顧日新

【摘要】“用教材教”的新課程觀既彰顯了教材的資源特色，也暗含了教材可變的、發(fā)展的、開(kāi)放的特點(diǎn).教師應(yīng)在全面準(zhǔn)確把握教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，在不偏離課程標(biāo)準(zhǔn)的前提下，不為教材所束縛，靈活使用教材，積極開(kāi)發(fā)、整合、豐富課程資源，使教材更好地服務(wù)于教學(xué)，服務(wù)于學(xué)生.

【關(guān)鍵詞】蘇教版；集合起始課；例題；習(xí)題

【基金項(xiàng)目】教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金項(xiàng)目——我國(guó)農(nóng)村中小學(xué)教師的TPACK及其教學(xué)表現(xiàn)研究（14YJA880054）；江蘇省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)一般項(xiàng)目——義務(wù)教育均衡發(fā)展視域下江蘇薄弱學(xué)校教師的TPACK狀況及其提升路徑研究.

教材是課程資源的核心部分，是教師開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)的重要媒介.盡管傳統(tǒng)課程觀和新型課程觀都強(qiáng)調(diào)教材的核心地位，但前者“教教材”的思想凸顯了教材的權(quán)威性，而后者“用教材教”的思想既彰顯了教材的資源特色，也暗含了教材是可變的、發(fā)展的，也是開(kāi)放的之特點(diǎn).新課程觀倡導(dǎo)教師不為教材所束縛，在全面準(zhǔn)確把握教材內(nèi)容的基礎(chǔ)上，靈活使用教材，積極開(kāi)發(fā)和豐富課程資源.本文是基于蘇教版高中數(shù)學(xué)教材必修1第一章“集合”[1]起始課的教學(xué)內(nèi)容，談一些粗淺的認(rèn)識(shí)和思考以供借鑒，不當(dāng)之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、“類”是集合的重要特征嗎？

蘇教版必修1第1章“集合”引言：

藍(lán)藍(lán)的天空中，一群鳥(niǎo)在歡快地飛翔；

茫茫的草原上，一群羊在悠閑地走動(dòng)；

清清的湖水里，一群魚(yú)在自由地游泳；

……

鳥(niǎo)群、羊群、魚(yú)群……都是“同一類對(duì)象匯聚在一起”，這就是本章將要學(xué)習(xí)的集合.

無(wú)論是高聲朗讀，還是低聲慢吟，這段唯美的文字都能給人以一種安謐嫻靜的意境.但仔細(xì)玩味“同一類對(duì)象匯聚在一起”這句話，我們不禁要問(wèn)：“同一類”三個(gè)字是集合中元素的重要特征嗎？羊群因同類成群而構(gòu)成集合，那么，草原上羊、牛、獅子、老虎等動(dòng)物匯集在一起是集合嗎？魚(yú)群因同類成群而構(gòu)成集合，那么，魚(yú)、蝦、蟹匯集在一起是集合嗎？

關(guān)于“類”，石志群教師撰文寫(xiě)到[2]：事實(shí)上，將“類”作為集合概念的重要特征的不止斯托利亞爾，著名數(shù)學(xué)家R·柯朗在其名著《數(shù)學(xué)是什么》中直截了當(dāng)?shù)刂赋觯骸坝蓪?duì)象組成的類或集的概念是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一.”由此可見(jiàn)，“類”的提出是有歷史依據(jù)的.那么，如何正確理解“同一類”三個(gè)字呢？

推敲必修一第5頁(yè)引入集合定義的方法，筆者認(rèn)為，“類”的對(duì)象是相對(duì)的，不是絕對(duì)的，如何歸類，要看分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么.張松年老師認(rèn)為[3]：蘇教版必修1第1章“集合”的章頭圖是原野上的一群大象.我們可以把象群看作一個(gè)整體，其中的每一頭象都是這個(gè)整體的一個(gè)元素；也可以把整個(gè)原野系統(tǒng)看作一個(gè)整體，其中的每一個(gè)物體（一草、一木、一象、一土）都是這個(gè)整體的一個(gè)元素.正像章首語(yǔ)中所說(shuō)的，“同一類對(duì)象匯集在一起”就成了集合，關(guān)鍵是以什么標(biāo)準(zhǔn)來(lái)“分類”，以確定哪些對(duì)象“匯集在一起”.

說(shuō)實(shí)話，引言中“同一類”三字確實(shí)容易引起初學(xué)者對(duì)集合元素一般認(rèn)知上的歧義.為正確理解“類”的內(nèi)涵，不僅教師自身要對(duì)“類”有足夠深刻的認(rèn)識(shí)，而且也要讓學(xué)生弄清楚，這對(duì)概念的理解非常必要.

