程然， 何科峰， 繆禮鋒

(中國航空工業(yè)集團公司雷華電子技術(shù)研究所， 江蘇無錫 214063)

0 引言

航向航速是海面目標的重要特征，能準確估計出航向航速對于海面目標的跟蹤、識別和打擊具有非常重要的意義。由于海面目標跟蹤中易出現(xiàn)量測高精度、系統(tǒng)復(fù)雜強非線性等情況，導(dǎo)致傳統(tǒng)非線性濾波器對海面目標航向航速的估計精度不高[1]。此外，海面運動目標自身速度較慢，濾波器的穩(wěn)態(tài)波動對海面目標的航速估計影響較大，精度難以保證。針對以上問題，為了改善復(fù)雜環(huán)境下目標跟蹤的性能，對海面目標航向航速精確估計算法的研究迫在眉睫。

近年來，國內(nèi)對海面目標航向航速估計算法開展了廣泛的研究。文獻[2]針對海面目標航向航速估計的物理概念、真值的獲取及考核方法作了初步的研究和介紹，但并沒有考慮復(fù)雜情況下提高海面目標航向航速估計精度的具體途徑。文獻[3]推導(dǎo)出了雷達載體在高速運動條件下海面目標跟蹤的濾波方程，并利用雷達載體的GPS信息和目標的測量信息實現(xiàn)了對目標航向航速的高精度解算。然而這種方法僅在海面目標作勻速直線運動時估計精度才較高，當目標發(fā)生機動(如協(xié)同轉(zhuǎn)彎)時，所建目標的運動學(xué)模型與目標的實際運動模式不匹配，導(dǎo)致濾波器發(fā)散，最終造成目標的跟蹤丟失。鑒于以上問題和不足，本文緊密結(jié)合工程應(yīng)用背景，針對海面目標跟蹤中易出現(xiàn)的量測高精度、系統(tǒng)復(fù)雜強非線性等問題，提出了一種基于截斷的自適應(yīng)容積卡爾曼濾波算法(TACKF)的海面目標航向航速估計算法。

首先，本文簡要介紹了非線性高斯濾波器(GF)的基本原理，分析了GF在量測更新階段所存在的主要問題。其次，本文簡要闡述了截斷卡爾曼濾波器(TKF)的基本原理，并引入了一種自適應(yīng)調(diào)節(jié)機制，將TKF與容積卡爾曼濾波器(CKF)通過一個自適應(yīng)變化的參數(shù)有機地結(jié)合起來，從而推導(dǎo)得出截斷的自適應(yīng)容積卡爾曼濾波器(TACKF)。最后，結(jié)合數(shù)值仿真及實驗數(shù)據(jù)將本文所提出的濾波算法應(yīng)用到海面目標的航向航速估計中，數(shù)據(jù)仿真結(jié)果證明了該算法的有效性。

1 GF算法結(jié)構(gòu)

考慮如下形式的狀態(tài)空間離散非線性系統(tǒng)：

(1)

式中，xk∈Rnx表示k時刻系統(tǒng)狀態(tài)向量(nx為狀態(tài)維數(shù))，zk∈Rnz表示k時刻外部量測向量(nz為狀態(tài)維數(shù))，f(·)表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，h(·)表示量測函數(shù)，wk-1與vk分別表示系統(tǒng)噪聲和量測噪聲，二者互不相關(guān)且均為零均值高斯白噪聲，即wk-1～N(0,Qk-1)，vk～N(0,Rk)。依據(jù)線性最小方差準則，GF的一般結(jié)構(gòu)[4]為

(2)

式中，

(3)

式中，Zk-1表示直到k-1時刻所有的量測信息。從上述GF的一般結(jié)構(gòu)可知，GF可分為兩個部分，即時間更新和量測更新。GF的估計精度主要取決于對系統(tǒng)狀態(tài)均值和協(xié)方差的計算精度。傳統(tǒng)GF對式(3)通常采用近似的方法獲得，例如無跡卡爾曼濾波器(UKF)采用Unscented變換的近似方法[5]；容積卡爾曼濾波器(CKF)采用容積變換的近似方法[6]，不同的近似方法會得到不同的估計精度。

2 TKF算法概要

2.1 GF量測更新階段分析

(4)

(5)

GF中，狀態(tài)與量測近似的條件聯(lián)合概率密度函數(shù)[7]為

(6)

(7)

(8)

