☉江蘇海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉東升

讓開放題引領(lǐng)開放的數(shù)學(xué)教學(xué)

☉江蘇海安縣城南實(shí)驗(yàn)中學(xué) 劉東升

我們知道，開放題在21世紀(jì)之初在我國數(shù)學(xué)教育界得到了重視.比如，鄭毓信教授曾寫作系列“開放題與開放式教學(xué)”的文章（詳見文1和文2），倡導(dǎo)從開放題研究走向開放式教學(xué)；2007年鄭教授又將之前提出的“開放式教學(xué)”修正為“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”（詳見文3），并較為全面地分析了“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”的具體涵義，這就是教學(xué)思想、教學(xué)方法、教學(xué)目標(biāo)等不同層面的開放性.然而以筆者所見，近十五年來雖也有一些針對開放題命題的研究，或者開放的數(shù)學(xué)教學(xué)模式的口號與簡單的案例研究，但是整體上開放題與開放的數(shù)學(xué)教學(xué)研究仍然較為沉悶.比如，筆者關(guān)注的中考命題研究領(lǐng)域，質(zhì)量較高的開放題還偏少；數(shù)學(xué)課堂上還充滿著各種“控制”，各級賽課中教學(xué)設(shè)計過于精致化、例題和習(xí)題的呈現(xiàn)密不透風(fēng)，都與開放的數(shù)學(xué)教學(xué)追求相去甚遠(yuǎn).為此，筆者在最近一次八年級上學(xué)期期中測試命題過程中，全卷加大了開放題考查的力度，并且3道原創(chuàng)題的開放角度不一，立意引領(lǐng)開放的數(shù)學(xué)教學(xué).本文先呈現(xiàn)3道開放題，解釋命題意圖，跟進(jìn)教學(xué)思考，供研討.

一、原創(chuàng)開放題及命題意圖

開放題1：如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”.如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4、12、20都是“神秘數(shù)”.

（1）試分析28是否為“神秘數(shù)”.

（2）下面是兩個同學(xué)演算后的發(fā)現(xiàn)，請選擇一個“發(fā)現(xiàn)”，判斷真假，并說明理由.

①小成發(fā)現(xiàn)：兩個連續(xù)偶數(shù)2k+2和2k（其中k取非負(fù)整數(shù)）構(gòu)造的“神秘數(shù)”也是4的倍數(shù).

提醒：（2）中兩個發(fā)現(xiàn)，只需解答其中一個，若兩個都做，按“小成發(fā)現(xiàn)”的解答計分.

②小南發(fā)現(xiàn)：2016是“神秘數(shù)”.

命題意圖：這道題源自人教版教材八年級上冊習(xí)題，網(wǎng)上流傳著這道“神秘數(shù)”考題的多種版本，但我們改編了命題呈現(xiàn)的方式.第（1）問先讓學(xué)生初步體驗(yàn)28= 82-62，加深對題干中的“神秘數(shù)”約定的理解，我們還預(yù)設(shè)，如果學(xué)生在第（1）問就設(shè)元列方程求解，則對第（2）問的思路有利，這就是設(shè)28是由x和x-2兩數(shù)的平方差得到的，則x2-（x-2）2=28，解得x=8，問題獲解.

如果有上面列方程的經(jīng)歷，則第（2）①問容易列出關(guān)于k的“平方差式子”（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+ 2k）=4（2k+1），即由2k+2和2k構(gòu)造的“神秘數(shù)”是4的倍數(shù)，且是奇數(shù)倍.

而第（2）②問，仍然可以列方程處理，設(shè)2016是由y和y-2兩數(shù)的平方差得到的，則y2-（y-2）2=2016，解得y= 505，不是偶數(shù)，故2016不是“神秘數(shù)”.

我們給出了“提醒”，考生只需解答兩個發(fā)現(xiàn)中的其中一個，因?yàn)檫@兩個發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上是一致的，能解答一個的學(xué)生，應(yīng)該已理解了問題中表述的“神秘數(shù)”，不需要讓學(xué)生重復(fù)解答本質(zhì)相同的問題.同時又追求了開放題的一種新形態(tài)：讓學(xué)生在答題時多了一次“選擇”的機(jī)會.

開放題2：某種產(chǎn)品的原料提價，因而廠家決定對產(chǎn)品提價，現(xiàn)有三種方案：

方案（一）：第一次提價a%，第二次提價b%；

方案（二）：第一次提價b%，第二次提價a%；

其中a、b是不相等的正數(shù).

