☉江蘇江陰市敔山灣實驗學(xué)校 楊勇

全卷命制的一種追求：簡約深刻，前后呼應(yīng)
——以八年級（上）期末卷兩道把關(guān)題為例

☉江蘇江陰市敔山灣實驗學(xué)校 楊勇

命題基本功越來越得到數(shù)學(xué)教研同行的關(guān)注，因為關(guān)注命題能力的修煉，常常能加深對數(shù)學(xué)知識的深刻理解，對學(xué)情的理解，對教學(xué)的駕馭.而命題研究中不僅有某一道試題的命題改編或拓展，更有全卷命題中的藝術(shù)，全卷運算量的布點控制，全卷難易題的設(shè)計（如一波三折），全卷亮點題的擺放，全卷數(shù)學(xué)思想方法的兼顧考查，全卷圖形位置的排版，是否勻稱美觀有藝術(shù)感，等等，都是命題人需要苦心經(jīng)營的.近期我們關(guān)注到南通市通州區(qū)八年級上學(xué)期期末考卷在填空把關(guān)題、解答把關(guān)題處設(shè)計了答案形式上的前后呼應(yīng)，心生感嘆，整理成文，跟進賞析，供分享.

一、試題重現(xiàn)及思路突破

考題1：（八上期末卷，第18題）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=，BC=將邊AC沿CE翻折，使點A落在AB上的點D處，再將邊BC沿CF翻折，使點B落在CD的延長線上的點B′處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點E、F，則線段B′F的長為______.

圖1

思路簡述：首先想到運用勾股定理和面積法迅速求出AB=3，CE=，進一步在Rt△ACE中，由勾股定理可得AE=1，于是BE=2；由兩次翻折可確認(rèn)∠ECF=45°，在Rt△CEF中，EF=EC=；所以BF=2-，即B′F=2-

另解說明：連接DF，可證出△B′DF∽△BAC，利用相似比B′F∶BC=B′D∶AB，可求出B′F的長.

考題2：（八上期末卷，第28題）如圖2，點A（1，1）、B（2，0），點C是x軸的負(fù)半軸上一點，連接AC，作AD⊥AC交y軸于點D.

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）求證：OC2+OD2=2AD2；

（3）若DO平分∠ADC，求點D的坐標(biāo).

圖2

圖3

思路簡述：（1）如圖3，作AH⊥x軸于H.

由A（1，1），可得OH=AH=1.結(jié)合B（2，0），所以BH= OH=AH=1.在Rt△AHB中，∠ABH=∠HAB=45°.

（2）如圖4，連接OA.

由AH⊥OB，OH=BH，可得OA=AB，∠AOB=∠ABO= 45°，∠OAB=90°，∠DOA=45°，所以∠DOA=∠CBA.由∠DAC=∠OAB=90°，得∠DAO=∠CAB.則△DOA≌△CBA（ASA），所以AC=AD.由AD⊥AC，根據(jù)勾股定理AD2+AC2=DC2，則DC2=2AD2.在Rt△DOC中，OC2+OD2= 2AD2.

圖4

圖5

（3）首先是解讀強化條件“DO平分∠ADC”，結(jié)合∠ADC=45°，可得∠ODC=∠ADO=22.5°.又因為∠AOB=∠AOD=45°，所以∠DAO=180°-22.5°-45°=112.5°，所以∠CAO=∠OAD-∠CAD=22.5°，又∠AOB=∠ACO+∠CAO=45°，所以∠ACO=∠CAO=22.5°，于是得到一個重要的發(fā)現(xiàn)：OC=OA.這樣可以得出OA=AB=，所以O(shè)C=，CB=2+，結(jié)合（2）中△DOA≌△CBA，有OD=CB=2+.即點D的坐標(biāo)為（0，2+

解后反思：延長BA交y軸于E點，可以發(fā)現(xiàn)一個大的等腰直角三角形.△BOE中，OB=OE=2.再作AF⊥y軸于F點，可得一個正方形AFOH.于是AF=OF=OH=AH=1.結(jié)合OD平分∠ADC，可得∠ADE=22.5°，于是∠DAE=22.5°.所以DE=AE=AB=.這樣OD=2+

二、關(guān)于全卷命制的一些思考

1.控制題量、閱讀量，追求試題的簡潔呈現(xiàn).

