何雪明 李詠平 武美萍 張 榮

1.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，無錫，2141222.江南大學理學院，無錫，214122

基于三坐標測量機雙參數向自適應測量自由曲面

何雪明1李詠平1武美萍1張 榮2

1.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室，無錫，2141222.江南大學理學院，無錫，214122

提出一種基于三坐標測量機的雙參數向自適應測量自由曲面方法。CMM手動測量被測曲面邊界點后，連接點生成可測區(qū)域，由可測區(qū)域自動拓撲生成幾條均布初始掃描線以及每條掃描線的均勻初始點，對于U向的各條掃描線，CMM在自動測完初始點后，不斷擬合已測點為B樣條曲線，由曲線末端曲率自適應預測下一測點并指導CMM自動測量。測完初始掃描線后擬合已測點云為B樣條曲面，由曲面V向邊界最大曲率自適應確定下一掃描線位置，并進行該條掃描線U向自適應測量，重復這一過程直至曲面測量完畢。測點可隨被測曲面自身曲率變化特性而疏密分布，曲率變化大的重要特征區(qū)域分布密集，曲率變化小的非重要區(qū)域分布稀疏，既保證了重要特征點不會遺漏又避免了數據冗余。理論曲線曲面自適應測量實驗結果表明該方法測量精度可達微米級，實例零件應用驗證了該方法的可行性。

自由曲面；三坐標測量機；雙參數向；自適應測量；全自動

0 引言

自由曲面無規(guī)律，無法像規(guī)則曲面那樣利用解析函數來描述，因此具有自由曲面特征零件的高精度測量一直是研究難點[1]。三坐標測量機(coordinate measuring machine,CMM)的高測量精度使其在點的測量上具有很大優(yōu)勢，實際測量過程中，三坐標測量機的測量精度要比激光掃描儀的測量精度高一個數量級，逆向工程中多采用CMM作為高精度數據采集工具[2]。在自由曲面CMM測量中，測點等間距采樣最先被提出，這是一種簡單易實現(xiàn)的方法[3]。然而等間距采樣在曲面起伏變化劇烈的情況下，需縮短間距以保證曲面特征不會丟失，但是這會大幅度增加數據采集的工作量。

為尋求合理的測點測量規(guī)劃方式，國內外學者開展了廣泛而深入的研究。LI[4]提出了等弧長的采樣方法，通過輸入關鍵點的坐標數據，并實時輸入曲面形狀參數來確定網格的間距，從而實現(xiàn)基于曲面掃描線曲率的自適應網格劃分，實現(xiàn)等弧長采樣測量。KIM等[5]提出三角自適應的曲面測量方法，首先對曲面實施等間距初步采樣，然后根據初測結果，決定是否需要實施進一步的測量。ZHANG等[6]提出將神經網絡應用于曲面測點的確定，綜合考慮零件尺寸、公差和工藝等因素，但該方法的弊端是應用對象單一，只能針對孔曲面，且需要做大量試驗，以形成各種參數的數據庫供調用。何雪明等[7-8]提出了曲線曲率連續(xù)的自適應測量法，利用高次Bézier曲線擬合已測點，根據曲線的曲率特性稀疏分布測點的位置，提高了測量效率和質量。針對現(xiàn)有自適應測量方法在測量過程中存在的特征遺漏和人為干預等缺陷，本文提出基于CMM的雙參數向自適應測量方法來全自動測量具有自由曲面特征實物，旨在利用密度小的具有代表性的測點來表達被測曲面的幾何特征信息。

