☉河北省衡水一中 莊釗棟 陳鐵亂

正交變換的性質(zhì)及其應(yīng)用

☉河北省衡水一中 莊釗棟 陳鐵亂

解析幾何與高等代數(shù)是數(shù)學(xué)專業(yè)的兩門基礎(chǔ)課，它們分屬幾何與代數(shù)兩大學(xué)科，各有獨(dú)立的教學(xué)體系，彼此之間又有著密切的聯(lián)系，而變換又是幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)中的分支，在經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展之后，變換已經(jīng)積累了大量的理論和結(jié)果，其應(yīng)用領(lǐng)域也在不斷擴(kuò)大.最初，變換主要用來(lái)討論圖形之間轉(zhuǎn)變的問題，后來(lái)由于變換的應(yīng)用越來(lái)越多，又將變換具體化，由此產(chǎn)生了線性變換，而正交變換是其中的一種變換.當(dāng)時(shí)正交變換已經(jīng)用來(lái)研究代數(shù)和幾何中的很多問題，又由于應(yīng)用的不同，將正交變換又具體分為平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、滑移反射變換等.如今，正交變換本身及其在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)系、光學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越受到人們的重視.本文在前人研究的基礎(chǔ)之上，試圖研究正交變換的一些性質(zhì)及其應(yīng)用，使正交變換的一些性質(zhì)能夠反映到幾何與代數(shù)上，通過(guò)代數(shù)與幾何中共同的知識(shí)解決數(shù)學(xué)中的一些其他問題.

一、預(yù)備知識(shí)

定義1.1正交變換在代數(shù)中的定義：歐氏空間V的一個(gè)線性變換σ稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對(duì)任意的α，β∈V，都有（σ（α），σ（β））=（α，β）.

設(shè)η1，η2，…，ηn是歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，在正交變換σ下，σ（η1），σ（η2），…，σ（ηn）也是V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè)

A=（aij）為正交矩陣，則有限維向量空間V的正交變換σ可表示為σ：α→Aα，即σ（α）=Aα，其中A為正交矩陣.

定義1.2正交變換在幾何中的定義：如果歐氏空間的點(diǎn)變換，把任意線段的兩個(gè)端點(diǎn)變成等長(zhǎng)線段的兩個(gè)端點(diǎn)，則稱其為正交變換（亦稱全等變換，又稱等距變換），平移、旋轉(zhuǎn)、反射、滑移反射等是正交變換的幾種特殊形式.

在標(biāo)準(zhǔn)正交基下，把點(diǎn)P（x1，x2，…，xn）變成點(diǎn)P′（x1′，x2′，…，xn′）的正交變換τ的公式表示是

其中A=（aij）為正交矩陣.

定義1.3取定平面π上向量υ.把平面π上的每一點(diǎn)P沿向量υ的方向平移到P′，使，這樣得到的變換叫做平面π的一個(gè)平移變換，簡(jiǎn)稱平移，記為tυ.

定義1.4把平面π上的每一點(diǎn)P繞一定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定角θ變到另一點(diǎn)P′，這樣得到的變換叫做π的旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)記為r（O，θ）.定點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)心，定角θ叫做旋轉(zhuǎn)角.

定義1.5取定平面π上的一條直線l.把任意一點(diǎn)P映到它關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′，這樣得到的π的變換稱為平面π對(duì)于直線l的軸反射變換，簡(jiǎn)稱反射，記為sl，稱l為反射軸.

定義1.6設(shè)υ是一個(gè)平行于直線l的向量，把每個(gè)點(diǎn)P變到它關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)Q以后再沿向量υ平移到P′，使，這樣將P映到P′的變換稱為沿直線l的滑移反射，滑移向量為υ.這也就是一個(gè)平行直線l的向量υ確定的平移tυ和對(duì)于直線l的反射sl的乘積tυsl.

二、正交變換在代數(shù)中的性質(zhì)及其證明

性質(zhì)2.1設(shè)σ是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，于是下面四個(gè)命題是等價(jià)的：

（1）σ是正交變換；

（2）σ保持向量的長(zhǎng)度不變，即對(duì)于α∈V，|σ（α）|=|α|；

（3）如果ε1，ε2，…，εn是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）也是標(biāo)準(zhǔn)正交基；

（4）σ在任意一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣.