（答題說明：從以下兩個問題中選擇一個解答即可，其中“問題1”答對得4分，“問題2”答對得8分.）

問題1：請通過演算說明方案（一）、方案（二）提價一樣.

問題2：請通過演算說明方案（三）提價最多.

提醒：本題中問題1、問題2，只需解答一個，若兩個都做，按“問題1”解答計分.

命題意圖：這道題源自人教版教材八年級上冊“整式乘除與因式分解”一章復(fù)習(xí)題中的拓廣探索題，我們只是簡單改編了字母，原題是直接“分析哪種方案提價最多”，我們將設(shè)問變式為兩個問題，并給出“提醒”，只要求做一個“問題”，但賦分不一樣.這也是基于我們對這道考題的深刻理解，因?yàn)閮?yōu)秀學(xué)生如果選擇挑戰(zhàn)“問題2”，則他們是繞不開“問題1”的，也需要演算說明方案（一）和（二）提價一樣.簡解如下：

方案（一）：（1+a%）（1+b%）=1+a%+b%+ab%；

方案（二）：（1+b%）（1+a%）=1+a%+b%+ab%；

值得一說的是，該類題不但在八年級教材上有的是，考后有位學(xué)生家長是高中數(shù)學(xué)教師，他告訴我們高中階段對這類問題還會跟進(jìn)學(xué)習(xí)，初中安排學(xué)生重視這類問題的說理很有意義.

開放題3：如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB＞AC，射線AM平分∠BAC.

（1）設(shè)AM交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，連接EF.有以下三種“判斷”：

判斷1：AD垂直平分EF；

判斷2：EF垂直平分AD；

判斷3：AD與EF互相垂直平分.

你同意哪個“判斷”？簡述理由.

（2）射線AM上有一點(diǎn)N到△ABC的頂點(diǎn)B、C的距離相等，連接NB、NC.

①請指出△NBC的形狀，并說明理由；

②當(dāng)AB=11，AC=7時，求四邊形ABNC的面積.

圖1

圖2

圖3

命題意圖：這道題源自人教版教材八年級上冊習(xí)題.初稿第（1）問準(zhǔn)備設(shè)計“猜想線段AD與EF的關(guān)系”，因?yàn)轭A(yù)設(shè)到學(xué)生可能會表述不清或漏解，故將（1）設(shè)計成一個開放式問題，給學(xué)生提供選做的機(jī)會，讓基礎(chǔ)偏弱的學(xué)生也能得到一點(diǎn)分，而讓數(shù)學(xué)能力強(qiáng)的、思維深刻的可以拿全第（1）問的分.

第（2）問由“基本圖形”（如圖2）的啟示，加上第（1）問暗示過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，圖中出現(xiàn)正方形AGNH，有△BGN≌△CHN（HL），S四邊形ABNC= S四邊形AHNG，設(shè)BG=x，則11-x=7+x，解得x=2，于是AG=AH= 9.所以S四邊形ABNC=S四邊形AHNG=92=81.

值得一說的是，因?yàn)閷W(xué)校期中命題教師選聘時采取了本年級教師回避的做法，命制該題時筆者正在九年級任教，教學(xué)進(jìn)度正在“圓”一章，以圖2為例，圖中就有兩個“四點(diǎn)共圓”的結(jié)構(gòu)，一是正方形AGNH四個頂點(diǎn)在以AN為直徑的圓上；二是四邊形ABNC四個頂點(diǎn)在以BC為直徑的圓上（如圖3），這樣我們可更清楚地洞察問題結(jié)構(gòu)，即圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，同弧所對的圓周角相等，有∠NBC=∠NAC=45°，∠NCB=∠NAB=45°，可快速確認(rèn)△NBC的形狀是等腰直角三角形.這樣命題時我們站在“高處”想清了八年級教學(xué)時應(yīng)該重視這類問題，因?yàn)閷W(xué)生利用全等三角形、角平分線的性質(zhì)可以實(shí)現(xiàn)問題的解決，“未來”又會碰到，解決的工具和視角發(fā)生了變化，這種解題認(rèn)識是很多數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)與研究的共通之處.

二、讓開放題引領(lǐng)“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”

1.尊重個體差異，讓開放題引領(lǐng)開放的數(shù)學(xué)教學(xué).