為了表示近似的條件聯(lián)合概率密度函數(shù)與真實的條件聯(lián)合概率密度函數(shù)的偏差程度，文獻[7]給出了一種計算KLD偏差參數(shù)的表示方法，并以此來表征GF的估計精度。KLD參數(shù)值越小，表明GF對狀態(tài)真實后驗概率密度函數(shù)的逼近程度越高。KLD參數(shù)本質(zhì)上是一個近似化的指標參數(shù)，它是建立在對非線性量測函數(shù)一階線性化基礎(chǔ)之上的，具體表達式[7]為

(9)

(10)

(11)

(12)

對EKF來說，由于它只對量測函數(shù)進行一階泰勒展開并忽略所有高階矩信息，因此EKF的KLD參數(shù)表達式[7]整理為

(13)

(14)

從EKF的KLD表達式中可以看出，EKF的估計精度主要取決于3個因素，即量測噪聲方差、系統(tǒng)狀態(tài)的先驗協(xié)方差及量測函數(shù)。對于確定的系統(tǒng)狀態(tài)先驗分布及量測函數(shù)，當量測噪聲方差減小時，EKF的KLD參數(shù)升高，此時EKF對系統(tǒng)狀態(tài)真實的后驗概率密度函數(shù)逼近精度變差。而當量測噪聲方差和量測函數(shù)一定，隨著系統(tǒng)狀態(tài)的先驗不確定性逐漸加強，即系統(tǒng)狀態(tài)的先驗協(xié)方差逐漸增大，同樣會使KLD參數(shù)升高，系統(tǒng)狀態(tài)的估計精度下降。

對于UKF，CKF等利用確定性采樣策略的傳統(tǒng)GF而言，由于考慮了系統(tǒng)狀態(tài)的高階矩信息，因此在精度上要優(yōu)于EKF。它們的KLD表達式本質(zhì)上是一樣的，唯一區(qū)別就是采樣點的選取方式不同。因此，這類GF對系統(tǒng)狀態(tài)真實后驗概率密度函數(shù)的近似精度同樣受到量測噪聲方差、狀態(tài)先驗協(xié)方差及非線性量測函數(shù)的影響，分析過程同EKF相似，不再贅述。

2.2 TKF原理分析

通過前面的分析可以得出這樣一個結(jié)論，即在量測高精度、系統(tǒng)復(fù)雜強非線性的情況下傳統(tǒng)GF對系統(tǒng)狀態(tài)后驗概率密度函數(shù)的近似精度不是很高。為了解決這一問題，文獻[8]提出了一種截斷的卡爾曼濾波器(TKF)。TKF的濾波結(jié)構(gòu)框架與傳統(tǒng)GF大體相同，唯一的區(qū)別在于TKF在時間更新階段對系統(tǒng)狀態(tài)的先驗分布進行了截斷處理，因此本節(jié)只分析TKF在時間更新階段的濾波原理。

與之前的分析有所不同，假設(shè)此時的量測是高精度的，也就是說量測噪聲的方差足夠小，那么我們認為以下的近似是合理的，即將服從高斯分布的量測噪聲近似為服從均勻分布，且近似后的量測噪聲均值和方差保持不變[8]。因為量測噪聲方差足夠小，這就意味著近似為均勻分布后的量測噪聲被限制在一個很小的區(qū)域內(nèi)，因此我們認為此時系統(tǒng)狀態(tài)的先驗概率密度函數(shù)在其相應(yīng)的定義域內(nèi)可以近似為一個常數(shù)[8]。

(15)

(16)

整理，得

(17)

似然概率密度函數(shù)表示為

p(zk|xk)=pvk(zk-h(xk))Ix(xk)

(18)

(19)

式中，Ix表示截斷的區(qū)域：

(20)

根據(jù)貝葉斯準則，系統(tǒng)狀態(tài)的后驗概率密度函數(shù)可表示為

p(xk|Zk)∝p(zk|xk)p0(xk|Zk-1)=

pvk(zk-h(xk))Ix(xk)p0(xk|Zk-1) (21)

式(21)可以看作是系統(tǒng)狀態(tài)的先驗概率密度函數(shù)被“截斷”了，故截斷的系統(tǒng)狀態(tài)先驗概率密度函數(shù)可表示為

(22)

式中，p1(·)表示截斷的系統(tǒng)狀態(tài)先驗概率密度函數(shù)，ε表示歸一化常數(shù)，表示為

(23)

將式(17)代入式(23)，得

(24)

整理，得

式中，|Iv|表示近似成均勻分布的量測噪聲統(tǒng)計分布區(qū)域的面積。則截斷的先驗均值為

(26)

將式(17)代入式(26)整理，得

因為量測噪聲的均值沒變，即

(28)

將式(28)代入式(27)整理，得

(29)

截斷的系統(tǒng)狀態(tài)先驗協(xié)方差為

(30)

將式(17)代入式(30)，得

(31)