1 雙參數向自適應測量原理

圖1 曲面測量參數方向確定Fig. 1 Direction determination of the surface’smeasuring parameters

采用CMM測量自由曲面時，可根據“曲面→曲線→點”的思想將曲面轉化為點集的測量，通過掃描截面與被測曲面的交線形成掃描線，如圖1所示。假設掃描截面都平行于OYZ平面，定義沿掃描線方向為測量U參數向，垂直于掃描線方向為測量V參數向。手動測量曲面的一系列邊界點后，連接邊界點形成可測區(qū)域，由可測區(qū)域自動拓撲生成V向幾條均勻分布的初始掃描線和每條掃描線上均勻分布的幾個初始點，初始掃描線的條數和每條掃描線上初始點的個數分別由U、V方向測量階次確定，具體數值為“階次值+1”。在確定V向均勻分布的初始掃描線和掃描線上U向初始均勻分布測點后，可指導CMM去全自動自適應測量整個曲面，這個過程又包含U向測點的自適應確定和V向掃描線跨距自適應確定。

1.1U向測點自適應確定

U向測點自適應確定方法為沿U向連續(xù)均勻初測k+1個點后，由這k+1個測點擬合一條k次非均勻B樣條曲線。計算這條曲線末端處一、二階導數得出曲線末端曲率，由此預測第k+2個測點位置和測量矢量，指導CMM測量該點，得到該點實測坐標后，重復上述過程，將測點重新擬合一條k次非均勻B樣條曲線，然后計算曲率和測點。

同理，如圖2所示，當CMM測量n+1個點后，擬合n+1個測點為曲線來預測下一測點位置，如果預測點的理論坐標值超出可測區(qū)域邊界，就測量邊界上的點，然后結束該條掃描線測量，轉測下條掃描線，具體流程如圖3所示。

圖2 擬合n+1個測點為非均勻B樣條曲線Fig.2 n+1 measured points are fitted to a non-uniformB-spline curve

圖3 U向測點自適應確定Fig.3 Adaptive determination of measuring pointsin U direction

1.2V向掃描線跨距自適應確定

為實現(xiàn)被測曲面掃描線能隨著曲面V向曲率變化而自適應分布，本文提出一種“動態(tài)的測量—反求曲面—測量”方法，即在初始均勻測量q+1條掃描線后，對已測的掃描線點云反求一張k×q次非均勻B樣條曲面。確定出曲面上的V向等參數線，如圖4所示。然后根據等參數線的方程確定等參數線末端的曲率值，對比所有等參數線的末端曲率值找出最大的曲率值，同時認為這個最大曲率值可代表非均勻B樣條曲面V向邊界最大曲率，通過最大曲率值計算出下條待測掃描線的跨距，具體的流程如圖5所示。

圖4 V向等參數線Fig.4 Isoparametric line of V direction

圖5 V向掃描線跨距自適應確定Fig.5 Adaptive determination of the scan line spacingin V direction

待測掃描線的跨距確定后，由U向測點自適應確定方法對這條掃描線進行自動CMM測量。當該條掃描線測量完畢后，再利用所有已測掃描線點云重新反求出一張非均勻B樣條曲面，然后根據新的非均勻B樣條曲面繼續(xù)確定出要測的下一條掃描線的跨距。重復這一過程，直至被測自由曲面片測量完畢。

2 雙參數向自適應測量算法實現(xiàn)

2.1 掃描線上測點計算

每條掃描線自適應測量之前需測量均勻分布的k+1個初始點集Ti，該初始點集由可測區(qū)域邊界起點自動拓撲生成，具體的表達式如下：

Ti=(x+HLxi,y+HLyi,z)i=0,1,…,n

(1)

式中，H為常數；x、y、z為掃描線邊界起始點的坐標值；Lx、Ly為掃描線在X、Y軸方向的分量。

由于被測曲面的數學模型未知，無法得到初始點集的測量矢量，所以在初始點集的測量過程中只能事先人為地定義一個測量矢量，但這并不準確。然而測量矢量正確與否會影響測量結果精度，因此需在初測的基礎上再進行精測以提高初始點集精度，具體步驟如下：①CMM初測k+1個初始點；②利用k次非均勻B樣條曲線擬合這幾個初始點；③計算每個初始點處的切矢量；④垂直于切矢量方向為測量矢量方向，計算每一點處的測量矢量；⑤根據每個初始點坐標值和測量矢量進行CMM測量獲得初始點集的精測值。

