●何豪明 (衢州高級中學(xué)何數(shù)思維工作室 浙江衢州 324006)

●張金良 (浙江省教育廳教研室 浙江杭州 310012)

數(shù)學(xué)創(chuàng)新題求解策略
——以概念型、定義型、開放型、建模型為例*

●何豪明 (衢州高級中學(xué)何數(shù)思維工作室 浙江衢州 324006)

●張金良 (浙江省教育廳教研室 浙江杭州 310012)

創(chuàng)新是以新思維、新發(fā)明和新描述為特征的一種概念化過程，原意有3層含義：第一是更新；第二是創(chuàng)造新的東西；第三是改變.數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力一般是指對已經(jīng)掌握的研究問題的方法、分析問題的思想和解決問題的途徑進(jìn)行推廣和拓展，對未來的數(shù)學(xué)領(lǐng)域通過探索得到新的結(jié)果的能力.文章通過對概念型、定義型、開放型、建模型等數(shù)學(xué)創(chuàng)新題的探究，為數(shù)學(xué)創(chuàng)新題提供一般性的思維方法和解題策略.

數(shù)學(xué)創(chuàng)新題；概念型；定義型；開放型；建模型

創(chuàng)新是以新思維、新發(fā)明和新描述為特征的一種概念化過程.起源于拉丁語，它原意有3層含義：第一是更新；第二是創(chuàng)造新的東西；第三是改變.創(chuàng)新是人類特有的認(rèn)識能力和實踐能力，是人類主觀能動性的高級表現(xiàn)形式，是推動民族進(jìn)步和社會發(fā)展的不竭動力.

數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力一般是指對已經(jīng)掌握的研究問題的方法、分析問題的思想和解決問題的途徑進(jìn)行推廣和拓展，對未來的數(shù)學(xué)領(lǐng)域通過探索得到新的結(jié)果的能力.

數(shù)學(xué)創(chuàng)新題一直是高考命題的重點，特別是概念型、定義型、開放型、建模型等數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題，它們解法靈活，同時具有一定的探索性，尤其值得關(guān)注.

1 概念型

概念型信息題是指人類在認(rèn)識過程中，把所感覺到的事物的共同特點抽出來，加以概括，成為概念.概念是人腦反映客觀事物根本屬性的思維形式.其目的是為了考查學(xué)生獨立獲取信息、加工信息的學(xué)習(xí)能力.因而解決此類問題的關(guān)鍵是仔細(xì)閱讀、抓住信息、透徹理解.

概念型信息題的高考命題特點是對“反映客觀事物根本屬性的思維形式”的考查，如2016年全國數(shù)學(xué)高考理科試題卷Ⅰ第7題等；或考查學(xué)生對教材中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的概念的理解和應(yīng)用能力，如2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題等.

概念型信息題的復(fù)習(xí)重點是對事物共同特點的抽象概括能力、總結(jié)規(guī)律的能力和不同數(shù)學(xué)語言相互翻譯的能力.

例1 已知定義域為(0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x),滿足對任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)-log2x]=6，求函數(shù)f(x)的解析式.

分析 因為對任意的x∈(0,+∞)，都有

f[f(x)-log2x]=6，

又f(x)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù)，所以利用函數(shù)單調(diào)性的定義可以得到f(x)-log2x為定值(揭示函數(shù)單調(diào)性概念的內(nèi)涵).設(shè)t=f(x)-log2x，即

f(x)=t+log2x，

從而

f(t)=t+log2t.

又因為f(t)=6，所以

6=t+log2t，

解得t=4，故所求函數(shù)的解析式是

f(x)=4+log2x(其中x>0).

2 定義型

定義型應(yīng)用題通過指出定義所反映的事物本質(zhì)特征來明確定義的內(nèi)涵和外延，它科學(xué)地揭示了客觀世界中事物的本質(zhì)特征.定義是一種人為的廣泛、通用的解釋意義.而對自定義型問題，則要求學(xué)生從新的定義、方法到新規(guī)則的學(xué)習(xí)，在較短時間內(nèi)獲取信息、對信息進(jìn)行加工處理.它有利于提高學(xué)生主動獲取信息、加工信息的能力.解決此類問題的關(guān)鍵是要用數(shù)學(xué)的文字語言、符號語言和圖形語言理解定義、熟悉定義，從而掌握定義.

