,即證 (3a+31-a)2＜16,即證32a+9×3-2a-10＜0,也就是證34a-10×32a+9＜0,即證1＜32a＜9,即證1＜3a＜3,即證0＜a＜1,而由已知條件知0＜a＜1成立,從而3a+3b＜4.

評注證法2、證法3運用了3b=31-a以及1＜3a＜3這兩個隱含條件.同時體現(xiàn)了消元思想.

證法4 假設(shè)存在滿足條件(a,b∈R+且a+b=1)的a、b,使3a+3b≥4成立,即3a+31-a-4≥0,即32a-4×3a+3≥0,即3a≤1或3a≥3,即a≤0或a≥1,這與已知條件中0＜a＜1矛盾,故3a+3b＜4.

證法5(應(yīng)用排序不等式)由于0＜a＜1,則有3＞3a, 1＞ 3-a,應(yīng)用排序不等式[2]可得出：3×1+3a·3-a＞3·3-a+3a×1,即4＞31-a+3a=3b+3a,故原命題成立.

評注證法4反證法要注意題設(shè)是全稱命題,假設(shè)否定形式必須是特稱命題;證法5巧用排序不等式.

2.函數(shù)與方程視角

分析不等式問題通常與函數(shù)聯(lián)系在一起,通過構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)解決不等式問題.構(gòu)造函數(shù)時,盡可能借助學(xué)生的基本的數(shù)學(xué)知識、技能、數(shù)學(xué)思想和活動經(jīng)驗構(gòu)造學(xué)生熟知的函數(shù).

評注證法6構(gòu)造函數(shù),利用求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性求證是證明不等式的常用方法,考慮到,構(gòu)造“對勾”函數(shù)更為簡單.

評注證法7和證法8分別利用了“對勾”函數(shù)和二次函數(shù).

3.線性規(guī)劃視角

分析由隱含條件3a·3b=3,令x= 3a,y=3b,則點(x,y)在曲線xy=3上,轉(zhuǎn)化成求x+y的取值范圍.

圖1

證法9 由0＜a、b＜1,令x=3a, y=3b,則1＜x,y＜3且xy=3,作函數(shù)如圖1.確定目標(biāo)函數(shù)z=x+y,作直線l0:x+y=0,平移直線l0經(jīng)過A點時(此時直線與相切),z=x+y有最小值,平移直線l0經(jīng)過B(或C)時,z=4,但由于曲線(1＜x＜3)是不含端點B、C的一段曲線,即x+y＜4,故3a+3b＜4.

評注此法利用隱含條件xy=3(其中x=3a,y=3b)轉(zhuǎn)化成求z=x+y的最大值,思路簡潔,運算簡單.

4.解析幾何視角

證法10[3]如圖2,作函數(shù)y=3x的圖像,過點P(0,1)、點Q(1,3)作割線交y= 3x于P、Q,PQ方程為y=2x+1,顯然當(dāng)0＜x＜1時,線段PQ在曲線y=3x上方,即3x＜2x+1,故有當(dāng)0＜a,b＜1時, 3a＜2a+1,3b＜2b+1,則3a+3b＜2(a+b)+2=4,即證.

圖2

[1]嚴士健,王尚志.普通高中課程標(biāo)準實驗教科書：數(shù)學(xué)選修2-2[M].北京：北師大出版社,2006.

[2]嚴士健,王尚志.普通高中課程標(biāo)準實驗教科書：數(shù)學(xué)選修4-5[M].北京：北師大出版社,2006.

[3]李景印.一道教材習(xí)題的研究性學(xué)習(xí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,上旬, 2015(3)：35.