福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

從判斷二面角的鈍銳說開去

福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū)(363100) 蘇藝偉

在湘教版選修2-1的學(xué)習(xí)中,學(xué)生接觸到了利用坐標法求解二面角的余弦值.教材介紹的方法是分別求出兩個半平面的法向量,再利用向量夾角公式算出這兩個法向量夾角的余弦值,最后結(jié)合圖形得到所求二面角的余弦值.在最后一步往往需要結(jié)合圖形對該二面角是鈍角還是銳角作出判斷.對于較為簡單直觀的圖形還容易判斷,如果是較為復(fù)雜不明顯的圖形,學(xué)生很難區(qū)分出來.那么該如何用數(shù)學(xué)符號語言給出嚴謹?shù)呐袛?除此之外是否可以避開這個難點而直接計算出二面角的余弦值?筆者在長期的教學(xué)實踐中總結(jié)了如下規(guī)律.

一、如何判斷鈍角還是銳角?

圖1

圖2

圖3

圖4

如圖(1)所示,觀察圖形可知二面角A-BC-D為鈍角;如圖(2)所示,觀察圖形可知二面角A-BC-D為銳角.那么如何用數(shù)學(xué)符號語言來進行嚴謹?shù)呐袛?

作出經(jīng)過公共棱BC的平面β,使得β⊥面ABC.可以發(fā)現(xiàn)圖(1)中A和D在β的異側(cè),圖(2)中A和D在β的同側(cè).也就是說二面角A-BC-D為鈍角?A和D在β的異側(cè),二面角A-BC-D為銳角?A和D在β的同側(cè).因此可以借助β來進行判斷.

在實際解題中,題目不可能出現(xiàn)β這樣的垂面,但是可以自行構(gòu)造出來,如圖(3)所示.步驟如下：

1.建立空間直角坐標系,求出A,B,C的坐標.

2.求出面ABC的法向量

3.以公共棱BC的一個端點如B為起點,構(gòu)造向量使得求出T點的坐標.此時垂直于面ABC.

4.以直線BT,BC為鄰邊作出一個平行四邊形,該平面必定與面ABC垂直,即為β.

當(dāng)構(gòu)造出了垂面β之后,如何借助β來進行判斷?

綜合上述分析,可以采用如下方法來判斷二面角A-BC-D是鈍角還是銳角：

例1.2015年安徽高考第19題如圖(5)所示,在多面體A1B1D1DCBA中,四邊形AA1B1B,ADD1A1,ABCD均為正方形,E為B1D1的中點,過A1,D,E的平面交CD1于F.(1)略.(2)求二面角E-A1D-B1余弦值.

圖5

圖6

圖7

圖8

例2.2015年北京高考第17題如圖(7)所示,在四棱錐A-EFCB中,△AEF為等邊三角形,平面AEF⊥平面EFCB,EF//BC,BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB= 60°,O為EF的中點.(1)略(2)求二面角F-AE-B的余弦值.(3)略.

圖9

圖10

上述方法是從數(shù)學(xué)嚴謹?shù)慕嵌葋砼袛喽娼鞘氢g角還是銳角.實際上對于利用坐標法求解二面角的題目,可以繞開這個難點直接求解.

二、利用直線的單向法向量

圖11

圖12

1.直線關(guān)于線外一點的單向法向量.

如圖(11)所示,在直線l上取兩點A,B,點P為直線外一點.作PC⊥l,垂足為C.則稱為直線AB關(guān)于點P的單向法向量.

2.如何利用單向法向量求二面角?

上述方法的優(yōu)點在于避免了根據(jù)圖形判斷二面角是鈍角還是銳角.

例3.同例1

例4.同例2

結(jié)束語

本文所介紹方法的優(yōu)點在于能夠用嚴格的數(shù)學(xué)符號語言代替直觀的圖形判斷,進一步可以避免這個判斷上的難點,也就是直接求出二面角的余弦值.本文方法來源于教材又高于教材,能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生的分析能力,運算求解能力,拓展思維.雖然在計算上稍顯復(fù)雜,但是作為一種課后補充還是可取的.