擬合n+1個測點為k次非均勻B樣條曲線[9-10]：

(2)

其中，di為曲線的控制頂點；Ni,k(u)為k次B樣條基函數：

(3)

非均勻B樣條曲線求導通式為

(4)

(5)

當參數u=1時,該測點即為曲線的末端點，曲線末端點的曲率kρ可由該點處的一階導數和二階導數求得,即

(6)

曲率半徑ρ為

(7)

圖6 掃描線跨距自適應確定原理圖Fig.6 The principle of adaptive determination of thescan line spacing

對曲線末端進行圓弧延伸，如圖6所示，圓弧AB即為延伸曲線段。A點表示為B樣條曲線的終點，ρ為A點處的曲率半徑，θ為跨度角，OA方向垂直于A點處的切線方向，e為測量過程中定義的測量精度閾值，AB間的弦長為預測點步長，B點即為預測點，測量矢量為BO方向。圓弧AB與弦AB的最大距離為CD，根據弦高法的原理[11]，當所有點到弦AB上的距離都不超過閾值e時，則認為圓弧AB可以利用弦AB表示：

(8)

θ≤2arccos(1-ekρ)

(9)

當θ=arccos(1-ekρ)時，延伸線上的點到弦AB的距離為最大值e。根據式(9)可知，曲率kρ越小時，θ值就越小，AB之間的距離就越大，預測點的步長越大，反之則相反。預測點的步長s可表示為

(10)

為研究被測掃描線端點處曲率kρ對預測點步長的影響，假設閾值e=0.1 mm，如圖7所示，預測點的步長會隨著非均勻B樣條曲線末端點處的曲率增大而減小。

圖7 預測點步長與曲線末端曲率的關系Fig.7 The relationship between the step length ofpredicted point and the curvature of terminal curve

不同測量精度閾值e對預測點步長會有不同的影響，取端點處的曲率kρ=0.01 mm-1，預測點步長隨測量精度閾值e的變化關系如圖8所示，其步長會隨著精度閾值e的增大而增大。

圖8 預測點步長與測量精度閾值的關系Fig.8 The relationship between the step length of predicted point and the measuring precision threshold

測點個數與預測點步長的關系如圖9所示，預測點的步長越大，掃描線上的測點個數就越少，步長越小則測點個數越多。因此當被測掃描線的曲率越大即變化越劇烈時，預測點的步長越小，測點數目越多；被測掃描線的曲率越小即變化越平緩時，預測點的步長越大，測點數目越少；測點會隨著被測掃描線曲率變化而疏密分布。

圖9 測點個數與預測點步長的關系Fig.9 The relationship between the number ofmeasuring points and the step length of predicted point

2.2 掃描線間跨距計算

假設測量過程中對已測掃描線點云反求得到的非均勻B樣條曲面為S(u,v)[12-13]:

(11)

式中，di,j為曲面的控制頂點集；k、q為曲面兩個參數方向次數，Ni,k(u)、Nj,q(v)為k次和q次的B樣條基函數。

則固定曲面上某一參數方向上的參數值,非均勻B樣條曲面就會轉化為曲面上一條等參數曲線[14]。例如固定參數u=u0，曲面S(u,v)則轉化為關于參數v的等參數曲線Cu0(v)：

(12)

等參數線Cu0(v)關于參數v的f階導數可表示為

(13)

(14)

固定曲面不同的參數u值即可得到曲面上不同的等參數曲線Cu(v)。計算每條等參數曲線末端處的曲率值kρ(u)，找出所有曲率值kρ(u)中的最大曲率值kρ(u)，max。本文認為待測掃描線的跨距應根據最大曲率值kρ(u)，max來確定，類似于U參數向，當kρ(u)，max值越大時，則被測曲面沿V向的變化越劇烈，待測掃描線的跨距應該越小，則采集的數據不會遺漏曲面的重要特征，能更好地代表被測曲面，有利于后續(xù)逆向工程中模型反求。對應于最大曲率值kρ(u)，max的曲率半徑ρmin為

