趙薩日娜

（吉林省經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130000）

1 教學(xué)背景

學(xué)生通過(guò)前期教學(xué)，對(duì)于學(xué)習(xí)本節(jié)課的相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)而言,基本掌握了直線的斜率公式、直線的方程、函數(shù)的連續(xù)性及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)圖像的特點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和基本求導(dǎo)公式。學(xué)生的逆向思維、創(chuàng)造思維、邏輯思維能力有待進(jìn)一步開(kāi)發(fā)和鍛煉。

2 教學(xué)目標(biāo)

通過(guò)本課教學(xué)使學(xué)生理解拉格朗日中值定理及其幾何解釋；了解構(gòu)造輔助函數(shù)的思想方法和用羅爾定理證明拉格朗日定理的方法；掌握羅爾定理與拉格朗日定理的關(guān)系。從而達(dá)到鍛煉學(xué)生逆向思維、創(chuàng)造思維、邏輯思維的目的。

3 教學(xué)方法

主要采用講授法、數(shù)形結(jié)合法、啟發(fā)式教學(xué)等。

4 教學(xué)內(nèi)容

4.1 羅爾定理及其幾何意義

若函數(shù) f（x）滿足：（1）閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b），則在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ，使得 f′（ξ）=0。 其幾何意義如（圖 1）：在端點(diǎn)同高的連續(xù)光滑曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C,在該點(diǎn)處的切線是水平的。

圖1

圖2

4.2 拉格朗日定理的引出

指出定理中條件(3)f（a）=)f（b）較為苛刻,提出若去掉此條件,即，將圖1傾斜一定的角度觀察，會(huì)產(chǎn)生什么結(jié)論？從而引出拉格朗日中值定理。

注意,先讓學(xué)生獨(dú)立思考兩分鐘,然后提問(wèn)學(xué)生,引導(dǎo)其從幾何圖形的變化入手得到新結(jié)論：即如圖2拉格朗日定理的幾何解釋——連續(xù)光滑曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C,在該點(diǎn)處的切線是平行于弦AB的。

再根據(jù)幾何解釋得到其內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系：

若函數(shù) f（x）滿足：（1）閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，則在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

4.3 拉格朗日定理的證明

思路：構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）,要求其滿足羅爾定理?xiàng)l件,尤其是 g（a）=g（b）…（1）,同時(shí)由羅爾定理結(jié)論能使

證明的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù),方法很多,主要借助逆向思維、創(chuàng)造思維.這里介紹兩種典型方法。

因此，可構(gòu)造輔助函數(shù),

已知有g(shù)（a）=g（b），滿足輔助函數(shù)的兩個(gè)要求。由羅爾定理證得拉格朗日定理。

圖3

如圖3，由弧AB與弦AB端點(diǎn)重合的特點(diǎn)，試取處，其對(duì)應(yīng)的弧AB上點(diǎn)M與 弦AB上點(diǎn)N的縱坐標(biāo)之差為輔助函數(shù):

則有 F（a）=F（b）=0 且

滿足了構(gòu)造輔助函數(shù)的兩個(gè)要求。于是由羅爾定理,稍加整理證得拉格朗日定理。

4.4 拉格朗日定理的應(yīng)用舉例

應(yīng)用拉格朗日中值定理推得了用函數(shù)在區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法。

應(yīng)用拉格朗日中值定理推得了函數(shù)在某區(qū)間上一階導(dǎo)數(shù)恒為零，則此函數(shù)在此區(qū)間上是常數(shù)。

例 1：設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù) f（x）在[a,b]上連續(xù),在（a,b）內(nèi)可導(dǎo),且 f（a）=f（b）。 試證在開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn) ξ，使得 f（ξ）＞0。

分析：依題設(shè)可知f（x）在[a,b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，而結(jié)論為導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的值大于零，因此不能用羅爾定理，可設(shè)想，如果能利用拉格朗日中值定理，而 f（x2）-f（x1）與 x2-x1同號(hào)，則命題可證。為此構(gòu)造區(qū)間。

證：因?yàn)?f（a）=f（b）,且 f（x）不為常數(shù),因此至少存在一點(diǎn) c∈(a,b),使得 f（c）≠f（a）＝f（b）。不妨設(shè) f（c）＞f（a），在[a,c]上f（x）滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件,故至少存在一點(diǎn)，使由于 f（c）＞f（a）,c＞a,可知 f′（ξ）＞0,證畢。

5 教學(xué)小結(jié)

在現(xiàn)如今高等數(shù)學(xué)教學(xué)越發(fā)的講究實(shí)用主義教學(xué)的大環(huán)境下，為使學(xué)生更多地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法，使學(xué)生自覺(jué)地接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，講清楚一些經(jīng)典的、重要定義、定理的來(lái)龍去脈是非常必要的，尤其應(yīng)該講清楚邏輯證明的思路及過(guò)程，使學(xué)生體會(huì)嚴(yán)密有理、絲絲入扣的數(shù)學(xué)邏輯之美。

[1]張澤林.關(guān)于拉格朗日(Lagrange)中值定理的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].咸寧學(xué)院學(xué)報(bào),2005(6):24-26.

[2]黃強(qiáng)聯(lián),朱蘭萍.關(guān)于Lagrange中值定理的逆命題[J].高等數(shù)學(xué)研究,2012,15(5):15-16.

[3]劉三陽(yáng),楊國(guó)平.關(guān)于Lagrange中值定理的反問(wèn)題[J].高等數(shù)學(xué)研究,2007(5):40-41.