二、“集合”一詞的提出到底是哪一年？

蘇、滬兩個(gè)版本的新教材都在正文一側(cè)設(shè)置了旁白，創(chuàng)意新穎，有對(duì)教材內(nèi)容作必要補(bǔ)充、提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、拓寬學(xué)生數(shù)學(xué)視野、提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.其中，數(shù)學(xué)家生平簡(jiǎn)介是兩個(gè)版本的共同特色.集合論創(chuàng)始人德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾的生平引起了筆者的興趣.原文摘錄如下（數(shù)學(xué)家頭像省略）：

蘇教版必修1第5頁(yè)

康托爾（G.Cantor，1845—1918），德國(guó)數(shù)學(xué)家、集合論創(chuàng)始人，他于1895年談到“集合”一詞.

滬教版（高一年級(jí)第一學(xué)期）第5頁(yè)

康托爾（G.Cantor，1845—1918），德國(guó)數(shù)學(xué)家、集合論創(chuàng)始人.1871年他給集合的說(shuō)明是：“把一定的并且彼此可以明確識(shí)別的事物——這種事物可以是直觀的對(duì)象，也可以是思維的對(duì)象——放在一起，叫作一個(gè)集合，這些事物的每一個(gè)叫作該集合的一個(gè)元素.”

閱讀兩則旁白，“集合”一詞的提出時(shí)間分別是1895年和1871年，我們不禁要問(wèn)：“集合”一詞的提出到底是哪一年？查閱文獻(xiàn)，關(guān)于集合論的誕生有很多記錄，主流的說(shuō)法有三種：

第一種[4]：1873年12月7日，康托爾寫(xiě)信給戴德金，說(shuō)他已能成功地證明實(shí)數(shù)的“集體”是不可數(shù)的了，這一天也因此成為集合論的誕生日.

第二種[5]：1873年12月7日，康托爾寫(xiě)信給戴德金，說(shuō)他已能成功地證明實(shí)數(shù)的“集體”是不可數(shù)的，也就是不能同正整數(shù)的“集體”一一對(duì)應(yīng)起來(lái).這一天應(yīng)該看成是集合論的誕生日.

第三種[6]：一般認(rèn)為，集合論誕生于1873年底.1873年11月29日，康托爾（G.Cantor，1845—1918）在給戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind，1831—1916）的信中提問(wèn)“正整數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間能否一一對(duì)應(yīng)起來(lái)？”這是一個(gè)導(dǎo)致集合論產(chǎn)生的大問(wèn)題.幾天后，康托爾用反證法證明了此問(wèn)題的否定性結(jié)果，“實(shí)數(shù)是不可數(shù)集”，并將這一結(jié)果以標(biāo)題為《關(guān)于全體實(shí)代數(shù)集合的一個(gè)性質(zhì)》的論文發(fā)表在德國(guó)《克萊爾數(shù)學(xué)雜志》上，這是“關(guān)于無(wú)窮集合論的第一篇革命性論文”，在其系列論文中，他首次定義了集合、無(wú)窮集合、導(dǎo)集、序數(shù)、集合運(yùn)算等，康托爾的這篇文章標(biāo)志著集合論的誕生.

從上述三則文獻(xiàn)看，盡管“集合”一詞的提出沒(méi)有明確說(shuō)明是哪一年，但集合論的誕生應(yīng)該是1873年，那么“集合”一詞的提出是19世紀(jì)70年代較為客觀.

三、Venn圖的首次使用是哪一年？

本小節(jié)除了以旁白的形式給出集合論創(chuàng)始人康托爾（G.Cantor，1845—1918）的生平簡(jiǎn)介外，在第6頁(yè)同樣以旁白的形式給出了Venn圖的創(chuàng)始人文恩（J.Venn，1834—1923）的生平簡(jiǎn)介（如下圖），但和康托爾（G.Cantor，1845—1918）的簡(jiǎn)介相比，文字太過(guò)簡(jiǎn)略，以至于Venn圖首次使用是哪一年都沒(méi)有注明.查閱有關(guān)文獻(xiàn)，關(guān)于文恩的個(gè)人信息確實(shí)非常少.百度百科則引用了《教材完全解讀·高一數(shù)學(xué)必修一》（王后雄主編，中國(guó)青年出版社，2014年）關(guān)于數(shù)學(xué)家的簡(jiǎn)介：1880年，文恩（Venn）在《論命題和推理的圖表化和機(jī)械化表現(xiàn)》一文中首次采用固定位置的交叉環(huán)形式用封閉曲線（內(nèi)部區(qū)域）表示集合及其關(guān)系的圖形（VennDiagram，也稱韋文圖或維恩圖）.為給學(xué)生更多關(guān)于Venn圖的信息，在原有文字的基礎(chǔ)上，加上“Venn圖首次使用于1880年”這句話，則顯得更為完整.

蘇教版必修1第6頁(yè)

文恩（J.Venn，1834—1923），英國(guó)數(shù)學(xué)家.