定義型應(yīng)用題或給出新的定義，考查學(xué)生對新定義的理解和應(yīng)用能力，如2016年全國數(shù)學(xué)高考理科卷Ⅲ第12題、2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第18題等.

定義型應(yīng)用題的復(fù)習(xí)重點是深刻理解各種數(shù)學(xué)定義，熟練掌握定義的不同數(shù)學(xué)語言的相互理解和轉(zhuǎn)換.

3 開放型

所謂開放型問題，是相對于中學(xué)課本中有明確條件和明確結(jié)論的封閉型問題而言的.開放性探究題可分為條件開放型問題、結(jié)論開放型問題和條件結(jié)論均開放的全開放型問題.對于具有多重結(jié)果的結(jié)論開放型問題，應(yīng)抓住條件中那些影響結(jié)論的動態(tài)因素(如定義、公式的特定條件、幾何體的不同形態(tài)等)，或分類討論，或構(gòu)造不同圖形，全面考查問題的各個方面.對于只給出一個特定情境，而命題的條件、結(jié)論及推理判斷過程均不確定的開放型試題，應(yīng)該靈活運用數(shù)學(xué)知識，回顧相近或相似的題型、結(jié)論、方法，進(jìn)行類比猜想，在給定的情境中自己去假設(shè)、求解、調(diào)整方法、確定結(jié)果.

開放型問題或?qū)τ谥唤o出一個特定情境而命題的條件、結(jié)論及推理判斷過程均不確定的開放型試題的考查，如2016年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題等；對條件開放或結(jié)論開放型問題的考查，如2015年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第15題、2015年全國數(shù)學(xué)高考理科卷Ⅱ第20題等.

開放型問題的復(fù)習(xí)重點是對開放性探究題的條件或結(jié)論的探究，或?qū)χ唤o出一個特定情境而命題的條件、結(jié)論及推理判斷過程均不確定的開放型試題的探究.

例3 設(shè)α,β是2個不同的平面，m,n是平面α及β之外的2條不同的直線，給出4個論斷：1)m⊥n；2)α⊥β；3)n⊥β；4)m⊥α.以其中3個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題.

分析 求解條件、結(jié)論均開放型的試題，要先組成命題，然后通過代數(shù)運算或邏輯推理去驗證真假.求解這類試題，沒有現(xiàn)成的公式可套，需要學(xué)生自己去探索.本題可以組成4個命題，逐一判斷，得到的答案是：m⊥α,n⊥β,α⊥β?m⊥n或m⊥n,m⊥α,n⊥β?α⊥β.

4 建模型

建模型應(yīng)用題是指能反映特定問題或特定具體事物、具體系統(tǒng)內(nèi)部的數(shù)學(xué)關(guān)系式結(jié)構(gòu).它或能解釋特定抽象的現(xiàn)實狀態(tài)，或能預(yù)測對象的未來狀態(tài)，或能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制.此類題要求學(xué)生會數(shù)學(xué)地提出問題、分析問題，并能綜合運用所學(xué)的知識和技能解決問題，形成解決問題的一些基本策略，其解題的總體思路是：讀題—建模—解?！媒?

建模型應(yīng)用題是對給出現(xiàn)實生活中的一個事例，要求學(xué)生把它抽象為數(shù)學(xué)問題，即通過建立數(shù)學(xué)模型來解決，如2016年全國數(shù)學(xué)高考理科卷Ⅰ第4題、2015年全國數(shù)學(xué)高考理科卷Ⅱ第12題等.

建模型應(yīng)用題的復(fù)習(xí)重點是如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力以及對不同模型的識別能力.

