黃天飛

[摘 要]對(duì)“三角形的高”這一概念的教學(xué)，一直以來(lái)都是小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”知識(shí)中的難點(diǎn)。為了突破這一難點(diǎn)，立足于教學(xué)實(shí)踐，從“源頭知識(shí)”的內(nèi)在聯(lián)系、“相關(guān)知識(shí)”的呈現(xiàn)溝通以及“本位知識(shí)”的動(dòng)態(tài)發(fā)展三個(gè)方面對(duì)這一概念教學(xué)提出了相應(yīng)的教學(xué)策略。

[關(guān)鍵詞]概念；本質(zhì)；經(jīng)歷過程；理解；三角形的高

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）08-0033-02

日前，由朱樂平老師領(lǐng)銜的“一課研究”公眾號(hào)發(fā)布了針對(duì)“三角形的高”這一概念教學(xué)開展的相關(guān)研究，該研究主要從“三角形的高”的概念屬性、前測(cè)與分析、教學(xué)策略三個(gè)方面進(jìn)行了詳細(xì)闡述，并在教學(xué)策略中提出了“探尋學(xué)生‘前數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)——暴露學(xué)生‘原初思維——引發(fā)學(xué)生‘認(rèn)知沖突——發(fā)展學(xué)生‘邏輯思維能力”的設(shè)計(jì)思路和觀點(diǎn)。筆者細(xì)讀之下深感受益匪淺?，F(xiàn)筆者結(jié)合我校教研組對(duì)“三角形的高”開展的研討活動(dòng)，就課堂教學(xué)中如何使學(xué)生把握這一概念的本質(zhì)屬性，從而促成學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)深刻理解的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行探索與思考。

一、以“源頭知識(shí)”的內(nèi)在聯(lián)系鋪墊

所謂“源頭知識(shí)”，指的是概念介紹中涉及的基本要素，在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”方面的概念表述中通常指點(diǎn)、線、面及其數(shù)量、狀態(tài)、特征等。教材對(duì)“三角形的高”這一概念采用發(fā)生式的定義方式，其中“一個(gè)頂點(diǎn)”“它的對(duì)邊”“垂線”“頂點(diǎn)和垂足之間”“線段”等組成部分都可以稱為“源頭知識(shí)”。這些知識(shí)點(diǎn)中，有相當(dāng)一部分屬于學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)，在本課前面部分三角形的特征教學(xué)中對(duì)“頂點(diǎn)”也有了較為直觀的認(rèn)識(shí)。但在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)于“對(duì)邊”這個(gè)含有狀態(tài)描述的知識(shí)點(diǎn)卻很容易被教師所忽視，這在后續(xù)教學(xué)中經(jīng)常會(huì)造成學(xué)生對(duì)直角、鈍角這兩類三角形的高存在理解上的困擾。在實(shí)施以下教學(xué)環(huán)節(jié)之前，應(yīng)先將三角形按角分類的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹和認(rèn)識(shí)，并讓學(xué)生利用學(xué)具分別搭出銳角、直角和鈍角三角形。這樣對(duì)學(xué)生更好地理解三角形的高具有一定的促進(jìn)作用。

[片斷1]三角形的字母表示

師：為了方便表達(dá)，我們用字母表示頂點(diǎn)，如A、B、C（板書如圖1），那么這個(gè)三角形就讀作三角形ABC。這里你能找出頂點(diǎn)A所對(duì)的邊嗎？

課件演示：頂點(diǎn)A所對(duì)的邊為BC邊，也可以把BC稱為A的對(duì)邊（板書如圖1）。其余兩個(gè)頂點(diǎn)呢？誰(shuí)來(lái)說一說？（課件分不同顏色進(jìn)行表示，以突出對(duì)應(yīng)關(guān)系）

師：一個(gè)三角形中有幾組頂點(diǎn)和對(duì)邊的關(guān)系？（三組）是由誰(shuí)的個(gè)數(shù)決定的？（頂點(diǎn)）你能在自己拼成的直角三角形和鈍角三角形上找到這三組頂點(diǎn)和對(duì)邊的關(guān)系嗎？試一試。

待操作后，指名讓學(xué)生在教師提供的直角三角形、鈍角三角形教具上指出來(lái)并進(jìn)行表述。

【點(diǎn)評(píng)】以上環(huán)節(jié)中，在介紹三角形字母表示的方法后，真正的著力點(diǎn)是使學(xué)生建立三角形中“頂點(diǎn)”與“相對(duì)的邊”之間的關(guān)系，并將此種關(guān)系與三角形的特征進(jìn)行有效溝通。以此為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生自主探索直角三角形、鈍角三角形中頂點(diǎn)與對(duì)邊的關(guān)系，為后續(xù)教學(xué)做好鋪墊。