(15)

類似于預測點步長的確定方法，也采用弦高法確定出待測掃描線的跨距：

(16)

其中，e為測量精度閾值，與U參數向的閾值為同一數值，θ為跨度角，則待測掃描線的跨距L可根據V向最大曲率kρ(u)，max確定：

(17)

3 實例應用

3.1U、V方向測量階次對結果的影響

為研究U向測量階次對測量結果的影響，以二、三、四、五次曲線分別作為測量對象進行模擬U向自適應測量。二次被測曲線為y=(x2+x)/50，三次被測曲線為y=(x3+x2+x)/4000，四次被測曲線為y=(x4+x3+x2+x)/(8×105)，五次被測曲線為y=(x5+x4+x3+x2+x)/108，其中x∈[0,100]。U向階次分別為3～8，即測量過程中非均勻B樣條曲線的擬合次數分別為3～8次，預測誤差統(tǒng)計結果如表1～表4所示。從表1～表4可以明顯地看出預測精度已達微米級，且次數越高預測誤差越小，測點個數越多。但實際測量過程中并不是次數越多越好，因零件表面粗糙度等不光滑原因，次數越多算法的振蕩性越強，預測精度反而下降。

表1 二次被測曲線上不同U向測量階次預測誤差

表2 三次被測曲線上不同U向測量階次預測誤差

表3 四次被測曲線上不同U向測量階次預測誤差

表4 五次被測曲線上不同U向測量階次預測誤差

探索V參數向不同測量階次即測量過程中反求的非均勻B樣條曲面V向階次對測點分布結果的影響，以已知方程的理論曲面馬鞍面作為測量對象進行模擬雙參數向自適應測量，其方程如下：

(18)

x∈[0,30]y∈[0,43.66]

模擬測量過程中因主要研究V向測量階次對測量結果的影響，故U參數向統(tǒng)一取5次，而V參數向分別取3～8次。測點的統(tǒng)計分析結果如表5所示，可以看出V向次數越高，掃描線的條數越多，掃描線間距越小，測點個數越多。

3.2 具有自由曲面特征自適應測量

對圖10所示的具有復合自由曲面特征零件的第4個自由面片，分別采用掃描線跨距均勻分布和掃描線跨距自適應分布兩種方式進行CMM測量，均勻跨距分別取2.1024 mm、3.7356 mm和5.3689 mm，其中2.1024 mm是跨距自適應測量中的最小跨距，5.3689 mm為最大跨距，3.7356 mm為最小跨距和最大跨距的平均值。測得的數據點云分別如圖11～圖14所示，統(tǒng)計結果如表6所示。

表5 不同V向測量階次對測量結果的影響

圖10 具有復合自由曲面特征零件Fig.10 Blade part with free-form surface features

圖11 均勻跨距2.1024 mm測量點云Fig.11 Point cloud of uniform spacing 2.1024 mm

圖12 均勻跨距3.7356 mm測量點云Fig.12 Point cloud of uniform spacing 3.7356 mm

圖13 均勻跨距5.3689 mm測量點云Fig.13 Point cloud of uniform spacing 5.3689 mm

圖14 自適應跨距測量點云Fig.14 Point cloud of adaptive spacing

掃描線分布方式掃描線條數測點個數均勻跨距2.1024mm418203.7356mm244625.3689mm17322跨距自適應確定25493

對四種點云數據進行曲面重構精度評價，結果如圖15～圖18所示，統(tǒng)計結果如表7所示。

圖15 均勻跨距2.1024 mm下測量點云曲面重構誤差Fig.15 Surface reconstruction error of uniformspacing 2.1024 mm

圖16 均勻跨距3.7356 mm下測量點云曲面重構誤差Fig.16 Surface reconstruction error of uniformspacing 3.7356 mm