證明：首先證明（1）與（2）等價(jià).如果σ是正交變換，那么（σ（α），σ（α））=（α，α），兩邊開方即得|σ（α）|=|α|.

反過(guò)來(lái)，如果σ保持向量的長(zhǎng)度不變，那么（σ（α），σ（α））=（α，α），（σ（β），σ（β））=（β，β），（σ（α+β），σ（α+β））=（α+β，α+β），

把最后的等式展開即得（σ（α），σ（α））+2（σ（α），σ（β））+（σ（β），σ（β））=（α，α）+2（α，β）+（β，β），

再利用前面的兩個(gè)等式，就有（σ（α），σ（β））=（α，β），也就是說(shuō)σ是正交變換.

再來(lái)證（1）與（3）等價(jià).

設(shè)ε1，ε2，…，εn是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，即（εi，εj）=（i，j=1，2，…，n）.如果σ是正交變換，那么（σ（εi），σ（εj））= .這就是說(shuō)σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是標(biāo)準(zhǔn)正交基.

反過(guò)來(lái)，如果σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么由α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn，β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn，

與σ（α）=x1σ（ε1）+x2σ（ε2）+…+xnσ（εn），

σ（β）=y1σ（ε1）+y2σ（ε2）+…+ynσ（εn），

即得（α，β）=x1y1+x2y2+…+xnyn=（σ（α），σ（β）），

因此σ是正交變換.

最后來(lái)證（3）與（4）等價(jià).

設(shè)σ在標(biāo)準(zhǔn)正交基ε1，ε2，…，εn下的矩陣為A，即（σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn））=（ε1，ε2，…，εn）A，如果σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么A可以看做由標(biāo)準(zhǔn)正交基ε1，ε2，…，εn到σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）的過(guò)渡矩陣，因而是正交矩陣.

反過(guò)來(lái)，如果A是正交矩陣，那么σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εn）就是標(biāo)準(zhǔn)正交基.

這樣，我們就證明了（1）（2），（3），（4）的等價(jià)性.

性質(zhì)2.2設(shè)σ為歐氏空間V的可逆變換，則σ為V的正交變換的充要條件是：對(duì)任意的ξ，η∈V，有（σ（ξ），η）=（ξ，σ-1（η））.

證明：必要性：因?yàn)榭赡孀儞Qσ為V的正交變換，所以對(duì)任意的ξ，η∈V，有（σ（ξ），η）=（σ（ξ），Eη）=（σ（ξ），σ（σ-1（η）））=（ξ，σ-1（η））.

充分性：由條件知，對(duì)任意的ξ，η∈V，

有（σ（ξ），σ（η））=（ξ，σ-1（σ（η）））=（ξ，Eη）=（ξ，η）.

所以由性質(zhì)2.1可知，σ為V的正交變換.

對(duì)任意的ξ，η∈V，a∈R，

所以σ是V到V的線性變換.

對(duì)任意的ξ∈V，

這說(shuō)明|σ（ξ）|=|ξ|，根據(jù)性質(zhì)2.1可知，σ是V的正交變換.

性質(zhì)2.4設(shè)α1，α2，…，αm和β1，β2，…，βm是n維歐幾里得空間的兩個(gè)向量組，試證明存在一個(gè)正交變換σ，使得σ（αi）=βi，i=1，2，…，m的充要條件是（αi，αj）=（βi，βj），i，j= 1，2，…，m.

證明：必要性：設(shè)σ是正交變換，滿足σ（αi）=βi，i= 1，2，…，m，由正交變換的定義，有（βi，βj）=（σ（αi），σ（αj））=（αi，αj），i，j=1，2，…，m.

充分性：已知（αi，αj）=（βi，βj），i，j=1，2，…，m.

若α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)，將其單位正交化，得到ε1，ε2，…，εm，它們兩兩正交，且都是單位向量.

設(shè)ε1=a11α1，

ε2=a12α1+a22α2，

…

εm=a1mα1+a2mα2+…+ammαm，

寫成矩陣形式（ε1，ε2，…，εm）=（α1，α2，…，αm）A，

構(gòu)造向量組η1=a11β1，

η2=a12β1+a22β2，

…

ηm=a1mβ1+a2mβ2+…+ammβm，

其矩陣形式為（η1，η2，…，ηm）=（β1，β2，…，βm）A，

下面證明η1，η2，…，ηm線性無(wú)關(guān).