我們知道，“因材施教”是一項(xiàng)基本教學(xué)常識.近年來，筆者有幸多次參與本地區(qū)中考、縣區(qū)級學(xué)年末命題工作，深知命題工作的艱辛，一份優(yōu)秀試卷承載著諸多功能，不僅要達(dá)成測評的目標(biāo)均分要求，還需要對不同層次學(xué)生有效區(qū)分.特別是如何尊重學(xué)生個體差異更是命題工作中的一種挑戰(zhàn).我們在上面使用的3道形式各異的開放題也是想讓不同思維風(fēng)格的學(xué)生有較好的發(fā)揮.比如，開放題1的第（2）問兩種不同表征方式的設(shè)問，尊重了學(xué)生的個性差異，如果不能理解第①問、可以求解第②問，只要能答出，就說明學(xué)生對平方差公式已達(dá)到靈活運(yùn)用的層次，一樣能得到分?jǐn)?shù).我們通過這樣的設(shè)問，也是想發(fā)揮開放題的教學(xué)引領(lǐng)，讓我們的教學(xué)更加開放，例題呈現(xiàn)的方式更加豐富多樣，滿足不同學(xué)生的思維風(fēng)格，也讓優(yōu)秀學(xué)生感受到具有同一類結(jié)構(gòu)問題的“多元表征”.

2.提供選擇機(jī)會，開放的數(shù)學(xué)教學(xué)讓學(xué)生懂得取舍.

開放的數(shù)學(xué)教學(xué)如何走向開放，而不是低層次的一道例、習(xí)題有幾個答案或不同的解題路徑？重要的是給不同的學(xué)生提供選擇的機(jī)會，并且讓他們在不同的選擇機(jī)會面前，擁有“取舍”的智慧.吳非先生曾說：“有時，我也會想：教學(xué)，像長途跋涉，帶著一群兒童、少年，或是稚氣未脫的青年，往前走，有時停下休息，偶爾也會繞點(diǎn)兒路，甚至?xí)咤e路；雖然我可能熟悉這段路，但我每次帶著不同的人；他們最終要去不同的地方，我?guī)ьI(lǐng)他們，直到他們有勇氣踏上一段陌生的路，甚至去冒險.他們視我為同行者，抑或是智慧使徒，要在遙遠(yuǎn)的未來，當(dāng)他們回望人生之路時才能判斷.”筆者認(rèn)為，不同學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，不僅在限時應(yīng)答的考場，在課堂中對不同難度的問題，都要培養(yǎng)自己識別、研判問題難度的能力，并基于自己現(xiàn)場的能力所及，大膽取舍、有的放矢，逐一突破，再循序向上.從這個意義上說，北京十一學(xué)校將數(shù)學(xué)分為五級（數(shù)學(xué)1～5）給我們開放題設(shè)計與開放的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來更為現(xiàn)實(shí)的引領(lǐng).

3.“打開一扇窗”，開放的數(shù)學(xué)教學(xué)引領(lǐng)學(xué)生眺望遠(yuǎn)方.

作家南帆說“散文，應(yīng)該向四面八方打開.”教育學(xué)者楊九俊近年來力主“課堂，應(yīng)該向四面八方打開.”想到開放的數(shù)學(xué)教學(xué)中，也應(yīng)該幫助學(xué)生打開一扇窗，讓他們知道“天高任鳥飛”.從這個角度看，有些數(shù)學(xué)課堂中，就題講題，糾正答案、講解思路，一題講完接著講另一題，題目與題目之間缺少關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生在題海中掙扎，解題教學(xué)的品味不高，教學(xué)沒有走向必要的深度.像上文中的“開放題2”，高中數(shù)學(xué)教師認(rèn)為這類題很有意義，因?yàn)閷W(xué)生將來到高中還會“遇見”；而“開放題3”，學(xué)生在很快到來的九年級學(xué)習(xí)“圓”時就會再次“遇見”，如果學(xué)生“再遇”這類問題時，感受到這些問題都很熟悉，只是不同階段解決的工具、視角，理解的深刻度不一樣，那么開放的數(shù)學(xué)教學(xué)也就較好地發(fā)揮引領(lǐng)學(xué)生“眺望遠(yuǎn)方”的作用了.

1.鄭毓信.開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001（3）.

2.鄭毓信.再論開放題與開放式教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2002（6）.

3.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

4.課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心編著.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級上冊［M］.北京：人民教育出版社，2013.

5.吳非.課堂上究竟發(fā)生了什么［M］.北京：中國人民大學(xué)出版社，2015（6）.

6.楊九俊.學(xué)科育德不只在說教中［J］.中國德育，2011（11）.