●曲文瑞 (平湖中學(xué) 浙江平湖 314200)

例談高考三角函數(shù)復(fù)習(xí)備考策略*

●曲文瑞 (平湖中學(xué) 浙江平湖 314200)

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的組成部分，它既是對前面函數(shù)知識的延伸，又是三角形知識的拓展，同時也是歷年來考試的熱點(diǎn).因此在學(xué)習(xí)及備考中必須要抓住三角函數(shù)的本質(zhì)，把握好三角恒等變換的方向，以提高三角函數(shù)復(fù)習(xí)的備考質(zhì)量.

三角函數(shù);解三角形;等價(jià)轉(zhuǎn)化

1 知識內(nèi)容

在高考中，三角函數(shù)考查的主要內(nèi)容包括：三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)、三角恒等變換及運(yùn)算、三角函數(shù)與解三角形的知識交匯.解三角形考查的主要內(nèi)容包括：正弦定理、余弦定理、三角形內(nèi)角和定理及三角形面積公式的應(yīng)用.

2 課后反思

本節(jié)課的設(shè)計(jì)是先讓學(xué)生總結(jié)解題的基本方法，再以一題多解促進(jìn)學(xué)生盡可能窮盡解題方向，再把圖7進(jìn)行旋轉(zhuǎn)演變成2015年浙江省寧波市中考壓軸題，引導(dǎo)學(xué)生解決.整堂課的設(shè)計(jì)簡潔明了，沒有精彩的情境引入，也沒有華麗的多媒體展示，但學(xué)生整堂課學(xué)習(xí)下來興致盎然，關(guān)鍵是抓住了課堂的根本.

2.1 以問題引領(lǐng)課堂

本堂課中，教師充分發(fā)揮引導(dǎo)者作用，為學(xué)生提供了3個互相關(guān)聯(lián)、層層遞進(jìn)的問題，生動地詮釋了以學(xué)為中心的教學(xué)理念，為初三的復(fù)習(xí)課打開了一個從基本圖形出發(fā)、讓學(xué)生經(jīng)歷綜合題的生成過程的基本思路.同時，相似三角形的知識始終貫穿課堂，主題明確，本質(zhì)清晰.

2.2 以聯(lián)想拓展思維

整堂課以相似三角形的線段比為知識原型，以共有一個頂點(diǎn)的2個相似三角形為基本圖形，積極引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)有的問題上去發(fā)現(xiàn)所有的解題方向，對知識點(diǎn)的聯(lián)想，對思想方法的聯(lián)想，從圖形的靜態(tài)變化到動態(tài)旋轉(zhuǎn)，不斷發(fā)散學(xué)生的思維，不斷誘發(fā)學(xué)生從已有的圖形進(jìn)一步向上拓展，再通過解決問題去豐滿、完善已有的知識，真正做到了以學(xué)生為主體的課堂教學(xué).思維的激蕩讓教師的引導(dǎo)更加有效，從而激起了學(xué)生求知、探究的欲望，使整個課堂變得生動起來.

2.3 以實(shí)例調(diào)適心態(tài)

整堂課提供了3個問題，由易到難，層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)基本解題方法并熟練掌握.由于最終演變得到的是一道中考壓軸題，因此大大激發(fā)了學(xué)生的成就感和獲得感.由于前面做足了鋪墊，很多學(xué)生在課堂氛圍的帶動下，最終找到了解題的方案，攻克了平時沒有頭緒的難題.課堂上的成功讓他們感覺到原來中考壓軸題也是用基本方法解決的，無形中消除了懼怕心理，有利于學(xué)生以平常的心態(tài)應(yīng)對解決中考難題.中考壓軸題的難點(diǎn)在于圖形比較復(fù)雜，解題分析中容易受到各種干擾，因此突破的關(guān)鍵是平時對所研究的一些重要的基本圖形的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)爛熟于心，形成基本模型，這樣才能從較復(fù)雜的圖形中分離出基本圖形，迅速進(jìn)行解答.

2 命題分析

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種非常重要的函數(shù)，是浙江省數(shù)學(xué)高考對基礎(chǔ)知識和基本技能考查的重要內(nèi)容.在2016年的浙江省數(shù)學(xué)高考中，三角函數(shù)內(nèi)容文、理科均考了2個小題和1個大題，所占分值為25分，但考題難度不大，均屬于中等難度題.復(fù)習(xí)時，除了要重視三角函數(shù)的必考點(diǎn)(三角恒等變換)、重點(diǎn)(三角函數(shù)的圖像和性質(zhì))、熱點(diǎn)(三角函數(shù)與解三角形的知識結(jié)合)外，還應(yīng)深刻領(lǐng)會三角函數(shù)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想(數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、整體思想、換元思想).

3 典例剖析

( )

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第6題)

解法1 (方程思想)由

得

于是

進(jìn)一步

點(diǎn)評 此法主要是從同角三角函數(shù)的基本關(guān)系入手，構(gòu)造方程組，直接解出sinα,cosα.此題還可以利用

化簡得

3tan2α-8tanα-3=0，

點(diǎn)評 此法主要是利用齊次式直接求出tanα，進(jìn)而求得tan2α.

解法3 (引入輔助角)因?yàn)?/p>

或

故

點(diǎn)評 此法主要是利用輔助角公式，解得α與φ的關(guān)系，通過φ的正切值求得α的正切值.

例2 在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知b+c=2acosB.

