廣東韶關(guān)市湞江區(qū)曲仁中學(xué)(512040) 何世洪

點(diǎn)內(nèi)分三角形邊長的一個(gè)性質(zhì)及其應(yīng)用

廣東韶關(guān)市湞江區(qū)曲仁中學(xué)(512040) 何世洪

性質(zhì)在△ABC中,點(diǎn)D為BC的內(nèi)分點(diǎn),若BD= m,DC=n,則

應(yīng)用

利用這個(gè)性質(zhì),在解決相關(guān)的高考或競賽等問題時(shí),有它的獨(dú)到之處.

例1(2005年湖北高考數(shù)學(xué)理科第18題)在△ABC中,已知,AC邊上的中線求sinA的值.

本題因解題切入點(diǎn)不易找且涉及變量多、方程計(jì)算量較大而成為當(dāng)年湖北高考理科數(shù)學(xué)卷的難題.在文[1]中,對該題給出了十種解法,現(xiàn)應(yīng)用性質(zhì),給出一個(gè)較為簡單的解法.

圖2

例2(新加坡奧林匹克數(shù)學(xué)競賽題)如圖3,在△ABC中,M為AB上的點(diǎn),且AM=MB=CM=5,,則△ABC的面積為( ).

A.12 B.16 C.24 D.30 E.48

圖3

例3.(2009年“《數(shù)學(xué)通報(bào)》杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽題)如圖4,菱形ABCD的邊長為a,點(diǎn)O是對角線AC上的一點(diǎn),且OA=a,OB=OC=OD=1,則a=( ).

例4(2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽(高一、高二)試題)在△ABC中,∠B的平分線交AC于K,則△ABC的面積為____.

圖5

例5已知△ABC的外接圓的切線AD交BC的延長線于D,求證：

圖6

在文[2]中,葉挺彪老師采用待定元素對問題分解進(jìn)行證明,解法獨(dú)特.現(xiàn)根據(jù)性質(zhì)來給出一個(gè)簡證.

[1]余曉敏,高長軍,胡耀宇.2005年高考湖北卷理科第18題閱卷啟示[J].數(shù)學(xué)通訊,2005,19.

[2]葉挺彪.用待定元素分解問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2014,2(上半月).