圖17 均勻跨距5.3689 mm下測量點云曲面重構誤差Fig.17 Surface reconstruction error of uniformspacing 5.3689 mm

圖18 自適應跨距測量點云曲面重構誤差Fig.18 Surface reconstruction error of of adaptive spacing

掃描線分布方式最大正向誤差值(mm)最大負向誤差值(mm)正向平均誤差值(mm)負向平均誤差值(mm)均勻跨距2.1024mm0.11301780.1204950.04271730.0476723.7356mm0.21438450.2344310.07093880.0774205.3689mm0.35710040.3278750.17634550.149680自適應跨距0.12787730.1172840.06196810.059494

根據表6和表7的結果對比可知，自適應跨距的測量數據和最小跨距的測量數據重構的曲面模型誤差相近，但自適應跨距的掃描線相比最小跨距的掃描線減少了16條，減少百分比約為39%，測點數目減少了327個，減少百分比約為39.87%；對比于平均跨距，測點數目增加了6.28%，但曲面模型的精度提高了3倍以上；相對于最大均勻跨距，測點數目增加了34.68%，但曲面模型精度提高了一個數量級。

4 結語

手動測量被測曲面的邊界點后，形成可測區(qū)域，在此基礎上可實現(xiàn)全自動CMM自適應測量，得到結果測點文件，避免了測量過程中人為因素的干擾。測點可隨被測曲面自身曲率變化特性而自適應分布，在曲率變化大的重要區(qū)域分布密集，曲率變化小的非重要區(qū)域分布稀疏,既保留了重要特征點又避免了數據冗余。自適應測量階次越高，則測點密度越大，預測精度越高。對具有自由曲面特征的葉片等零件進行實際測量，結果表明本文方法測量精度可達微米級。

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(編輯 王艷麗)

Adaptive Measurement of Free-form Surfaces Based on CMM Double Parameter Directions

HE Xueming1LI Yongping1WU Meiping1ZHANG Rong2

1.Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology,Wuxi,Jiangsu,214122 2.School of Science, Jiangnan University,Wuxi，Jiangsu，214122

A kind of adaptive measuring method for free-form surfaces was put forward based on double parameter directions of CMM. At first, a measurable area was generated by boundary points of the surfaces. Then, a few uniform initial scan lines and uniform initial measuring points of each line topology were automatically generated by the measurable area. A B-spline curves were generated by fitting the initial points that automatically measured by the CMM in theUparameter direction and the locations of next point were adaptively predicted by the end curve curvatures. A B-spline surface was fitted by the initial scan line’s point cloud, then the next line positions were adaptively determined by the border maximum curvatures of the surfaces in theVparameter direction, and the scanning lines ofUparameter direction were measured adaptively, until measurements were completed. Distribution density of the measuring points was determined by the curvature variation characteristics of the measured surfaces. The larger the curvature of the surfaces, the greater the distribution density of the measuring points and the smaller the curvatures of the surfaces, the smaller the distribution density of the measuring points, which guarantees the important feature points not leaking and avoid the data redundancy. The results of measurement experiments for theoretical curves and surfaces show that the measurement precision may reach μm level. The feasibility of the method was verified by an example of a part measurements.

free-form surface; coordinate measuring machine(CMM); double parameter direction; adaptive measurement; fully automation

2016-02-23

國家自然科學基金資助項目(51275210,51105175)；江蘇省產學研項目(BY2013015-30)；江蘇省六大人才高峰項目(2013-ZBZZ-016)；中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目(JUSRP51511)

TP301

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.05.004

何雪明，男，1966年生。江南大學江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室教授、博士。E-mail:hxuem2003@163.com。主要研究方向為自由曲線曲面CAD/CAE/CAM和逆向工程。李詠平，男，1991 年生。江南大學機械工程學院碩士研究生。武美萍，女，1970年生。江南大學機械工程學院副院長、教授、博士研究生導師。張 榮，女，1962年生。江南大學理學院副教授。