諸月琴

（浙江省杭州市蕭山新街初中，浙江杭州 311217）

1 錯題資源有效整理的必然性

心理學家蓋耶就認為：“誰不考慮嘗試錯誤，不允許學生犯錯，就將錯過最富成效的學習時刻?！卞e誤是正確的先導，錯誤是通向成功的階梯，金無足赤，人無完人，在學習中學生犯錯是最正常不過的事，作為教師就應將學生犯錯的過程看做是一種嘗試和創(chuàng)新的過程?？稍趯嶋H教學中，卻發(fā)現(xiàn)學生方面：要么不訂正，要么訂正敷衍應付；教師方面：部分教師對錯題利用意識也不強，把錯題的訂正管理當作負擔，認為此舉毫無必要，也有部分教師提出錯題本建設，但對學生的系統(tǒng)性指導不多，導致學生錯題資源管理停留在原始的錯題摘錄上，錯題資源管理效率不高，甚至變相地增加了學生的學習負擔。因此，開展提高學生數(shù)學錯題資源利用的研究勢在必行。

2 錯誤資源有效整理的策略

習題訓練是重要的數(shù)學教學手段，它不僅能夠幫助學生鞏固對知識的理解，更能起到檢驗學習水平的目的。學生學數(shù)學，往往會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤，要么因為基礎知識薄弱，對學習新知識產(chǎn)生負遷移，要么缺乏學習的積極性、主動性，沒有良好的學習習慣。而教師也疏忽了學生學習過程的研究，一味地講題，而忽略了學生知識點的落實。因此，做為教學的引導者、組織者，教師必須積極引導學生主動整理錯題，使知識點落到實處。

2.1 創(chuàng)設錯題重現(xiàn)的舞臺，迫使學生從心理接納錯題訂正的重要性

學生在數(shù)學解題中經(jīng)常會出現(xiàn)一些錯誤，這是難免的，但往往有些學生從心理上不重視錯題，不重視錯誤的原因，故而可能一錯再錯。因此重現(xiàn)錯題很有必要。

2.1.1 給予錯題再現(xiàn)，二次評價的機會，提高學生自覺訂正錯題的積極性

把平時作業(yè)中的易錯題編入試卷，讓學生感覺到平時上課的內(nèi)容和作業(yè)中的題目就是考試的內(nèi)容，心理上就產(chǎn)生了一種親近感，這樣就會使自己意識到只要在學習上踏踏實實、作業(yè)認真仔細，重視對錯題的訂正，搞懂每一道題目，把錯誤消滅在萌芽狀態(tài)，定能在考試中獲得成功，體驗到學習的快樂。同時對測驗、考試卷批改講評后，對錯題給予二次評價，對做錯的，做的不到位的學生可在平時成績中適當扣分，而做的好的則予以加分。如此對學生起到了很好的激勵作用，尤其對學有困難的學生，讓他們看到了希望，增強了學習的熱情。

2.1.2 給予錯題再變的可能，提醒學生落實錯題是知識深入的基礎

從某種意義上說，習題訓練的目的就是找出不足，然后彌補不足，避免同種錯誤的再犯。實際上，在反復操練下學生很容易熟練某道錯題的訂正方法，但他真的懂了嗎?選擇錯誤習題為切入口，深層次挖掘錯題資源，運用變式的方法將已錯習題的部分條件或結論進行改變，讓舊習題換上新面孔。變式訓練就是這樣一塊試金石，它讓原本看似“掌握”的習題暴露出更多同質(zhì)的、深層的缺陷。

變式1（追加問題）：求BD的長（在原有條件的基礎上）。

變式2：（變條件，變問題）：如圖，BC是半圓O的直徑，AD垂直BC于D，A、F把半圓三等分，BF與AD交于E，BC=12。求AE的長。

變式一

變式二

數(shù)學不同于其他學科，它更重視思想的歸納和技能的應用，重復地操練某個問題固然有助于問題的記憶和方法的熟悉，但對學生數(shù)學思想的凝練不一定有太大的作用。如上題，兩個班大部分學生一開始求CE的長度都有困難，在老師講解后，也都學會了訂正，但因教師在一個班講解時注重了思想方法的引導，而另一個班只是注重正確答案的回答，就產(chǎn)生了截然不同的兩種結果。一個班變式1能解決的不到5個，而另一個班盡達到了20個左右。由此可見，錯題訂正不僅僅應關注某個錯誤問題的糾正，更應是正確的解題觀念的樹立。

