方建新

作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的推理能力該如何培養(yǎng)，是廣大教師關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)以具體學(xué)習(xí)內(nèi)容為載體，以問(wèn)題解決為主線，通過(guò)創(chuàng)設(shè)探索情境，引導(dǎo)學(xué)生充分思考、動(dòng)手實(shí)踐，充分經(jīng)歷畫(huà)圖、列表、假設(shè)、猜想、驗(yàn)證等過(guò)程，把培養(yǎng)學(xué)生的推理能力落到實(shí)處。本文就人教版四下第九單元“雞兔同籠”一課，談?wù)劰P者的思考和體會(huì)。

一、學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)“雞兔同籠”問(wèn)題之前，學(xué)生已經(jīng)有過(guò)用假設(shè)法解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，但因?yàn)殡u兔同籠問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽且抽象，中年級(jí)學(xué)生思維以具體形象思維為主，他們理解起來(lái)有困難。如果沒(méi)有有效的啟發(fā)和引導(dǎo)，一部分學(xué)生可能不知道怎樣根據(jù)假設(shè)產(chǎn)生的“矛盾”進(jìn)行推理。在應(yīng)用過(guò)程中，有的學(xué)生可能會(huì)停留在表面素材的認(rèn)識(shí)，不能根據(jù)內(nèi)在數(shù)量關(guān)系的特征來(lái)理解和應(yīng)用，造成“只知雞兔，不知其他”，碰到類似的問(wèn)題無(wú)從下手，也就是不會(huì)類比聯(lián)想，不能學(xué)以致用。

二、教學(xué)策略建議

本節(jié)課應(yīng)讓學(xué)生親身經(jīng)歷雞兔同籠問(wèn)題解決的過(guò)程，通過(guò)猜想驗(yàn)證、討論交流等方式，讓學(xué)生在推理思考的過(guò)程中了解和感悟數(shù)學(xué)思想，掌握不同的解題策略和方法。就具體方法而言，主要有畫(huà)圖法、列表法、假設(shè)法等。

1. 畫(huà)圖嘗試，直觀推理。

用畫(huà)圖法解決雞兔同籠問(wèn)題，部分教師覺(jué)得既費(fèi)時(shí)又麻煩，在教學(xué)過(guò)程中不重視給予呈現(xiàn)和引導(dǎo)。但筆者認(rèn)為，畫(huà)圖法至少有三個(gè)好處：其一，內(nèi)隱的數(shù)量關(guān)系以直觀的手段呈現(xiàn)，體現(xiàn)了幾何直觀的高級(jí)思維方式，有利于發(fā)展學(xué)生解決問(wèn)題的策略。其二，適應(yīng)中年級(jí)學(xué)生以具體形象為主的思維特點(diǎn)，學(xué)生借助直觀的手段進(jìn)行推理，讓數(shù)學(xué)內(nèi)容變得容易理解。其三，數(shù)與形之間的變化，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程變得新奇有趣，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極情感。

在例1教學(xué)中，雞兔數(shù)量總和比較少（8只），可以先嘗試用畫(huà)圖法進(jìn)行直觀推理。教師可以先教學(xué)生用簡(jiǎn)圖表示雞和兔，本題講的是頭和腿的問(wèn)題，所以可以用“○”表示頭，用“|”表示腿。然后，可以讓學(xué)生自己嘗試用畫(huà)圖法解決問(wèn)題。學(xué)生呈現(xiàn)的思路可能有以下兩種：其一，先1只雞對(duì)應(yīng)1只兔畫(huà)，畫(huà)完3只雞和兔時(shí)，還剩下2個(gè)頭，8條腿，即剩下2只兔，總共是3只雞和5只兔。其二，分別畫(huà)4只雞和4只兔，發(fā)現(xiàn)腿的總條數(shù)少了2只腿，把一只雞換成一只兔，變成3只雞和5只兔。在第一種思路中，在學(xué)生分別畫(huà)了3只雞和3只兔時(shí)，教師可以依次提問(wèn)如下：“還剩下幾個(gè)頭幾只腿沒(méi)有畫(huà)？”“剩下2個(gè)頭8條腿，說(shuō)明剩下的動(dòng)物可能是2只雞嗎？”“可能是1只雞1只兔嗎？”“為什么是剩下2只兔？”通過(guò)上述提問(wèn)啟發(fā)學(xué)生完成思維推理過(guò)程。在第二種思路中，應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)推理中的矛盾：雞兔總數(shù)滿8只，腿還差2條。然后讓學(xué)生圍繞以下問(wèn)題進(jìn)行討論：“腿差2條，可以再畫(huà)1只雞嗎？”“如何在不改變雞兔總數(shù)的前提下解決少2條腿的問(wèn)題？”“這時(shí)候雞有幾只？兔有幾只？”推理的特征在于嚴(yán)密性和邏輯性，上述這些問(wèn)題的設(shè)計(jì)，既可以幫助學(xué)生自主完成思維推理的過(guò)程，還可以啟發(fā)學(xué)生在思考討論的過(guò)程中感受推理的特征。