當(dāng)前各級數(shù)學(xué)考試一個顯著的問題是題量大、時間緊.張奠宙教授在20年前就曾呼吁各級數(shù)學(xué)命題盡可能減題量、延長考試時間，然而從中考來看，數(shù)學(xué)試卷題數(shù)在28題左右的仍然是主流，數(shù)學(xué)整卷閱讀量也偏大，僅以字符數(shù)為例，單卷在3000字以下的試卷是很少的，多數(shù)中考卷的閱讀量字符數(shù)都達到或超過4000字.在上面給出的最后一道全卷把關(guān)題，我們注意到表述簡潔、思考深刻，又引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注了特殊三角形，考查學(xué)生構(gòu)造、發(fā)現(xiàn)特殊圖形的意識與能力.

2.把關(guān)題解法多樣，滿足不同思維風(fēng)格的學(xué)生.

每份考卷，為了區(qū)分不同層次學(xué)生，特別是鼓勵優(yōu)秀學(xué)生向上挑戰(zhàn)，激發(fā)優(yōu)秀學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，需要有必要的較難的把關(guān)題，而為了滿足不同思維風(fēng)格的學(xué)生解題的特點，上文中提供的兩道把關(guān)題的思路方法都不唯一，可以從不同的角度出發(fā)、貫通思路、實現(xiàn)問題解決.這對于全卷命制有很大的啟發(fā)，我們常?？吹接行┹^難試題，入口偏窄，思路單一，如果學(xué)生不能順利進入初始問題的解決，會影響后續(xù)第（2）（3）問的求解，從而使得一道大題的考查與評價功能大打折扣.

3.注意前后呼應(yīng)，讓數(shù)學(xué)題或解答關(guān)聯(lián)互動.

一道優(yōu)秀試題常常是各個小問之間的關(guān)聯(lián)互動，上下啟示與呼應(yīng)，這在上文中的考題2下面的3個小問得到了體現(xiàn)，第（1）問求45°啟示著第（2）問要構(gòu)造和發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形，而第（3）問可在之前的全等的基礎(chǔ)上將OD轉(zhuǎn)化為BC的長；或者如我們在回顧“深層結(jié)構(gòu)”時提到的思路，基于等腰直角三角形的念頭，構(gòu)圖、轉(zhuǎn)化.值得贊嘆的是，該卷同時安排這樣兩道把關(guān)題作為全卷填空、解答的最后一題，它們的答案分別是這是一種巧合亦或是苦心預(yù)設(shè)呢？我們更傾向于后者.

作為一種積極的實踐跟進，下面展示近期筆者改編的一道考題，也追求了不同小問之間的關(guān)聯(lián)與對應(yīng).

考題3：（改編自南通中考卷，原題是一道填空題）如圖6，△P1OA1、△P2A1A2是等腰直角三角形，點P1、P2在函數(shù)x＞0）的圖像上，斜邊OA1、A1A2都在x軸上.

（1）求點P1的坐標(biāo)；

（2）求點A1的坐標(biāo)；

（3）求點P2的坐標(biāo)；

（4）求點A2的坐標(biāo)；

圖6

圖7

命題意圖：原題是求第（4）問，我們增設(shè)了前面3個鋪墊式問題，促進學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)第（4）問的解答；而第（5）問的結(jié)構(gòu)如圖7，如果注意到△A1P1O的面積就是4，而A1P2∥OP1，此時P2就是符合要求的一個點Q，因為△OP1Q1與△OP1A1是同底等高的三角形；類似地，延長A1P1交y軸于B點，則△A1OB、△OBP1都是等腰直角三角形，且△OBP1的面積也是4，于是過點B作BQ2∥OP1交曲線于Q2，Q2為所求，只要聯(lián)立直線BQ2的解析式與曲線的解析式即可確定點Q2的坐標(biāo)；有趣的是點Q1、Q2的坐標(biāo)也具有橫縱坐標(biāo)“置換”的對應(yīng)關(guān)系.

三、寫在后面

全卷命制是一項高度專業(yè)的教學(xué)研究領(lǐng)域，值得每個命題愛好者深入修煉和努力精進.上文只是由通州區(qū)八上期末卷引發(fā)的一些思考，拋磚引玉，期待更多同行關(guān)注“全卷命制”這一話題.

1.鮑建生，顧冷沅等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1、2、3）.

2.鄭毓信.善于提問［J］.人民教育，2008（19）.

3.楊衛(wèi)東.客從何處來：一道幾何把關(guān)題的命制歷程［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（8）.

4.吳忠妙.一道考題的思路、難點與教學(xué)設(shè)計［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（9）.