二、以“相關(guān)知識(shí)”的呈現(xiàn)溝通遷移

單從數(shù)學(xué)知識(shí)的角度來(lái)講，與三角形的高相關(guān)的知識(shí)基礎(chǔ)主要是“點(diǎn)到直線的距離”和“平行四邊形、梯形的高”。但是，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)角度分析，每個(gè)學(xué)生對(duì)于“高”這一基礎(chǔ)概念的理解程度是各不相同的，但也體現(xiàn)出一定的共性，即他們的認(rèn)知水平集中于對(duì)實(shí)際物體“高度”的直觀感知上。針對(duì)這樣的情況，如何溝通生活中的高與數(shù)學(xué)中的高之間的聯(lián)系，并以此為基礎(chǔ)完成由已學(xué)的“平行四邊形或梯形的高”向“三角形的高”進(jìn)行遷移呢？筆者在實(shí)際教學(xué)中進(jìn)行了以下嘗試。

[片斷2]游戲探究三角形的高

師：同學(xué)們學(xué)得真不錯(cuò)！接下來(lái)，我們做個(gè)游戲——“圖形平移過橋洞”。

（1）利用長(zhǎng)方形教具演示

師：如圖2所示，圖形能通過嗎？（不能）為什么不能？（太高了）高在哪里？請(qǐng)同學(xué)們用三角板比出長(zhǎng)方形的高。

師：有什么辦法讓這個(gè)圖形平移通過呢？演示壓扁成平行四邊形之后通過橋洞（如圖3）。

師：為什么這樣就能通過了呢？

生：形狀變了。其實(shí)是什么變了？（高）（指向變化后平行四邊形的一條邊）是這條嗎？（不是）在哪里？用三角尺在教具上比出來(lái)。（操作還原成長(zhǎng)方形）這個(gè)時(shí)候的高在哪里？（學(xué)生指出）其實(shí)就是這個(gè)長(zhǎng)方形的什么？（寬）那你覺得對(duì)于圖形的高有什么要求？（必須垂直）

（2）出示銳角三角形教具演示

師：（請(qǐng)出第二個(gè)圖形，演示，如圖4）能通過嗎？（不能）什么原因？（太高了）高在哪里？你能用三角板演示一下嗎？（如圖5）

師示范（如圖6）：這樣表示是這個(gè)三角形的高嗎？為什么？（不是，沒有經(jīng)過最高的頂點(diǎn)）繼續(xù)演示（如圖7），這樣表示呢？（不是，高應(yīng)該是垂直距離）你能用自己的話來(lái)說一說什么是三角形的高嗎？

（3）根據(jù)學(xué)生回答，逐步引導(dǎo)得出（板書）：

高所在的對(duì)邊叫作底（板書），也就是說，底是由誰(shuí)決定的？（高）

用這樣的方法，能用三角尺表示出你拼成的銳角三角形的高嗎？你能在圖上畫出這條高嗎？（學(xué)生練習(xí)）

在這個(gè)三角形中，還能找到幾組這樣的關(guān)系呢？你能根據(jù)這種關(guān)系（指向板書）分別畫出其余的高嗎？（學(xué)生練習(xí)）

展示學(xué)生作業(yè)后提問：有幾條高？（3條）能找到幾組底和高相對(duì)應(yīng)的關(guān)系呢？（3組）

【點(diǎn)評(píng)】“圖形平移過橋洞”這一實(shí)際操作活動(dòng)的設(shè)計(jì)展示，主要包含兩方面的教學(xué)意圖。一是溝通生活中的高與數(shù)學(xué)概念的高之間的聯(lián)系；二是溝通已學(xué)的平行四邊形的高與三角形的高之間的聯(lián)系。其中涉及長(zhǎng)方形的高就是它的寬，除了強(qiáng)調(diào)高必須垂直的特征以外，也對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)直角三角形的高埋下了伏筆。具體到三角形高的概念，以使學(xué)生經(jīng)歷感知和探索為基礎(chǔ)，大大簡(jiǎn)化了教材中發(fā)生式的描述語(yǔ)言，從中抽取出“頂點(diǎn)到對(duì)邊之間的距離”這一核心知識(shí)。需要著重說明的是，本文標(biāo)題中提及的“淡化概念”主要是指“淡化”概念的描述語(yǔ)言，事實(shí)上，教材采用這樣的定義方式也暗含著使學(xué)生經(jīng)歷過程，從而加深學(xué)生對(duì)本質(zhì)屬性的理解的意圖。在“三角形的高”這一個(gè)概念的教學(xué)中貫穿“直觀感知——實(shí)踐操作——概括抽象”的總體思路。此外，由前一個(gè)教學(xué)片斷中落實(shí)的“3組頂點(diǎn)和對(duì)邊之間的關(guān)系”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，自然引出在三角形中有3條高和3組高與底相對(duì)應(yīng)的關(guān)系這些后續(xù)知識(shí)。

