趙薩日娜

（吉林省經(jīng)濟(jì)管理干部學(xué)院，吉林長(zhǎng)春 130000）

數(shù)學(xué)中常常會(huì)對(duì)一些重要且具有典型意義的問(wèn)題進(jìn)行研究并加以總結(jié)，以期通過(guò)對(duì)該問(wèn)題的解決帶動(dòng)一類相關(guān)問(wèn)題的解決，兩個(gè)重要極限就體現(xiàn)了這樣的思路，利用它們并通過(guò)函數(shù)的恒等變形與極限的運(yùn)算法則就可以使兩類常用的極限的計(jì)算問(wèn)題得到解決。其中重要極限Ⅱ的形式及計(jì)算應(yīng)用對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)更為復(fù)雜，難以掌握，且它在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題——連續(xù)復(fù)利問(wèn)題中有重要的應(yīng)用。因此利用信息化教學(xué)法組織好重要極限Ⅱ及其應(yīng)用的教學(xué)，對(duì)于訓(xùn)練學(xué)生在動(dòng)態(tài)變化的思維下理解極限過(guò)程的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系的能力，通過(guò)實(shí)際問(wèn)題建立合理的抽象的數(shù)學(xué)模型的能力，以及按照目標(biāo)模型進(jìn)行靈活的恒等變形的能力都具有重要的意義。

1 教學(xué)背景

教學(xué)主體是經(jīng)管類專業(yè)，如工商管理、財(cái)務(wù)管理專業(yè)大一新生,基本都是文科生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對(duì)薄弱,學(xué)習(xí)興趣有待提高。多數(shù)學(xué)生尚未養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)習(xí)慣,掌握有效學(xué)習(xí)方法。學(xué)生的邏輯思維能力、恒等變形能力有待進(jìn)一步開(kāi)發(fā)和鍛煉。

對(duì)于學(xué)習(xí)本節(jié)課的相關(guān)知識(shí)基礎(chǔ)而言,基本了解指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算特點(diǎn)；理解函數(shù)極限的概念、無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念；掌握了極限的運(yùn)算律。

2 教學(xué)目標(biāo)

3 教學(xué)重點(diǎn)

4 教學(xué)難點(diǎn)

5 教學(xué)方法

主要采用查表觀察和看圖觀察方法、利用MATLAB信息化教學(xué)法、講授法、數(shù)形結(jié)合法、啟發(fā)式教學(xué)法等。

6 教學(xué)內(nèi)容

6.1 提出問(wèn)題

假設(shè)本金數(shù)量為A的一項(xiàng)投資，以年利率R投資了n年，按復(fù)利付息，若每年計(jì)算一次復(fù)利，則

一年后的本利和為A1=A(1+R)；

二年后的本利和為A2＝A(1+R)；

年后的本利和為An＝A(1+R)n.

若一年分為m次付息，年利率仍為R，則每期利率為R/m，于是

這就是說(shuō)一年計(jì)算次復(fù)利的本利和比一年計(jì)算一次本利和要大，且復(fù)利計(jì)算次數(shù)越頻繁,計(jì)算所得的本利和數(shù)額就越大，那么我們是不是可以計(jì)算無(wú)限次復(fù)利呢?

如果m→∞,則年后的本利和為

6.2 分析問(wèn)題

按照當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)極限的描述性定義及其幾何解釋,采用查表觀察和看圖觀察方法分析問(wèn)題.

表1 計(jì)算器計(jì)算結(jié)果

圖1 曲線圖形

6.3 解決問(wèn)題

其中等式右端的數(shù)e是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要常數(shù),其值為e＝2.718 281 828 459 045…,基本初等函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)y＝ex以及自然對(duì)數(shù)函數(shù)y＝1nx中的底e就是這個(gè)常數(shù)。

至此,我們可以回答最初提出的問(wèn)題,原來(lái)雖然復(fù)利計(jì)算次數(shù)越頻繁,計(jì)算所得的本利和數(shù)額就越大,但是也不會(huì)無(wú)限增大,因?yàn)?/p>

所以,本金為A，按名義年利率R不斷計(jì)算復(fù)利,則n年后的本利和為S＝AeRn。

上述公式稱為連續(xù)復(fù)利公式,式中的n可視為連續(xù)變量,上述公式僅是一個(gè)理論公式,在實(shí)際應(yīng)用中并不使用它,僅作為存期較長(zhǎng)情況下的一種近似估計(jì)。

6.4 應(yīng)用舉例

（1）計(jì)算下列極限。

a.此極限為“1∞”型,也適合用來(lái)求此類極限；

因此，應(yīng)用此重要極限的主要方法及步驟為：a.先判斷極限類型是否為1∞；b.恒等變形套模型;c.運(yùn)用重要極限結(jié)果并結(jié)合函數(shù)運(yùn)算律和極限運(yùn)算律求出極限值。

（2）一投資者欲用1000元投資5年,設(shè)年利率為6%,試分別按單利、復(fù)利、每年按4次復(fù)利和連續(xù)復(fù)利方式計(jì)算，到第5年末，該投資者應(yīng)得的本利和S。

解：按單利計(jì)算

S＝1000+1000×0.06×5＝1300（元）

按復(fù)利計(jì)算

S＝1000+（1+0.06）5＝1000×1.33823＝1338.23（元）

每年按4次復(fù)利

連續(xù)復(fù)利方式計(jì)算

S＝1000e0.06×5＝1000e0.3＝1349.86（元）

連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式在許多其它問(wèn)題中也常有應(yīng)用，如細(xì)胞分裂、樹(shù)木增長(zhǎng)、放射性物質(zhì)的衰減等。

[1]吳贛昌.大學(xué)文科數(shù)學(xué)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2007.

[2]梁寶鈺.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].天津：南開(kāi)大學(xué)出版社,2017.

[3]麥紅.Matlab在大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].電腦知識(shí)與技術(shù),2008,4(35)：2272-2273，2285.