2. 表格調(diào)整，比較推理。

畫(huà)圖法雖然直觀，但如果雞兔總數(shù)比較多，又需要逐一枚舉各種情況的時(shí)候，可以用表格法解決問(wèn)題。這也是初中數(shù)學(xué)常用的解題方法。很多學(xué)生不愿意使用逐一枚舉的方法，認(rèn)為太煩瑣，有些教師也不夠重視。其實(shí)，表格法看上去煩瑣，但是對(duì)于培養(yǎng)推理能力而言卻又獨(dú)具價(jià)值。借助列表，學(xué)生可以把所有的情況逐一展現(xiàn)，能做到既不重復(fù)也不遺漏，培養(yǎng)學(xué)生有序思考的習(xí)慣。也可以讓學(xué)生觀察表格中數(shù)字的變化特征，發(fā)現(xiàn)隱藏的數(shù)量關(guān)系和規(guī)律。在借助表格法解決雞兔同籠問(wèn)題時(shí)，學(xué)生呈現(xiàn)的策略一般有三種：逐一枚舉、取中枚舉或極值列表。

在用逐一枚舉法列表時(shí)，教師可以先呈現(xiàn)“雞兔一共有8只”這個(gè)條件幫助學(xué)生做一些必要的梳理，如“雞兔分別有幾只，一共有幾種可能？”逐一枚舉的過(guò)程其實(shí)就是一個(gè)推理的過(guò)程，教師要注意訓(xùn)練學(xué)生做到不重復(fù)不遺漏，當(dāng)然，也可以觀察算式對(duì)稱性特點(diǎn)（如0+8，1+7，2+6，3+5，4+4，5+3等），得到一共有9種可能，這就提升了推理的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

值得一提的是，學(xué)生嘗試用枚舉驗(yàn)證的方法時(shí)，如果按順序依次枚舉，最少嘗試4次就可以找到答案，反之，如果是雜亂的枚舉，最多需要9次才能找到正確結(jié)果。當(dāng)然，教師不應(yīng)滿足于解決雞兔只數(shù)的問(wèn)題，可以呈現(xiàn)所有的情況，讓學(xué)生觀察其中的規(guī)律，如表1。

讓學(xué)生明白，“在雞兔總數(shù)不變的情況下，雞每增加一只，總腿數(shù)就減少2條”，反之，“在雞兔總數(shù)不變的情況下，兔每增加一只，總腿數(shù)就增加2條”。明白了這個(gè)道理，教師可以從優(yōu)化推理的角度引導(dǎo)學(xué)生不斷優(yōu)化枚舉的過(guò)程。如，當(dāng)枚舉出現(xiàn)“5只雞3只兔”的時(shí)候，總腿數(shù)需要增加4條，只要把其中的2只雞換成2只兔即可。教師還可以借助表格讓學(xué)生充分舉例進(jìn)行推理調(diào)整，比如出現(xiàn)“7只雞1只兔、2只雞6只兔時(shí)……”讓學(xué)生充分說(shuō)理，多次經(jīng)歷推理思考過(guò)程。

有的學(xué)生可能會(huì)根據(jù)總數(shù)為8這個(gè)偶數(shù)特征，提出取中枚舉的思路，即從“4只雞，4只兔”出發(fā)，進(jìn)行推理。教師可以抓住推理過(guò)程中的矛盾，啟發(fā)學(xué)生思考并表達(dá)自己的看法：“當(dāng)雞兔只數(shù)都為4只時(shí)，比總腿數(shù)少了2條，該怎么辦？”“把兔換成雞還是把雞換成兔？為什么？”“需要把幾只雞換成兔？為什么？”

3. 假設(shè)推理，優(yōu)化推理。

前面已經(jīng)提到，如果僅從“雞兔總數(shù)共8只”這個(gè)條件出發(fā)進(jìn)行假設(shè)，一共可以呈現(xiàn)9種不同的情況，但有些極端的假設(shè)可以用推理的方式排除，比如問(wèn)學(xué)生“這8只有可能都是雞嗎？有可能都是兔嗎？為什么？”學(xué)生很容易排除這兩種假設(shè)。但這種假設(shè)是不是都沒(méi)有意義呢？筆者認(rèn)為，假設(shè)是推理的前提，教材中呈現(xiàn)的假設(shè)法其實(shí)就是利用這種極端的情況——“假設(shè)全部是雞或全部是兔”來(lái)思考推理。從這個(gè)思維層面上講，列表其實(shí)也是假設(shè)法的一種表現(xiàn)形式，假設(shè)法可以看成是對(duì)列表法的進(jìn)一步抽象和提升。因此，教學(xué)“雞兔同籠”問(wèn)題，要把假設(shè)的思想方法作為解決“雞兔同籠”問(wèn)題所有方法中最基本的解題方法，在教學(xué)中應(yīng)該將直觀的列表法與抽象的假設(shè)法進(jìn)行溝通與聯(lián)系，借助列表讓學(xué)生真正理解假設(shè)法，以發(fā)展學(xué)生的思維能力。