2.2 培養(yǎng)學生自覺主動糾錯是提高作業(yè)質(zhì)量教育質(zhì)量之根本

什么是錯題?錯題并非只是教師批改時打“叉”的習題，錯題應該是與學生已有的認知相沖突的，無法通過正確的思路得出正確解答的習題，而能得出正確答案卻無法給出合理解釋的習題解答也屬于錯題。錯題及時訂正與整理是學習效果反饋的重要途徑，也是預防和矯治學生“學習誤差”積累的必要手段。

2.2.1 引導學生學會錯題自我分析診斷

錯題自我分析診斷是指學生自己能獨立正確地找到產(chǎn)生錯誤地方，并能正確分析歸因的能力。提高學生對錯題能進行自我分析診斷的能力，有利于學生了解自己學習中存在的問題與薄弱環(huán)節(jié)，有利于“對癥下藥”，從而彌補知識點的不足，有利于監(jiān)控自己的學習過程，發(fā)展自己的學習能力。

（1）學生數(shù)學錯題自查的必要性。學生對問題的思考是以抽象的概念、判斷和推理作為基礎，這一過程都在學生頭腦中進行，旁人很難獲悉其具體情況，只能依據(jù)習題解答情況估測學生的思維情況。有明顯錯誤的顯性錯題能被老師發(fā)覺，而隱性錯題的排查只能依靠學生自己。比如說，同樣是正確答案，可能是學生知識掌握和運用得當?shù)漠a(chǎn)物，也可能是歪打正著的結果。

如，三角形練習卷中一填空題：（如圖1，等邊三角形ABC的邊長為2，點P是三角形內(nèi)任意一點，過點P分別作BC、CA、AB的垂線，垂足分別為點D、E、F.則PD+PE+PF＝_______。（背景說明：此填空題的正確率尚可，可在問過學生怎么做之后卻發(fā)現(xiàn)，有些學生根本不知道怎么算，只是因為想到過P向三邊作高線，故猜想答案可能就是三角形的高；而有的學生則想到了將點P移到一個特殊位置，比如點C處（圖2），如此，點P、D、E、C都重合，則三段之和就是該等邊三角形的高……）

圖1

圖2

上述練習，有學生的答案與標準答案雖然一致，但學生利用填空題的特點，通過某一特殊情況來說明動點運動整個過程的方法有取巧的成分。學生自己也很清楚，一旦題型變成解答題他解決起來將有一定的困難。而這一點教師在正確答案面前是無法發(fā)現(xiàn)學生思考上的漏洞的，所以這就需要學生自己去修整，落實。

（2）學生進行錯題自查的著手點。養(yǎng)成一個良好的自我檢查的習慣，正確認識自己學習狀態(tài)，是提高學生錯題管理的基本前提。顯性錯題的查找和收集比較容易，隱形錯題卻相對困難。這就要求學生在平時認真審視自己解題狀態(tài)，可從以下幾方面入手進行自查：

①在習題解答過程中，對不能順利解答的習題或其中一部分做標記的問題。

②校對答案時發(fā)現(xiàn)答案有錯的問題。

③校對答案時發(fā)現(xiàn)答案正確，解題思路卻不當?shù)膯栴}。

④校對答案時發(fā)現(xiàn)答案思路正確，但解題方案不夠簡潔有待改進的問題等。

遇到上述情況時，及時地在問題旁邊用紅筆、記號筆做上標記，并將其收錄到糾錯集上。如此原先無法察覺到的隱性錯題也會得到應有的重視。

如，下面是某同學試題卷訂正摘錄（填空題：如圖，半徑為5的⊙A中，弦BC,ED所對的圓心角分別是∠BAC，∠EAD。已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，則弦BC的弦心距等于_______。）

此生在∠BAC+∠EAD＝180°下標注了下劃線，并提醒自己此條件可想到一半的90°，也應想到180°的平角。自己的思路：作弦心距，再證全等比較繁。同學的思路：通過旋轉(zhuǎn)變換，利用∠BAC+∠EAD＝180°將兩個三角形可合成一個三角形，再利用中位線解決，值得借鑒。

圖3

此同學的訂錯筆記很好地反映了學生已經(jīng)有了自查的意識，他在傾聽中意識到了自己思維的缺陷，所以雖然自己做對了，但還是把同學更優(yōu)的方法做了上去。這樣就把自己隱性的錯誤展露無遺。長此以往，學生的思路就會越來越開闊。良好的自查習慣是學生提高學習質(zhì)量的保證。