三、以“本位知識(shí)”的動(dòng)態(tài)發(fā)展建構(gòu)

這里所指的“本位知識(shí)”即為三角形的高概念本身，只是體現(xiàn)在直角三角形、鈍角三角形中呈現(xiàn)的形式發(fā)生了一定的變化。這種變化通常被認(rèn)為是造成學(xué)生理解困難的根源。那么，在實(shí)際教學(xué)中，如何破除學(xué)生不良思維定式的影響，從對(duì)本質(zhì)屬性的理解出發(fā)，實(shí)現(xiàn)對(duì)“三角形的高”概念的完整建構(gòu)，是本課設(shè)計(jì)與實(shí)施中突破教學(xué)難點(diǎn)的關(guān)鍵。

[片斷3]探索直角、鈍角三角形的高

利用教具直觀演示。移動(dòng)其中的一邊成銳角三角形（圖8），現(xiàn)在經(jīng)過頂點(diǎn)A的高在哪里？（請(qǐng)學(xué)生利用三角板表示出來(lái)）繼續(xù)演示，高在哪里？第三次演示：現(xiàn)在是一個(gè)什么三角形？（直角三角形）我把直角三角形請(qǐng)過來(lái)（圖9），現(xiàn)在經(jīng)過頂點(diǎn)A的高在哪里？（請(qǐng)一位學(xué)生上來(lái)用三角尺演示一下）

只要怎么樣就是高？（頂點(diǎn)到對(duì)邊之間的距離，在直角三角形中，這條邊就是垂直線段，所以它是高）那么這個(gè)時(shí)候底在哪里？（板書：高 底）你能在自己的直角三角形上找到這條高以及與它對(duì)應(yīng)的底嗎？在畫的圖上表示一下。我把這個(gè)直角三角形轉(zhuǎn)一下，從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，你能找到它的高嗎？這個(gè)時(shí)候底在哪里？也就是說在直角三角形中，這兩條互相垂直的邊可以互為高和底嗎？

繼續(xù)轉(zhuǎn)變（如圖10），現(xiàn)在成了什么三角形？（鈍角三角形）還是從頂點(diǎn)A出發(fā)，它的高在哪里？（頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離）可以怎么表示？對(duì)邊不夠長(zhǎng)怎么辦？（教師示范在延長(zhǎng)線上畫高）你能在自己的鈍角三角形上找到這條高，并在作業(yè)紙上畫出這條高嗎？（學(xué)生練習(xí)并反饋）

課件動(dòng)態(tài)展示（效果圖略），讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)并歸納：過一個(gè)頂點(diǎn)畫高時(shí)與三角形的另兩條邊無(wú)關(guān)。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步使學(xué)生明確：畫三角形的高其實(shí)是過一點(diǎn)畫已知直線的垂線。

【點(diǎn)評(píng)】該環(huán)節(jié)以教具直觀演示為主，先將銳角三角形轉(zhuǎn)變?yōu)橹苯侨切危趶?qiáng)化概念的基礎(chǔ)上引導(dǎo)得出：直角三角形中互相垂直的兩條直角邊互為高、底。再轉(zhuǎn)變?yōu)殁g角三角形，在前期不斷鋪墊，強(qiáng)化對(duì)“高”這一概念深入理解的基礎(chǔ)上，絕大部分學(xué)生都能自主完成知識(shí)的遷移。緊接著，教師在圖上示范畫法，再引導(dǎo)學(xué)生在自己的學(xué)具上找一找、畫一畫。最后，輔以課件動(dòng)態(tài)演示，旨在消除學(xué)生對(duì)畫高時(shí)由其他兩條邊造成的錯(cuò)誤干擾，并揭示三角形的高就是“點(diǎn)到直線的距離”這一核心概念，與已有知識(shí)體系建立了恰到好處的關(guān)聯(lián)。

綜上可知，教師對(duì)“三角形的高”概念進(jìn)行教學(xué)時(shí)，應(yīng)始終把握概念的本質(zhì)屬性，并合理利用知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、前后關(guān)系和發(fā)展特性恰當(dāng)選取教學(xué)素材，充分利用教具、學(xué)具，使學(xué)生完整經(jīng)歷“感知——操作——抽象”的認(rèn)知發(fā)展過程，從而達(dá)成深刻理解概念的目標(biāo)。

（責(zé)編 黃春香）