安徽省樅陽縣宏實中學(xué)(246700) 江保兵

構(gòu)造模型 巧證不等式

安徽省樅陽縣宏實中學(xué)(246700) 江保兵

在證明不等式問題時,若能放寬眼界,從題設(shè)出發(fā),通過聯(lián)想、類比、模擬等思維活動,給題目的數(shù)量關(guān)系或空間形式,賦以恰當(dāng)?shù)膶嶋H意義,構(gòu)造相應(yīng)的實際模型,則可將原題化難為易,解法別開生面.

1.概率模型

在一維離散性隨機(jī)變量概率分布列的學(xué)習(xí)中,我們知道隨機(jī)變量的方差的計算：

又因為D(X)≥0,所以有：E(X2)≥[E(X)]2,巧妙的利用這個關(guān)系,可以證明一系列的不等式.

例1已知a1,a2,···,an均為正數(shù),求證：

證明構(gòu)造一維離散型隨機(jī)變量X的概率分布如一表：

X _ _ a 1 _ _ _ _ a 2 _ _ _ _ · · · _ _ _ a n P _ _ _ 1 n _ _ _ 1 n _ _ · · · _ _ _ 1 n

例2已知a1,a2,···,an均為正數(shù),S=( a1+ a2+ ···+an),且S＞ak(k=1,2,···,n),證明當(dāng)n≥2時,有

X S n Sn-m a1S n Sn-m a2_ _ _ _ _ · · · S n Sn-m anP Sn-m a1( n -m ) SnSn-m a2( n -m ) Sn_ _ _ _ · · · Sn-m an( n -m ) Sn

2.長方體模型

我們知道,長、寬、高為 a,b,c,體對角線長為 l的長方體中有如下性質(zhì)：l2=a2+b2+c2.簡單變形：cos2α+cos2β+cos2γ=1,sin2α+sin2β+sin2γ=2,這些在不等式的證明與有些題設(shè)條件的有著很好的吻合,這又為不等式的證明提供了一個方便之門.

例3 (2004年江西省高中數(shù)學(xué)競賽)已知sin2α+ sin2β+sin2γ=1,求證

例4 (1998年日本數(shù)學(xué)奧林匹克選拔試題)已知x,y,z∈R+,且滿足求證：xyz≥8.

3.三角形模型

例5在△ABC中,求證：a2+b2+c2≥△ABC+ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2.

分析構(gòu)造模型：作△ABC的內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于D、E、F,記AE=AF=x,BD= BF=y,CD=CE=z.則a=y+z,b=z+x,c=x+y(x＞0,y＞0,z＞0).

圖1

最后這個不等式顯然成立,且等號當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=a時成立,所以原不等式成立的充要條件是a=b=c.

從這道的證明過程,我們構(gòu)造一種非常便利的解題模型：為了證明一個關(guān)于三角形的三邊不等式,可通過變換a=y+z,b=z+x,c=x+y(x＞0,y＞0,z＞0)轉(zhuǎn)化為三個正數(shù)x,y,z的代數(shù)不等式.由于三邊a,b,c完全確定三角形,從而三角形的各元素都可通過這種模式用x,y,z表示.下面是三角形中部分元素,經(jīng)過變換后,用x,y,z的表達(dá)式：

例6.(2002年伊朗數(shù)學(xué)奧林匹克第三輪試題)已知在△ABC中,求證：x,y,z∈R+,且滿足x2+y2+z2+xyz=4,求證：x+y+z≤3.

評析在三角形中特別是在銳角三角形中,經(jīng)常用的幾個恒等式,在不等式的證明中,通常與已知的代數(shù)式有著下面的互換.這些互換為不等式的證明帶來非常大的便利.

匈牙利數(shù)學(xué)家羅莎在其名著《無窮的玩藝》中指出：解決數(shù)學(xué)問題往往不是對問題正面攻擊,而是不斷將它構(gòu)造、變形,直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問題.本文通過數(shù)學(xué)模型構(gòu)造,使一些看似復(fù)雜的問題獲得耳目一新的妙解.讀者還可以進(jìn)一步探討,得出更多的數(shù)學(xué)模型或者用同一種模型解決更多的數(shù)學(xué)問題!

[1]鄒明.第46屆ⅠMO兩道試題的另解[J].中等數(shù)學(xué),2006,1.

[2]波利亞.怎樣解題[M].上海：上海教育出版社,2001.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社,2008.

[4]蔡小雄.代數(shù)變形[M].浙江：浙江大學(xué)出版社,2008.