值得一提的是，學(xué)生在用假設(shè)法進(jìn)行解題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到張冠李戴的尷尬：只知機(jī)械套用假設(shè)法思路列式計(jì)算，卻不知道算出來(lái)的結(jié)果是雞的只數(shù)還是兔的只數(shù)，或者誤認(rèn)為假設(shè)是兔（雞），求出來(lái)的也是兔（雞）。這都說(shuō)明學(xué)生并沒(méi)有真正理解假設(shè)法。因此，在教學(xué)過(guò)程中更有必要讓學(xué)生經(jīng)歷清晰的推理過(guò)程，這個(gè)推理過(guò)程的核心其實(shí)是替換的思路，教師可設(shè)計(jì)一些環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題讓學(xué)生充分經(jīng)歷邏輯推理的過(guò)程。例如，“假設(shè)全是雞，會(huì)遇到什么問(wèn)題？”“如果是總腿數(shù)多了要怎么辦？總腿數(shù)少了又要怎么辦？”“如果是把雞（兔）換成兔（雞），求出來(lái)的結(jié)果是誰(shuí)的只數(shù)？為什么？”

當(dāng)然，在掌握雞兔同籠的結(jié)構(gòu)特征和解題方法之后，教師還可以再通過(guò)變式練習(xí)進(jìn)行拓展，比如用雞兔同籠問(wèn)題的思維方式解答“龜鶴問(wèn)題”，或者“自行車三輪車”等問(wèn)題。在變式練習(xí)的過(guò)程中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量關(guān)系方面來(lái)實(shí)現(xiàn)推理思考，經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程。

三、教學(xué)片段例舉

【教學(xué)片段1】

師：如果不列表，你能計(jì)算出雞和兔的只數(shù)嗎？

師：除了用列表法，我們還可以用假設(shè)法來(lái)解答。

（1）假設(shè)全是雞。

師：假設(shè)全是雞，會(huì)遇到什么問(wèn)題？

生：8只雞就有16條腿，就比總腿數(shù)少了10條腿。

師：為什么？

生：8只中有一些是兔，把它們算作是雞了。

生：1只兔看作是1只雞，就少算了2條腿。

師：那我們要怎么辦？

生：要把雞換成兔，因?yàn)檫@樣腿數(shù)才能增加。

師：替換之后，雞兔總數(shù)會(huì)變化嗎？

生：不會(huì)。

師：如果把雞換成兔，求出來(lái)的結(jié)果是誰(shuí)的只數(shù)？

生：因?yàn)?只雞換成1只兔，就會(huì)多2條腿，10除以2等于5，所以要5只兔去換雞，求出來(lái)就是兔的只數(shù)。

師：那雞的只數(shù)你會(huì)求嗎？

生：8-5=3。

讓學(xué)生列式解答，并說(shuō)出每道算式的意義。

假設(shè)全是兔（方法同上）

總結(jié)：在假設(shè)法解題時(shí)，如果假設(shè)全部都是雞，先求出來(lái)的是誰(shuí)的只數(shù)？如果假設(shè)全部都是兔，先求出來(lái)的是誰(shuí)的只數(shù)？

【教學(xué)片段2】

習(xí)題1：有龜和鶴共40只，龜?shù)耐群旺Q的腿共有112條。龜、鶴各有幾只？

師：上面這個(gè)問(wèn)題和“雞兔同籠”問(wèn)題有什么相似之處？

生：鶴是2條腿，龜是4條腿。

生：我們可以把鶴看作是2條腿的雞，把龜看作是4條腿的兔。

師：你會(huì)用雞兔同籠問(wèn)題的方法解答這道題嗎？

學(xué)生獨(dú)立解答，集體評(píng)議。

習(xí)題2：自行車和三輪車共10輛，總共有26個(gè)輪子。自行車和三輪車各有多少輛？

師：這道題和雞兔同籠問(wèn)題有什么不同？

生：這次變成了2條“腿”的自行車和3條“腿”的三輪車了，腿的條數(shù)變了。

師：還可以用雞兔同籠的方法來(lái)解答這道題嗎？

生：還可以用假設(shè)法解答。

讓學(xué)生獨(dú)立解答，有困難時(shí)教師予以引導(dǎo)。

（作者單位：湖北省紅安縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)）