四、例題、習(xí)題的調(diào)整

（一）例題做加法——以固化集合概念的內(nèi)涵與外延

蘇教版教材給出了集合的描述性概念：一般地，一定范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合（set）.教學(xué)實(shí)踐中，教師一般在講授完概念之后會(huì)啟發(fā)學(xué)生：從集合描述性概念中，你能得出集合中的元素具有什么性質(zhì)？學(xué)生一般都能順利地說(shuō)出“確定性和互異性”.關(guān)于集合中元素具有無(wú)序性，在講授完集合相等的概念（如果兩個(gè)集合所含元素完全相同，那么這兩個(gè)集合相等）之后，元素的“無(wú)序性”也是比較容易得出和理解的.元素的三個(gè)性質(zhì)中，“確定性”比較抽象，若不通過(guò)具體的例子對(duì)其進(jìn)行固化.學(xué)生是無(wú)法形成“確定性”的概念的.所以，可以在原有例題的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一組題目以加深對(duì)集合概念的認(rèn)識(shí).

如，判斷下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合，若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無(wú)限集；若不能構(gòu)成集合，請(qǐng)你說(shuō)明理由.

（1）江蘇省各地級(jí)市；

（2）我們班身高大于1.70米的學(xué)生；

（3）末位數(shù)是5的自然數(shù)；

（4）第一象限內(nèi)的點(diǎn).

（二）習(xí)題做整合——以突出重點(diǎn)與難點(diǎn)

本課時(shí)課后練習(xí)由5道題目組成，限于篇幅，不對(duì)原文進(jìn)行摘錄（詳見(jiàn)教材第7頁(yè)）：

1，2，4三道題都是集合表示方法的單一應(yīng)用（一對(duì)一的轉(zhuǎn)換），其中，第1題是描述法轉(zhuǎn)換為列舉法，第4題的（1）、（2）兩小題也是如此；第2題及第4題的第（3）小題則是把文字語(yǔ)言表示的集合用描述法來(lái)表示；1，4兩題的設(shè)置有重復(fù)之嫌疑.不如把第1，2，4三題合并為一組題目，以考查學(xué)生把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為集合語(yǔ)言的靈活性，同時(shí)，也能讓學(xué)生體會(huì)到集合表示方法的不唯一性.為突出對(duì)集合概念的理解、Venn圖的運(yùn)用及后續(xù)學(xué)習(xí)的需要.在題量保持不變的情況下，對(duì)原習(xí)題做重新整合，具體如下：

1.試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

（1）中國(guó)國(guó)旗的顏色組成的集合；

（2）12的約數(shù)組成的集合；

（3）不超過(guò)5的自然數(shù)組成的集合；

（4）奇數(shù)的集合；

（5）偶數(shù)的集合；

（6）由方程x2-1=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

（7）不等式x2+1≤0的解集.

（8）平面直角坐標(biāo)系中第二象限的點(diǎn)組成的集合.

2.教材第3題.

3.數(shù)集M={0，x，x2}，那么實(shí)數(shù)x不能取哪些值？

設(shè)計(jì)意圖：考查集合中元素的互異性.

4.教材第5題.

5.如圖，Venn圖表示哪幾個(gè)集合？請(qǐng)用適當(dāng)?shù)姆椒ò阉屑弦灰槐硎境鰜?lái).

設(shè)計(jì)意圖：集合表示方法之間的靈活轉(zhuǎn)換，既為后續(xù)學(xué)習(xí)集合的運(yùn)算做鋪墊，也突出數(shù)形結(jié)合思想.

總之，在不偏離課程標(biāo)準(zhǔn)的前提下，在尊重教材的基礎(chǔ)上，對(duì)教材進(jìn)行思考及合理調(diào)整，使教材更好地服務(wù)于教學(xué)，服務(wù)于學(xué)生，是我們每一個(gè)一線教師的責(zé)任.在思考中調(diào)整，在調(diào)整中前行，也許思考和調(diào)整是片面的、狹隘的，甚至是錯(cuò)誤的；也許前行的道路是曲折的、艱巨的，甚至是痛苦的.但只要我們不斷反思，不斷學(xué)習(xí)，思考和調(diào)整的過(guò)程一定是美麗的，前行沿途的風(fēng)景一定是別致的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]單墫.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2005.

[2]石志群.回歸本真深化認(rèn)識(shí)——對(duì)“集合”概念教學(xué)的思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2013（6）：2-3.

[3]張松年.寓意深刻匠心獨(dú)運(yùn)—例析蘇教版高中數(shù)學(xué)教材的編排結(jié)構(gòu)與設(shè)計(jì)意圖[J].教育研究與評(píng)論：課堂觀察，2014（4）：22-27.

[4]佚名.集合論[EB/OL].[2014-09-20].http：∥zh.wikipedia.org/wiki/集合論.

[5]佚名.集合論[EB/OL].[2014-09-20].http：∥baike.baidu.com/view/26152.htm？fr=aladdin.

[6]李長(zhǎng)杉.集合論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)[J].學(xué)周刊，2013（1）：16.