陸蘇鵬， 田可雷

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

1 引 言

Kadomtsev-Petviashvili系列[1]和Davey-Stewartson系列[2]一直是可積系統(tǒng)領(lǐng)域的熱門研究方向之一.通過對(duì)Lax算子以及Lax方程做一些改變，可以得到KP系列的推廣情形，如mKP系列、q-KP系列、q-mKP系列、離散KP系列、無色散KP系列等[3-8].對(duì)稱形式的q-mKP系列是將微分算子改成對(duì)稱形式的q-微分算子得到的[9].想要研究其可積性質(zhì)，須先討論其流方程.本文主要內(nèi)容是給出對(duì)稱形式的q-mKP系列流方程的等價(jià)形式.

2 對(duì)稱形式的q-mKP系列

定義1對(duì)稱形式的q-微分算子?qq-1定義為[10]

定義2移動(dòng)算子定義為

θif(x)=f(ix),i=q或q-1.

注意這里的移動(dòng)算子θi與對(duì)稱形式的q-微分算子?qq-1不能交換.實(shí)際上它們有如下的關(guān)系

對(duì)稱形式的q-微分算子?qq-1滿足萊布尼茨規(guī)則

給出幾個(gè)具體的公式

?qq-1°f=(θqf)?qq-1+(?qq-1f)θq-1,

定義3對(duì)稱形式的q-mKP系列的Lax方程定義為

Ltm=[(Lm)≥1,L],m=1,2,3,…,

(1)

(2)

3 對(duì)稱形式的q-mKP系列的流方程

為了簡(jiǎn)便，把式(2)寫成形式

(3)

并引入記號(hào)

通過計(jì)算，pj(n)和qj(n)滿足如下關(guān)系

(4)

注意從式(8)中發(fā)現(xiàn)pj(n)可以由ui唯一確定，即

pj(n)=fjn(u0,u1,u2,…,un-j),n=1,2,3,…,

(5)

其中fjn是?qq-1關(guān)于{u0,u1,u2,…,un-j}的微分多項(xiàng)式.

定理1對(duì)稱形式的q-mKP系列的流方程表示為

(6)

其中

(7)

(8)

證由式(7)可知

從而有

Ltm=[(Lm)≥1,L]=[L-(Lm)<1,L]=[L,(Lm)<1]

其中i=r+α,j=i+h.再結(jié)合等式

即可完成證明.

定義4對(duì)n=1,2,3,…，對(duì)稱形式的q-mKP系列的n-約化條件定義為L(zhǎng)n=(Ln)≥1.

上述n-約化條件等價(jià)為對(duì)于所有的j<1,有pj(n)=0.這意味著此時(shí)，只有前n個(gè)動(dòng)態(tài)坐標(biāo)(u0，u1，…，un-1)是獨(dú)立的，且其他所有的高階坐標(biāo)uj都可以表示成關(guān)于(u0,u1,…,un-1)的微分多項(xiàng)式.由參考文獻(xiàn)[7]，易得到以下定理.

定理2在n-約化條件下，對(duì)稱形式的q-mKP系列流方程的等價(jià)形式表示為

U(n)tm=B(n)P(n,m),

(9)

其中

4 結(jié) 論

通過Lax方程計(jì)算對(duì)稱形式的q-mKP系列的流方程，進(jìn)一步給出在n-約化條件下流方程的等價(jià)形式，將無窮維流方程改寫為有限維矩陣的形式，這為后續(xù)研究遞歸算子等其他可積性質(zhì)提供基礎(chǔ).

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.