例4 已知f(x)為定義在(-∞,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)

( )

A.f(1)>e·f(0),f(2 012)>e2 012·f(0)

B.f(1)e2 012·f(0)

C.f(1)>e·f(0),f(2 012)

D.f(1)

F′(x)=-e-x[f(x)-f′(x)]>0，

得到F(x)是R上的增函數(shù),即

故選A.

2)正四面體A-BCD的棱長為1，棱AB∥平面α，求正四面體上的所有點在平面α內(nèi)射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍.

3)已知棱長為a的正四面體可以在一個單位正方體(棱長為1)內(nèi)任意地轉(zhuǎn)動.設(shè)P,Q分別是正四面體與正方體的任意一個頂點，當(dāng)a達(dá)到最大值時，求點P,Q間距離的最小值.

分析 研究正四面體問題，感受數(shù)學(xué)的對稱美，可以考慮以正方體為模型進(jìn)行思考，產(chǎn)生如下解法：

圖1

5 精題集萃

圖2

( )

2.已知y=f(x)(其中x∈R)的導(dǎo)函數(shù)為f ′(x).若f(x)-f(-x)=2x3，且當(dāng)x≥0時，f ′(x)>3x2，則不等式f(x)-f(x-1)>3x2-3x+1的解集是

( )

4.(x2-x+y)5的展開式中x3y2項的系數(shù)等于______(用數(shù)字作答).

5.過拋物線C:y2=4x的焦點F作直線l交拋物線C于點A,B，若|AF|=3|BF|，則直線l的斜率是______.

6.一個幾何體的正視圖為一個三角形，則這個幾何體可能是下列幾何體中的______(填入所有可能的幾何體前的編號).①三棱錐②四棱錐③三棱柱④四棱柱⑤圓錐⑥圓柱

7.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件______時，有A1C⊥B1D1(填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形).

8.已知某幾何體的主視圖、俯視圖、側(cè)視圖均為等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長均為2，那么這個幾何體的表面積可能為______(結(jié)論開放題).

9.在數(shù)列{an}中，已知a1=1，a2=2，請寫出該數(shù)列的4個通項公式，他們分別為______；______；______；______.

11.若對任意的x∈D，均有f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立，則稱函數(shù)f(x)為函數(shù)f1(x)到函數(shù)f2(x)在區(qū)間D上的“折中函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=(k-1)x-1,g(x)=0,h(x)=(x+1)lnx,且f(x)是g(x)到h(x)在區(qū)間[1,2e]上的“折中函數(shù)”，則實數(shù)k的值是______.

1)請你給出a，b的一組值，使直線l和橢圓C相交.

2)當(dāng)直線l和橢圓C相交時，a，b應(yīng)滿足什么關(guān)系？

3)若a+b=1，試判斷直線l和橢圓C的位置關(guān)系.

4)請你在第3)小題的基礎(chǔ)上添加一個合適的條件，求出直線l的方程.

參 考 答 案

6.①②③⑤

7.AC⊥BD或四邊形ABCD是正方形或四邊形ABCD是菱形等.

9.等差數(shù)列形式：an=n(其中n∈N*)；

等比數(shù)列形式：an=2n-1(其中n∈N*)；

等和數(shù)列或等積數(shù)列形式：

三次函數(shù)形式(待定系數(shù)法):an=n3+n2-9n+8(其中n∈N*)或an=n3-2n2+2(其中n∈N*)等.

13.1)取a=1，b=0，則直線l：y=x和橢圓C相交.

(1+2a2)x2+4abx+2b2-4=0.

因為直線l和橢圓C相交，所以由Δ>0可得b2-4a2-2<0.

3)因為a+b=1，所以b=1-a，從而

y=ax+1-a，

即

y-1=a(x-1)，

故直線l恒過點(1，1).

4)添加條件：直線l過點(2，0)，則a=-1，因此直線l的方程為x+y-2=0.

??2016-12-22；

2017-01-25

何豪明(1967-)，男，浙江衢州人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O12

A

1003-6407(2017)03-31-04