對(duì)k1η1+k2η2+…+kmηm=0，兩邊用ηi（i=1，2，…，m）作內(nèi)積，得齊次線性方程組

k1（η1，ηi）+k2（η2，ηi）+…+km（ηm，ηi）=0，i=1，2，…，m.

方程組的系數(shù)矩陣的行列式

由于ε1，ε2，…，εm線性無(wú)關(guān)，所以ε1，ε2，…，εm的格拉姆行列式不等于0，所以η1，η2，…，ηm線性無(wú)關(guān).

分別將ε1，ε2，…，εm與η1，η2，…，ηm擴(kuò)充成標(biāo)準(zhǔn)正交基：ε1，ε2，…，εn和η1，η2，…，ηn，則存在線性變換σ，使σ（εi）=ηi，i=1，2，…，n.

由于ε1，ε2，…，εn與η1，η2，…，ηn都是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以σ是正交變換.

又（β1，β2，…，βm）A=（η1，η2，…，ηm）

=（σ（ε1），σ（ε2），…，σ（εm））

=σ（ε1，ε2，…，εm）

=σ（α1，α2，…，αm）A.

由于A是可逆矩陣，于是有σ（αi）=βi，i=1，2，…，m.

當(dāng)α1，α2，…，αm線性無(wú)關(guān)時(shí)，不妨設(shè)α1，α2，…，αr是一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.由上面證明知道，β1，β2，…，βr線性無(wú)關(guān)，對(duì)于?j，

所以β1，β2，…，βr是β1，β2，…，βm的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.

對(duì)α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr用前述方法可得到正交變換σ，使得σ（αi）=βi，i=1，2，…，r.而r+1≤s≤m，

三、正交變換在幾何中的性質(zhì)及其證明

性質(zhì)3.1設(shè)σ為歐氏空間V中的等距變換，x，y為V中的任意兩點(diǎn)，則有

（1）x·y=［σx）-σ（0）］·［σ（y）-σ（0）］，

（2）σ（x+y）=σ（x）+σ（y）-σ（0），

（3）σ（kx）-σ（0）=k［σ（x）-σ（0）］（k∈R）.

證明：（1）因?yàn)棣覟榈染嘧儞Q，所以d（0，x）=d（σ（0），σ（x）），d（0，y）=d（σ（0），σ（y）），d（x，y）=d（σ（x），σ（y））.

又因?yàn)閐2（x，y）=|y-x|2=d2（0，x）+d2（0，y）-2x·y，

d2（σ（x），σ（y））=|σ（y）-σ（x）|2

=d2（σ（0），σ（x））+d2（σ（0），σ（y））-2［σ（x）-σ（0）］·［σ（y）-σ（0）］.

比較以上兩式，立即得出（1）的結(jié)論是成立的.

展開后利用（1）的結(jié)論得

=（x+y）2+x2+y2-2（x+y）·x-2（x+y）·y+2x·y=0.

所以，σ（x+y）-σ（x）-σ（y）+σ（0）=0，因此（2）的結(jié)論是正確的.

（3）的證明與（2）的證明類似，在此省略.

性質(zhì)3.2n維歐氏空間V中一個(gè)變換σ為等距變換的充分必要條件是σ（x）=xA+x0，（1）其中x為V中任意一點(diǎn)，x0為V中一定點(diǎn)，A為正交矩陣.

證明：必要性：取V中n+1個(gè)點(diǎn)，原點(diǎn)O，V1（1，0，0，…，0），V2（0，1，0，…，0），…，Vn（0，0，…，0，1），Vi的向徑記為ei.設(shè)x=（x1，…，xn）為V中任意一點(diǎn)，那么

應(yīng)用性質(zhì)3.1得

充分性：將（1）改寫成σ（x）=xA+x0，顯然x0=σ（0），設(shè)x，y為V中任意兩點(diǎn)，有

d2（σ（x），σ（y））=|σ（y）-σ（x）|2=|（y-x）A|2

=（y-x）AA′（y-x）′|y-x|2=d2（x，y），

即d（x，y）=d（σ（x），σ（y））.充分性得證.

性質(zhì)3.3一個(gè)平移和一個(gè)反射的乘積是一個(gè)滑行反射.

