●楊偉達 (花都區(qū)第二中學 廣東廣州 510820)

例談2個動點間距離最值問題的幾種解題途徑*

●楊偉達 (花都區(qū)第二中學 廣東廣州 510820)

有關(guān)距離的最值問題在中學數(shù)學中占有舉足輕重的地位，在全國各地的高考試題中也頻頻出現(xiàn).它呈現(xiàn)出變化多、涉及面廣、形式靈活的特點，分值影響著數(shù)學高考的難度，其出現(xiàn)常常成為數(shù)學高考難度的“風向標”.

動點;距離;最值;解題途徑

眾所周知，距離問題本是一個古老的話題[1].但在每年的高考中，它常常成為專家命題的第一視角，是許多學生在數(shù)學考試中的絆腳石.因此，在解題中若能處理好有關(guān)距離的最值問題，則將對快速解題產(chǎn)生事半功倍的效果.下面是筆者從不同角度對2個動點間距離最值問題進行析疑解惑，凸顯“動”的魅力，煥發(fā)出“新”的活力.

1 借助特殊曲線，尋求等價替換

有這樣的一類題：2個動點分別在常見的特殊曲線上，且該特殊曲線具有特殊的性質(zhì).此時可以通過觀察圖形，利用圖形的特殊性質(zhì)求得最值.

例1 已知⊙C的方程：x2+y2+2x-4y+3=0.

1)略;

2)從⊙C外一點P(x,y)向圓引一條切線，M為切點，O為坐標原點，且|PM|=|PO|，求使|PM|最小的點P坐標.

分析 一個動點在圓外，另一個在圓上，且這2個動點的連線恰好是圓的切線(特殊).解決此題的關(guān)鍵在于利用圓的特殊性質(zhì)，找到切線長作為等價替換，問題即可解決.

化簡得2x1-4y1+3=0(這就是點P滿足的軌跡方程).

因為|PM|=|PO|，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值.而|PO|的最小值可轉(zhuǎn)化為原點到直線2x1-4y1+3=0的距離，即

聯(lián)立方程組

解得

( )

圖1

分析 如圖1，畫出草圖，不難發(fā)現(xiàn)2條曲線相離，且位置比較特殊.觀察可知，曲線上2個動點的最短距離轉(zhuǎn)化為2個頂點(定點)間的距離，此時問題就變得簡單了.

解 因為M,N間距離的最小值是5,所以橢圓與拋物線不相交.

如圖1，此時拋物線的頂點與橢圓上頂點的距離就是動點M,N之間距離的最小值.拋物線的頂點N(0,2m2)，橢圓的頂點M(0,3)，從而動點M,N之間距離的最小值為5,于是

2m2-3=5,

解得m=±2.故選B.

2 借助三角函數(shù)，尋求合二為一

1)將曲線C和直線l化為直角坐標方程;

2)設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l距離的最大值.

(2016年廣東省廣州市第二次數(shù)學測驗理科試題第23題)

分析 此類型題在數(shù)學高考全國卷的選做題中常常出現(xiàn).比較快捷的解決方法是利用參數(shù)方程表示曲線上的某一動點坐標，再根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問題.

3 借助數(shù)形結(jié)合，凸顯直觀形象

有這樣的一類題：它們的一個動點在某區(qū)域內(nèi)，另一個動點在某特殊曲線上.此時2個動點間的距離問題可轉(zhuǎn)化為一個定點到區(qū)域內(nèi)某一動點的距離最值問題.

( )

分析 此題涉及線性規(guī)劃問題.先將不等式組表示成平面區(qū)域，再根據(jù)圓的特殊性質(zhì),通過數(shù)形結(jié)合可解決問題.

圖2

解 由題意：平面區(qū)域D表示△ABO(含邊緣)的陰影部分，且A(0，3)，O(0，0)，B(1，1)；圓心C的坐標為(5，0)，半徑為1(如圖2所示).要求2個動點間的距離，可轉(zhuǎn)化為求定點到動點的距離,即先求圓心C到△ABO的陰影部分內(nèi)任一動點的距離.經(jīng)觀察可知，BC距離為最小,AC距離為最大,于是

4 借助二次函數(shù)，尋求配方到位

有這樣的一類題：2個動點分別在常見的特殊曲線上，且這些動點均可以用含參坐標表示.此時可以直接運用距離公式，把它轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)然后求得最值.

例5 如圖3，以正方體的3條棱所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系O-xyz，點P在正方體的對角線AB上，點Q在正方體的棱CD上.當點P在對角線AB上運動，點Q在棱CD上運動時，探究|PQ|的最小值.

(人教版《數(shù)學(選修2-1)》第113頁習題B組的

第2題)

圖3

分析 這是一道課本習題.2個動點分別在2條異面直線上，關(guān)鍵是把動點用含參坐標表示出來，再轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求最值.

解 設(shè)正方體的邊長為a.點P在對角線AB上運動，從而可設(shè)P(λ,λ,a-λ)(其中0≤λ≤a).又點Q在棱CD上運動，從而可設(shè)Q(0,a,μ)(其中0≤μ≤a),于是

|PQ|2= (0-λ)2+(a-λ)2+(μ-a+λ)2=

5 借助導(dǎo)數(shù)工具，尋求轉(zhuǎn)換條件

有這樣的一類題:它們的一動點在一個函數(shù)圖像上，另一動點在另一個函數(shù)(分段函數(shù))圖像上.若運用兩點間距離公式，則方法簡單，但運算復(fù)雜，只能可望而不可及；此時若能借助導(dǎo)數(shù)這一工具，利用切線間的距離，則比較容易求得最值.

( )

分析 此題涉及到2個函數(shù)圖像上的2個動點問題，關(guān)鍵在于分別求出2條曲線上切線的最值，此時2條切線互相平行.此類問題要注意進行檢驗，防止“多一個”或“漏一個”.

解得a=2.

圖4

[1] 楊偉達.淺談解析幾何中幾種常見的最值問題[J].中學生數(shù)學，2014(7)：15-16.

??2016-09-14；

2016-10-28

楊偉達(1973-)，男，廣東廣州，中學一級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)03-06-03