廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍(lán)云波

借力降冪放縮法 巧證數(shù)列不等式*

廣東省興寧市第一中學(xué)(514500) 藍(lán)云波

通過(guò)對(duì)一道數(shù)列不等式證明方法的改進(jìn),探究了一類含指數(shù)式的數(shù)列不等式的證明通法.使這種通法上升到一定的理論高度,得出證明一類數(shù)列不等式的降冪放縮法.并使降冪放縮法得到較為廣泛的應(yīng)用,提高了解題效率.

數(shù)列不等式 并項(xiàng)放縮 通法 降冪放縮

一、問(wèn)題的提出

筆者在高三數(shù)列復(fù)習(xí)課中,偶遇下面一道試題.

例1(廣東省汕頭市2014屆普通高考模擬考試)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知3Sn=an+1+(-2)n+2-6, n∈N?,a1=2.

(1)求a2的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

分析本題是一道經(jīng)典的數(shù)列綜合解答題.筆者在講解此題前,在充分備課后,感覺(jué)此題第三問(wèn)如果按照官方解法給學(xué)生講解,勢(shì)必會(huì)不太順利,效果可能也會(huì)不佳.但基于“并項(xiàng)放縮法”是數(shù)列不等式證明的重要方法.筆者仍然講述了這一方法.

評(píng)注本題證法繁瑣,放縮的度也不好把握,而且要分奇偶數(shù)證明,解題效率不夠高.

講解完畢后,果然不出筆者所料,學(xué)生普遍很難接受,甚至有不少學(xué)生抱怨聽(tīng)不懂.這是可以預(yù)想到的.因?yàn)榇朔N方法使用了比較少用的“并項(xiàng)放縮法”.且對(duì)此題而言,這種方法確實(shí)不夠高效.運(yùn)算量較大,極易出錯(cuò),放縮的度也不好把握,還要把n分奇、偶數(shù)進(jìn)行討論,而且當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),還要借助前面n為奇數(shù)的結(jié)論.特別是在考試中,要想成功解答,恐非易事,甚至有全軍覆沒(méi)的可能.基于這些原因,筆者想找尋一種學(xué)生比較容易接受的通法解答此題.下面把探索過(guò)程分析如下.

二、通法的尋找

為了獲取更為高效、自然的解法,筆者通過(guò)翻閱大量資料發(fā)現(xiàn),此類試題給出的答案大都是使用上述的并項(xiàng)放縮法,雖然有少數(shù)文章也有其他證法,如通過(guò)加強(qiáng)不等式,利用數(shù)學(xué)歸納法證明,但均具有較大的難度.為獲取更為優(yōu)越的方法,筆者通過(guò)對(duì)例1所要證明的數(shù)列不等式所具有的結(jié)構(gòu)特征觀察,發(fā)現(xiàn)該不等式含有指數(shù)式.于是在探索的過(guò)程中,特意選取了含有指數(shù)式的數(shù)列不等式試題進(jìn)行借鑒,通過(guò)一番探索之后,終有所獲.

例2(2014年高考全國(guó)卷2理科)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.

分析此題中由于不是等比數(shù)列,不能直接求和,結(jié)合此題含有指數(shù)式,故我們可想辦法進(jìn)行放縮,使得放縮后變?yōu)榈缺葦?shù)列求和問(wèn)題.若我們能把3n的冪指數(shù)降低,進(jìn)行分拆,并把分拆出來(lái)的一部分項(xiàng)進(jìn)行放縮,則能實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.而且這種方法是比較自然,也是比較接地氣的一種.

評(píng)注此題有多種方法,如數(shù)學(xué)歸納法,利用糖水不等式,利用二項(xiàng)式定理放縮,利用裂項(xiàng)放縮等.但這種方法起點(diǎn)低,學(xué)生理解起來(lái)也比較容易,不失為一種較好的方法.

例3(2012年高考廣東卷理科)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足2Sn=an+1-2n+1+1,n∈N?.且a1,a2+5,a3成等差數(shù)列.