整理，得

(32)

從式(32)可以看出，在TKF的時間更新階段，系統(tǒng)狀態(tài)的先驗協(xié)方差與量測噪聲的方差建立起了聯(lián)系。根據(jù)前面介紹的KLD參數(shù)理論，當系統(tǒng)狀態(tài)的先驗協(xié)方差隨量測噪聲方差作相同趨勢的變化時，會抵消KLD參數(shù)的整體變化，從而使得濾波器對系統(tǒng)狀態(tài)真實的后驗概率密度函數(shù)的逼近程度不會受到外部高精度量測的顯著影響。同時，文獻[7]還指出，當系統(tǒng)狀態(tài)的先驗協(xié)方差減小時會減輕外部量測非線性對GF量測更新階段的影響。對系統(tǒng)狀態(tài)的先驗概率密度函數(shù)進行截斷處理，相當于增加對系統(tǒng)狀態(tài)先驗估計的置信程度，降低了系統(tǒng)狀態(tài)的先驗不確定性，從而使整個濾波器的估計性能得到進一步提升。

3 TACKF算法推導(dǎo)

本節(jié)將引入一種自適應(yīng)調(diào)整機制，將TKF與某種GF通過一個自適應(yīng)變化的參數(shù)相結(jié)合，使其能夠根據(jù)外部量測信息的變化動態(tài)地調(diào)整二者相對權(quán)值的大小，從整體上提高濾波性能。由于CKF具有算法實現(xiàn)簡單、濾波精度高、收斂性好等優(yōu)點，且具有更高的數(shù)值穩(wěn)定性[6]，因此本節(jié)擬采用TKF與CKF有機相結(jié)合的方法得到TACKF算法。

3.1 TKF與CKF自適應(yīng)調(diào)整機制

(33)

式中，α∈[0,1]是一個自適應(yīng)變化的參數(shù)。

從前面對GF量測更新階段的分析中可知：當外部量測噪聲方差和量測函數(shù)一定時，隨著系統(tǒng)狀態(tài)先驗協(xié)方差的逐漸增大(系統(tǒng)狀態(tài)的先驗不確定性逐漸增強)，GF的KLD參數(shù)會逐漸升高，從而導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)的估計精度下降。同時文獻[8]指出，當外部量測信息較為豐富時，TKF相比于傳統(tǒng)GF能夠發(fā)揮更好的濾波性能。而當外部量測信息相對匱乏時，TKF的優(yōu)勢則被削弱，傳統(tǒng)GF的濾波性能得到改善。

基于這兩個結(jié)論可以看出：當外部量測信息較為豐富時，TKF系統(tǒng)狀態(tài)的先驗不確定性比CKF的弱，TKF相比于CKF能夠發(fā)揮更好的濾波性能；相反，當外部量測信息相對匱乏時，TKF中系統(tǒng)狀態(tài)的先驗不確定性比CKF的強，TKF的優(yōu)勢被削弱，CKF的濾波性能得到改善。故可以將自適應(yīng)變化參數(shù)α的選取與系統(tǒng)狀態(tài)的先驗協(xié)方差建立起一種關(guān)系，從而更加明確α的取值：

(34)

式中，γ是一個用戶設(shè)定的預(yù)調(diào)整參數(shù)，它可以預(yù)先調(diào)整系統(tǒng)狀態(tài)先驗協(xié)方差矩陣跡的相對權(quán)重大小來改善參數(shù)α的自適應(yīng)調(diào)整。從式(34)可以看到，當γ取值減小時，說明截斷的系統(tǒng)狀態(tài)先驗概率密度函數(shù)的相對權(quán)重被逐漸削弱；反之當γ取值增大時，則說明要對截斷的系統(tǒng)狀態(tài)先驗概率密度函數(shù)的相對權(quán)重逐漸加強。

當γ取值一定時，隨著外部量測信息逐漸變得豐富，TKF系統(tǒng)狀態(tài)的先驗不確定性逐漸降低，自適應(yīng)變化參數(shù)α逐漸趨于1，此時TKF發(fā)揮主要作用，當α=1時濾波器則轉(zhuǎn)化為純粹的TKF；相反，隨著外部量測信息逐漸變得匱乏，TKF系統(tǒng)狀態(tài)的先驗不確定性逐漸升高，自適應(yīng)變化參數(shù)α逐漸趨于0，此時CKF發(fā)揮主要作用，當α=0時濾波器則完全退化為CKF。故TKF與CKF的這種自適應(yīng)調(diào)整機制能夠更好地適應(yīng)外部量測信息的變化，從整體上提高濾波器的濾波性能。

