王曉晨

遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧 錦州 121000

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關(guān)于曲線(xiàn)積分計(jì)算方法的研究

王曉晨

遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧 錦州 121000

積分學(xué)的基本問(wèn)題就是求一個(gè)未知函數(shù)，使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一已知函數(shù)，與微分學(xué)所研究的問(wèn)題是逆向的。積分學(xué)的提出和高速發(fā)展正是建立于許多現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的基礎(chǔ)之上的，它為學(xué)習(xí)和掌握更加高深的數(shù)學(xué)知識(shí)提供了一個(gè)廣闊的發(fā)揮空間，是培養(yǎng)人的數(shù)學(xué)理性思維能力的一個(gè)好的平臺(tái)，有助于良好的數(shù)學(xué)建模意識(shí)的養(yǎng)成，可以讓學(xué)習(xí)者以一個(gè)更高的數(shù)學(xué)視角更深刻的了解微積分。通過(guò)對(duì)微積分的靈活運(yùn)用，搭建了學(xué)科與學(xué)科之間互為發(fā)展的橋梁，使數(shù)學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科用于計(jì)算的工具，而是人們必須掌握的基本能力。

曲線(xiàn)積分；計(jì)算方法

一、曲線(xiàn)積分與定積分

定積分是計(jì)算各種積分的基礎(chǔ)，曲線(xiàn)積分最終都轉(zhuǎn)化成定積分的計(jì)算。

曲線(xiàn)積分有兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分(第一型)；另一類(lèi)是對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分(第二型)。這兩類(lèi)曲線(xiàn)積分的定義是完全不同的，但由于它們都是沿曲線(xiàn)的積分，兩者之間又有密切的聯(lián)系。根據(jù)平面上兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系式[2]，我們可以將第一型曲線(xiàn)積分轉(zhuǎn)換成第二型曲線(xiàn)積分，也可以將第二型曲線(xiàn)積分轉(zhuǎn)換成第一型曲線(xiàn)積分。

二、第一型曲線(xiàn)積分的計(jì)算

(1.1)

例1.1設(shè)L是y2=4x從O(0,0)到A(1,2)一段，試計(jì)算第一型曲線(xiàn)積分?Lyds。

三、第二型曲線(xiàn)積分的計(jì)算

?LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=?αβ[P(φ(t),φ(t))φ′(t)+Q(φ(t),φ(t))φ′(t)]dt

(1.2)

例1.2求?Cy2dx+x2dy。其中C是上半橢圓x=acost，y=bsint，取順時(shí)針?lè)较颉?/p>

解：根據(jù)題意計(jì)算如下：

四、第一型曲線(xiàn)積分與第二型曲線(xiàn)積分的聯(lián)系

兩類(lèi)曲線(xiàn)積分通過(guò)公式[3]

(1.3)

例題1.3 把對(duì)坐標(biāo)的曲線(xiàn)積分?LP(x,y)dx+Q(x,y)dy化成對(duì)弧長(zhǎng)的曲線(xiàn)積分，其中L為沿上半圓周x2+y2=2x從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)。

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)生素質(zhì)教育階段的一門(mén)必修課程，對(duì)培養(yǎng)人的邏輯思維能力有著至關(guān)重要的作用，微積分是一種高級(jí)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，是加深數(shù)學(xué)理論知識(shí)理解的重要基石。本文關(guān)于曲線(xiàn)積分的計(jì)算問(wèn)題以及容易混淆的公式進(jìn)行了相應(yīng)的研究，并且提供了典型例題進(jìn)行演示，有助于相關(guān)學(xué)者對(duì)曲線(xiàn)積分問(wèn)題的研究。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

[2]趙莉.多元積分的計(jì)算與相互關(guān)系[J].張家口職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2001(2).

[3]劉曉妍.“兩類(lèi)曲線(xiàn)積分之間的聯(lián)系”中“夾角”與“轉(zhuǎn)角”的差異[J].高等數(shù)學(xué)研究,2003(1).

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