證明：設(shè)l是π上一條直線，υ是π上一個(gè)向量.考慮對(duì)于l的反射sl和υ確定的平移tυ.取l為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)υ（x0，y0）.令u（x0，0），方程為的直線記為l′.考慮沿直線l′且滑移向量為u的滑移反射f=tusl′.設(shè)f將點(diǎn)P（x，y）映到點(diǎn)P′（x′，y′），則但sl將P（x，y）映到Q（x，-y），tυ將Q（x，-y）映到P′（x+x0，-y+y0）.于是tυsl也是將P映到P′.因此，tυsl=tusl′，即證明了一個(gè)平移和一個(gè)反射的乘積是一個(gè)滑移反射.

四、代數(shù)中的正交變換與幾何中的正交變換的區(qū)別與聯(lián)系

定義1.1和定義1.2雖則都稱為正交變換，但是僅僅從定義上看，它們是有明顯區(qū)別的：

定義1.1中的σ是歐氏空間V的線性變換，而定義1.2中的τ是歐氏空間中的一個(gè)變換，但并沒有強(qiáng)調(diào)它必須是線性變換.

事實(shí)上，從變換公式中我們可以很容易地看到，對(duì)于σ有，對(duì)?α，β∈V，k，m∈F（F是數(shù)域）有σ（kα+mβ）= A（kα+mβ）=k（Aα）+m（Aβ）=kσ（α）+mσ（β）.

另一方面，只有當(dāng)（a1，…，an）T=0時(shí)，τ才是線性變換，一般情況下τ不是線性變換.因此，一般而言，這兩個(gè)概念是有差異的.

除上述差異外，這兩個(gè)概念之間其實(shí)還存在許多相同之處：

（1）變換σ，τ的公式表示中，矩陣都是正交矩陣；

（2）σ保持向量的長(zhǎng)度不變，τ保持兩點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度不變，二者都具有保距性；

（3）σ把V中的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基（這也是之所以稱其為正交變換的原因），而易于證明，τ也是把歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基變成標(biāo)準(zhǔn)正交基.

由此看來(lái)，定義1.1和定義1.2在本質(zhì)上又是一樣的.

平面上的平移變換（又稱點(diǎn)變換）是一個(gè)等距變換，而在此變換下，標(biāo)準(zhǔn)正交基仍變成標(biāo)準(zhǔn)正交基.同時(shí)，該平移誘導(dǎo)了一個(gè)正交向量變換，其表達(dá)形式為τ（α）=Aα，這和定義1．1中的表達(dá)形式是一致的，即平移變換是等距變換，本質(zhì)上也是正交變換．因此，我們可以說(shuō)正交變換、等距變換是一個(gè)概念，這也是將正交變換又稱為等距變換的原因．

但一般而言，平面的正交變換和仿射變換不是線性變換．

因此，既充分考慮到代數(shù)中和幾何中正交變換兩個(gè)概念在本質(zhì)上的一致（保距，保正交，都可以寫成正交向量變換的形式），又考慮到兩個(gè)概念在形式上的區(qū)別，可將代數(shù)中的正交變換稱為正交向量變換，將幾何中的正交變換稱為正交點(diǎn)變換，二者都是等距變換．

五、正交變換的應(yīng)用

1．正交變換在重積分中的應(yīng)用

證明：設(shè)（a，b，c）為三維空間的一個(gè)向量，單位向量化得

再將其擴(kuò)充為三維空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，設(shè)為（a1，

作正交變換

則A為正交矩陣，即AAT=E，所以

兩邊轉(zhuǎn)置得（x，y，z）=（u，v，w）A．于是

又因?yàn)锳AT=E，而，由（1）式知，ax+by+cz=ku．

解：令f（x，y，z）=5x2+6y2+4z2-4xy-4xz，

容易判斷它是一個(gè)正定矩陣，設(shè)其特征值為λ1，λ2，λ3，則λ1＞0，λ2＞0，λ3＞0，|λ1λ2λ3|=|A|=80＞0，

使f（x，y，z）=λ1u2+λ2v2+λ3w2．

由正交變換的性質(zhì)可得

2．正交變換在曲面方程中的應(yīng)用

二次曲面的方程

a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a14x+2a24y+ 2a34z+a44=0，（4）

X=（xyz1）T，A=（aij）3×3，（4）式可寫成XTA~X=0，A~和A都是實(shí)對(duì)稱矩陣.設(shè)T=（tij）3×3為三維空間正交變換的矩陣，將x，y，z的二次式（4）化成x′，y′，z′的二次式，但x′，y′，z′的二次式所對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣為B~和B，有|A~|=|B~|，| A|=|B|，秩（A~）=秩（B~），秩（A）=秩（B）.