3.2 TACKF濾波算法

與傳統(tǒng)GF的濾波結(jié)構(gòu)相同，TACKF也是由時間更新和量測更新兩部分組成，具體實施步驟如下。

1) 時間更新

通過Cholesky分解狀態(tài)的協(xié)方差矩陣Pk-1|k-1：

(35)

根據(jù)Spherical-Radial Cubature準則計算容積點：

(36)

(37)

通過狀態(tài)方程傳播容積點：

(38)

計算CKF中系統(tǒng)狀態(tài)的先驗均值及協(xié)方差矩陣：

(39)

計算TKF中系統(tǒng)狀態(tài)的先驗均值及協(xié)方差矩陣：

(40)

2) 量測更新

通過Cholesky分解Ph,k|k-1(h∈{0,1})：

(41)

根據(jù)Spherical-Radial Cubature準則計算容積點：

(42)

通過量測方程傳播容積點：

Zh,i,k|k-1=h(Xh,i,k|k-1)

(43)

計算量測的先驗均值及自相關(guān)先驗協(xié)方差矩陣：

(44)

計算互相關(guān)協(xié)方差矩陣：

(45)

分別計算CKF和TKF的卡爾曼濾波增益：

(46)

分別計算CKF和TKF狀態(tài)的后驗均值及協(xié)方差：

(47)

計算系統(tǒng)狀態(tài)最終的后驗均值及協(xié)方差矩陣：

(48)

(49)

4 仿真與分析

4.1 數(shù)值仿真驗證

(50)

式中，ω表示海面目標轉(zhuǎn)彎角速率，T表示機載雷達采樣周期，wk-1表示高斯系統(tǒng)噪聲。系統(tǒng)噪聲方差矩陣Qk-1為

(51)

量測方程表示為

從數(shù)值仿真結(jié)果中可以看出，當海面目標作協(xié)同轉(zhuǎn)彎運動時，TACKF對目標航向航速的估計精度要明顯高于CKF及UKF。而當海面目標作勻速直線運動時，3個濾波器對目標航向航速的估計精度相當。證明了在量測高精度、系統(tǒng)復(fù)雜強非線性的條件下TACKF能夠更有效地逼近系統(tǒng)狀態(tài)的后驗概率密度函數(shù)，從而有效提高了海面目標航向航速的估計精度。

圖1 海面目標運動軌跡

圖2 各濾波器對海面目標航速估計的RMSE曲線

圖3 各濾波器對海面目標航向估計的RMSE曲線

輸出參數(shù)算法分類TACAFUKFCKF航速RMSE/(m·s-1)航向RMSE/(°)2.4312.823.2921.023.0719.05

表2 勻速運動段目標航向航速估計精度統(tǒng)計

4.1 實驗數(shù)據(jù)驗證

結(jié)合實驗數(shù)據(jù)將本文所提出的濾波算法應(yīng)用到對海面目標航向航速的離線估計中，分別給出在不同時間統(tǒng)計區(qū)間內(nèi)各濾波器的圖像對比分析和數(shù)據(jù)精度分析，結(jié)果如表3、圖4、圖5所示。

結(jié)合實驗數(shù)據(jù)的仿真結(jié)果可以看出，相比于EKF，本文所提出的TACKF算法能夠發(fā)揮更好的濾波性能，具有更高的濾波精度，更適于應(yīng)用到海面運動目標的航向航速估計中。

5 結(jié)束語

本文緊密結(jié)合工程應(yīng)用背景，針對海面目標跟蹤中易出現(xiàn)的量測高精度、系統(tǒng)復(fù)雜強非線性等問題，提出了一種基于截斷的自適應(yīng)容積卡爾曼濾波算法(TACKF)的海面目標航向航速估計算法。通過引入一種自適應(yīng)調(diào)整機制，將TKF與CKF有機地結(jié)合起來，使其能夠根據(jù)外部量測信息的變化動態(tài)地調(diào)整二者相對權(quán)值的大小，有效改善了濾波器的估計性能。結(jié)合實驗數(shù)據(jù)將本論文所提出的濾波算法應(yīng)用到對海面目標航向航速的離線估計中，分別給出在不同時間統(tǒng)計區(qū)間和內(nèi)各濾波器的圖像對比分析數(shù)據(jù)精度分析。仿真結(jié)果表明，本論文所提出的濾波算法較傳統(tǒng)的非線性濾波算法有顯著的性能提升，可以有效提高復(fù)雜環(huán)境下海面目標航向航速的估計精度。

表3 海面目標航向航速估計數(shù)據(jù)精度統(tǒng)計

圖4 各濾波器對海面目標航向角的估計結(jié)果

圖5 各濾波器對海面目標航速的估計結(jié)果

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