(1)求a1的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

評(píng)注同例2一樣,此題也可用多種方法證明.但利用此法證明,可看作是例2的變式.使不同的問(wèn)題殊途同歸.

筆者通過(guò)研究發(fā)現(xiàn),上述試題表面上似乎關(guān)聯(lián)不大,試題的難度也不盡相同,但其中放縮的關(guān)鍵步驟卻有共同的地方.于是筆者想對(duì)這些試題進(jìn)行分析歸納,以得出一種證明一類含指數(shù)式的數(shù)列不等式的通法.例2、例3都是通過(guò)把分母中指數(shù)式的冪指數(shù)降低,然后進(jìn)行拆項(xiàng)放縮,因此我們可以把這種方法予以命名,稱之為—“降冪放縮法”.

三、問(wèn)題的解決

通過(guò)對(duì)以上兩例的分析,我們發(fā)現(xiàn),例1也含有指數(shù)式,而且與例3較為相似,但實(shí)際上難度卻大很多,但我們?nèi)匀豢蓢L試用降冪放縮法證明例1.

評(píng)注此題看似不能用降冪放縮法證明,但通過(guò)一番探究后,終于實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決,放縮的度的把握,把冪指數(shù)的進(jìn)一步降低后進(jìn)行分拆、放縮是成功的關(guān)鍵.與官方解答相比,顯然高效得多,且是解決含指數(shù)式的數(shù)列不等式的通法,顯然自然,容易理解得多.確實(shí)是一種好方法!

四、題源分析

例1是一道經(jīng)典的數(shù)列不等式問(wèn)題,筆者通過(guò)翻閱資料發(fā)現(xiàn),該題源于2004年高考全國(guó)卷3理科數(shù)學(xué)第22題.

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn=2an+ (-1)n(n≥1).

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

五、方法的應(yīng)用

例4(廣東省韶關(guān)市2014屆高三年級(jí)調(diào)研測(cè)試)已知{an}為公差不為零的等差數(shù)列,首項(xiàng)a1=a,{an}的部分項(xiàng)ak1,ak2,ak3,···,akn恰為等比數(shù)列,且k1=1,k2= 5,k3=17.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an(用a表示);

(2)設(shè)數(shù)列{kn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證：(n是正整數(shù)).

通過(guò)對(duì)以上幾道例題的分析,我們發(fā)現(xiàn),降冪放縮法在證明一類含指數(shù)式的數(shù)列不等式中具有高效快速特點(diǎn),并能達(dá)到舉一反三的效果,證明具有通性通法,思維抽象性較低,易于操作,是一種能殺敵于無(wú)形之中的好方法.筆者在探索成功之后,用降冪放縮法給學(xué)生進(jìn)行再次講解,效果明顯好很多.在提高習(xí)題教學(xué)的有效性的同時(shí),也達(dá)到了教學(xué)相長(zhǎng)的效果.最后,筆者提供2道經(jīng)典的相關(guān)習(xí)題給讀者思考.讀者可運(yùn)用降冪放縮法進(jìn)行解答,相信會(huì)對(duì)降冪放縮法有更深入的理解和體會(huì),并能在解題中靈活運(yùn)用.

題1(2014年廣東省揭陽(yáng)市二模)已知等比數(shù)列{an}滿足：a2=4,公比q=2,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且

題2(2015年安徽無(wú)為一中第四次月考)現(xiàn)有六名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練,由甲開(kāi)始傳球(第一次傳球是由甲傳向其他五位運(yùn)動(dòng)員中的一位),若第n次傳球后,球傳回到甲的不同傳球方式的種數(shù)記為an.

[1]崔志榮.數(shù)學(xué)方法教學(xué)的實(shí)踐與思考—以一道數(shù)列高考題為例[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2014(3)：25-28.

[2]黃俊峰,袁方程.從一道2014年高考題談高考數(shù)列不等式的證明[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2015(9)：53-57.

本文是廣東省教育科學(xué)規(guī)劃立項(xiàng)課題“山區(qū)高中數(shù)學(xué)分層教學(xué)的策略研究”的階段性研究成果.課題批準(zhǔn)編號(hào)：2013YQJK195.