1)證明：A=2B;

(2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

1)證法1 (從正弦定理入手)由正弦定理得

sinB+sinC=2sinAcosB,

從而 2sinAcosB= sinB+sin(A+B)=

sinB+sinAcosB+cosAsinB,

于是

sinB=sin(A-B).

又A,B∈(0,π)，從而

0

于是

B=π-(A-B)或B=A-B,

即

A=π(舍去)或A=2B,

故

A=2B.

證法2 (從余弦定理入手)由余弦定理得

從而

bc=a2-b2，

于是

b+c=2acosB，

即

亦即B為銳角，因此

又bc=a2-b2，故

所以

cosA=cos2B，

故

A=2B.

點(diǎn)評 已知式中既含有邊又含有角，證法1和證法2利用正、余弦定理進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)邊角統(tǒng)一，然后再進(jìn)行處理，水到渠成.

證法3 (從射影定理入手)在△ABC中,c=acosB+bcosA，又b+c=2acosB，從而

b+acosB+bcosA=2acosB，

于是

b=acosB-bcosA.

又b=acosC+ccosA，從而

acosC+ccosA=acosB-bcosA,

由正弦定理得

sinAcosC+cosAsinC=sinAcosB-cosAsinB,

于是

sin(A+C)=sin(A-B),

即

sinB=sin(A-B).

又A,B∈(0,π)，從而

0

于是

B=π-(A-B)或B=A-B,

即

A=π(舍去)或A=2B.

故

A=2B.

證法4 (恒等變形為二倍角正切關(guān)系)由正弦定理得

sinB+sinC=2sinAcosB,

從而 2sinAcosB= sinB+sin(A+B)=

sinB+sinAcosB+cosAsinB,

即 sinAcosB=sinB+cosAsinB=sinB(1+cosA),

于是

sinAcosB=sinB(1+cosA)，

即

亦即

因?yàn)閟inB≠0,所以

sinC=cosB,

又B,C∈(0,π),于是

解法2 (從正弦定理入手進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化)由正弦定理及A=2B,得

從而

a=2bcosB.

2bsin3B=a=2bcosB,

即

sin3B=cosB.

又A,B∈(0,π),從而

即

故

1)求f(x)的最小正周期；

分析 欲求f(x)的最小正周期、最值，首先要將f(x)化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式.

解 1)由已知得

點(diǎn)評 本題主要考查兩角和與差的正弦公式、余弦公式、二倍角公式，三角函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性，以及基本運(yùn)算能力.

例4 在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知acosB=bcosA，邊BC上的中線長為4.

2)求△ABC面積的最大值.

(2016年浙江省高三數(shù)學(xué)測試?yán)砜圃囶}第16題)

1)解法1 (從正弦定理入手)由acosB=bcosA及正弦定理得

sinAcosB=sinBcosA，

從而

sin(A-B)=0，

于是

故

由余弦定理得

解得

解法2 (從余弦定理入手)由acosB=bcosA及余弦定理,得

整理得a=b，從而

令邊BC上的中線長AD=4,在△ABD中，由余弦定理得

從而

于是

即

82+a2=2(b2+c2)=2(a2+3a2)，

從而

于是

即

2)解法1 (轉(zhuǎn)化為角A)由第1)小題得A=B，從而

c=2acosA，

及

解得

于是△ABC的面積

解法2 (轉(zhuǎn)化邊)由A=B，a=b，在△ABD中，由余弦定理得

從而

于是△ABC的面積

在△ABD中，

解得

解法3 (轉(zhuǎn)化為角C)由A=B，a=b，在△ABD中，由余弦定理得

從而

于是△ABC的面積

因此

進(jìn)而

9S2≤322,

即

當(dāng)且僅當(dāng)sin(C+φ)=1時等號成立.

解法4 (利用基本不等式)由第1)小題的解法3知

82+a2=2(b2+c2)=2(a2+c2)，

從而

a2+2c2=64.

設(shè)邊AB上的高線長為h，則

4 精題集萃

( )

( )

( )

( )

( )

A.11 B.9 C.7 D.5

7.方程3sinx=1+cos2x在區(qū)間[0,2π]上的解為______.

8.△ABC的內(nèi)角A,B,C對邊分別是a,b,c，已知2cosC(acosB+bcosA)=c.

1)求c；

1)求f(x)的定義域與最小正周期；

1)證明：a+b=2c；

2)求cosC的最小值.

參 考 答 案

1.B 2.D 3.A 4.C 5.B

8.解 1)在△ABC中，由正弦定理化簡可得

2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,

整理得

2cosCsin(A+B)=sinC.

因?yàn)榻茿,B,C為△ABC的內(nèi)角,所以

sinC≠0，且sin(A+B)=sinC，

因此

又0

2)在△ABC中，由余弦定理得

c2=a2+b2-2abcosC,

即

從而

ab=6,

于是

(a+b)2-18=7,

即

a+b=5,

所以f(x)的最小正周期為π.

10.1)證明 由題意知

化簡得 2(sinAcosB+sinBcosA)=sinAsinB,

即

2sin(A+B)=sinA+sinB.

因?yàn)锳+B+C=π,所以

sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,

從而

sinA+sinB=2sinC，

故由正弦定理得a+b=2c.

??2016-12-29；

2017-01-30

曲文瑞(1977-)，女，吉林德惠人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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A

1003-6407(2017)03-42-06