2.2.2 引導學生錯題資源有效歸類

很多時候詢問學生為什么會做錯，他們常見的回答是時間不夠、粗心，很少在自身的知識掌握和理解能力上找原因。若要求學生整理錯題時按錯點產(chǎn)生原因存放則有利于學生自己去發(fā)現(xiàn)自己的錯誤原因，同時也能使學生在把同質(zhì)、同因的錯題放在一起時產(chǎn)生共鳴，有效地改進自己的學習。依據(jù)錯誤產(chǎn)生的現(xiàn)象，本人幫助學生將錯題大致分為計算型錯誤、閱讀型錯誤、知識型錯誤、方法性錯誤、周密性錯誤等幾類。要求學生收錄錯題時重新審視自己的解題過程，從而確定錯誤產(chǎn)生的原因，藉此對錯題進行分類處理。

如，某學生將他的錯題集中到了一本本子上，并對每一道題都作了標號，然后在本子的首頁制作了一張目錄，以便隨時查看。

表1

此學生依據(jù)每一種錯題的類型分別在錯題中作了相應輔助措施，一段時間下來，效果是斐然的。如在一次月考中，有一填空題“在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，那么它們所對的兩條弦也相等，此命題的逆命題是___命題（真或假）”。此空的正確率極低，全班只有3個人做對，而這個同學就是其中之一，問之，這個同學說道是因為在作業(yè)本中一道求弦所對的圓周角的度數(shù)的問題中犯過周密性錯誤，故在經(jīng)常翻閱錯題本時記住了，這次也就意識到了。錯題的有效落實是學生查漏補缺的一個有效途徑，學生應將其作為一種習慣，習慣是一種看不見的力量。學生養(yǎng)成了自覺整理錯題的習慣，自然知識點也就達到了真正地掌握，對學習的興趣自然也會被調(diào)動起來。

2.3 學生之間彼此分享錯題集，使錯題資源利用最大化

新課標指出學生是有差異的個體。每一個人因基礎不同，反應出來的思維方式也會不同，當然錯題情況，錯誤原因也會不盡相同，所以學生應該用好同伴的錯題資源，相互交流，才能在“錯題”中淘得另一桶“金”。

如，函數(shù)中一練習：已知函數(shù) y＝mχ2-6x+1（m 是常數(shù)）。（1）求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖像都經(jīng)過y軸上的一個定點；（2）若該函數(shù)的圖像與x軸只有一個交點，求m的值。（背景說明：此題第一小題是簡單的，學生基本沒問題，但在解決第二小題時全班除了4個同學其他都少解了，而這4個同學中其中有一個是本人沒想到的，因為她的基礎只能算中等，平時思考問題并不嚴密。于是處于好奇，我問了其做對的原因）。

生：哦，我是在考試前剛好看了趙同學的錯題記載本，剛好看到她摘錄了一道因閱讀型及周密型而錯誤的方程題：“若關于x的方程kχ2+2x-1＝0有解，則實數(shù)k的取值范圍”，她在訂正時將方程兩個字作了標注，說明了其不確定性，那在這道題中我看到了方程，所以我想也具有不確定性，可以是元一次函數(shù)也可以是二次函數(shù)。

師：非常好，你能從同學的錯誤中吸取教訓并學以致用……

數(shù)學教學是一種思維教學，習題訓練是它重要的教學手段。在平時的教學過程中由于種種原因總會產(chǎn)生很多始料未及的錯誤。對于這些錯誤，教師和學生都必須積極對待。作為教師只要能進一步分析學生犯錯誤的原因，并能透過錯誤發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，作為學生要是能養(yǎng)成自覺主動糾錯的能力，那么就可變“廢”為“寶”，利用錯誤這一資源為教學和學習服務。錯題管理有助于學生的數(shù)學學習，但是錯題管理不是學習的目的，而是幫助學生進行有效學習和提升教師教學質(zhì)量的一種手段。制作錯題集更不是任務，不一定要做得精致、全面，它只是一種訓練思維的載體。最關鍵的是，學生和教師不能輕易放過錯題，應徹底弄清錯題才能學以致用。在反思學習的過程中將自己的知道結構完善，提升解決問題的能力，實現(xiàn)有效學習，達到有效教學的最終目標。

[1]喻平．數(shù)學教學心理學[M]．北京：北京師范大學出版社，2010.

[2]熊川武．反思性教學[M].上海：華東師范大學出版社，1999.

[3]魏興宇,賈潤桃.“錯題本”——減負增效的著力點[J].呂梁高等?？茖W校學報,2004(1)：56-57.