適當(dāng)?shù)剡x取正交矩陣T=（tij）（i，j=1，2，3），|T|=1，可有

T′AT=diag（λ1，λ2，λ3），（xyz）T=T（x′y′z′）T，

則方程（4）可化成

λ1x′2+λ2y′2+λ3z′2+2b14x′+2b24y′+2b34z′+b44=0，

對(duì)此再進(jìn)行坐標(biāo)系的平移與旋轉(zhuǎn)可得其標(biāo)準(zhǔn)型.

例3用正交變換法化二次型f=2x1x2-2x3x4為標(biāo)準(zhǔn)型.

λ3=λ4=1，解特征方程得到ξ3=

則P是正交矩陣，且有PTAP=

例4求證曲面∑1：x3-y+z-1=0和∑2：x3-6x2+12x-y+ z-5=0關(guān)于點(diǎn)M（1，1，0）對(duì)稱.

證明：設(shè)點(diǎn)P（x1，y1，z1）是∑1上任意一點(diǎn)，則z1-1=0.

若σ（P）=P′（x1′，y1′，z1′），則可以得知

代入得（2-x1′）3-（2-y1′）+（-z1′）-1=0，

整理得x1′3-6x1′2+12x1′-y1′+z1′-5=0，

即（x1′，y1′，z1′）在∑2上.

反之，可以證明對(duì)∑2上任意一點(diǎn)Q（x1，y1，z1），σ（Q）=Q′也都在∑1上，即∑1，∑2關(guān)于點(diǎn)M（1，1，0）對(duì)稱.

例5求與橢球面∑10，1）對(duì)稱的橢球面∑2的方程.

解：將∑1的方程中的下x，y，z分別用-2-x，-y，2-z代替，得即∑2的方程為

3.正交變換在條件極值中的應(yīng)用

例6求F（x，y）=x2+y2在條件3x2+4xy+3y2=1下F的最大值和最小值.

解：3x2+4xy+3y2=1和F（x，y）=x2+y2表示為的特征根為1和5，取T=

因此求在條件X2+5Y2=1下，F(xiàn)=X2+Y2的最大值和最小值就可以了.

4.旋轉(zhuǎn)變換在多元函數(shù)積分中的應(yīng)用

例7設(shè)曲面∑為球面：x2+y2+z2=a2.試計(jì)算第一型曲面積分

解：直接計(jì)算將非常困難，但如果將被積函數(shù)化為一元函數(shù)，則有可能積出，加之被積函數(shù)中的x-2y-2z是x，y，z的線性函數(shù)，因此可考慮坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)，例如，作旋轉(zhuǎn)變換

注意（5）式中的變換矩陣是一個(gè)行列式為1的正交矩陣，因此它可以表示一個(gè)將空間右手直角坐標(biāo)系Oxyz變成右手直角坐標(biāo)系Ox′y′z′的旋轉(zhuǎn)變換，在此變換下（空間的點(diǎn)未動(dòng)，只是點(diǎn)的坐標(biāo)變了），∑的方程變?yōu)椤啤洌簒′2+y′2+z′2=a2，所求積分化成為

利用球面的參數(shù)方程

r=（x′，y′，z′）=（asinφcosθ，asinφsinθ，acosφ），0≤φ≤π，0≤θ≤2π，

六、結(jié)束語(yǔ)

本文重點(diǎn)討論了正交變換在重積分中的應(yīng)用，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型中正交變換的應(yīng)用，正交變換在曲面方程中的應(yīng)用，正交變換在條件極值中的應(yīng)用以及正交變換的一些性質(zhì)及其證明.當(dāng)然，本文僅討論了正交變換在有限的數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的應(yīng)用，還有許多正交變換在其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用并未討論.

1.梅向明，黃敬之.微分幾何［M］.高等教育出版社，2005年4月.

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