☉江蘇鹽城市明達(dá)中學(xué) 朱學(xué)慧

考題回歸找尋規(guī)律

☉江蘇鹽城市明達(dá)中學(xué) 朱學(xué)慧

縱觀江蘇十三大市近幾年的中考題，有許多可圈可點(diǎn)的地方，而江蘇南京2014年的最后一題卻給我留下了深刻的印記，細(xì)細(xì)品味，仍然回味無窮.當(dāng)然，一道如此精彩的好題追根究底，必然能“回歸”為某一知識點(diǎn)，由復(fù)雜回歸簡單，由陌生回歸熟悉，從而體現(xiàn)所蘊(yùn)含的思想.本文就以此題為例與讀者交流其中的“回歸”.

一、原題呈現(xiàn)

【提出】

學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法后，可以繼續(xù)對“兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一條邊的對角分別相等”的情形進(jìn)行研究.

【思考】

在△ABC和△DEF中，AC=DF，CB=FE，∠B=∠E.隨后，可以對∠B進(jìn)行分類，分為“直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究.

【探究】

情況1：當(dāng)∠B為直角時(shí)，△ABC≌△DEF.

（1）如圖1，在△ABC和△DEF中，AC=DF，CB=FE，∠B=∠E=90°，根據(jù)_____，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.

圖1

情況2：當(dāng)∠B是鈍角時(shí)，△ABC≌△DEF.

（2）如圖2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，CB=FE，∠B=∠E，且∠B、∠E都是鈍角.求證：△ABC≌△DEF.

圖2

情況3：當(dāng)∠B是銳角時(shí)，△ABC和△DEF不一定全等.

（3）在△ABC和△DEF中，AC=DF，CB=FE，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角.請你用直尺與圓規(guī)在圖3中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等.（不寫作法，保留作圖痕跡）

圖3

（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接填寫結(jié)論：

在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是銳角，若_______，則△ABC≌△DEF.

分析：本題是學(xué)生在八年級學(xué)習(xí)第一章時(shí)，探索三角形全等的條件過程中遇到的疑惑的再研究，即“邊邊角”能否證明兩個(gè)三角形全等，是彌補(bǔ)課堂上師生“意猶未盡”的遺憾的體現(xiàn).此題從考查形式上看，填空、證明、作圖、探究均有，可謂讓不同的學(xué)生都能有得分的機(jī)會；從考查內(nèi)容上看，考查三角形全等的相關(guān)知識，是對數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一種檢驗(yàn)；從考查意義上看，要求教師在課堂上留給學(xué)生足夠的空間和時(shí)間研究問題，符合新課程的理念.本題第（1）問是最特殊的情形，從直角三角形引入，讓每一個(gè)學(xué)生都能入手；第（2）問是常規(guī)全等的證明，分別過點(diǎn)C、F作邊AB、DE的高，將鈍角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形，便可通過兩次全等證明將問題解決；第（3）問畫銳角三角形的反例圖，以合情推理為要求，有一定的思維價(jià)值；第（4）問以分析問題、解決問題為核心，綜合考查學(xué)生的思維能力及應(yīng)用意識，給人耳目一新的感覺.本題解法多樣、層次分明，研究價(jià)值高，探索味道濃，有較好的區(qū)分度和推廣價(jià)值，而且答案開放性高，兼顧不同層次的學(xué)生，是一道不可多得的好題.

二、題目“回歸”

可以說，這道壓軸題的產(chǎn)生并非偶然，學(xué)生在課堂上曾經(jīng)探索過三角形全等的條件，但教師在講解“兩邊一角”證明三角形全等時(shí)，往往只注重對“SAS”的講解，常忽視對“SSA”的深入研究，故學(xué)生只片面知道“SSA”不能證明全等，卻不了解在某些條件下“SSA”也能成立，上述壓軸題的產(chǎn)生就是課堂上需要深入探究但恰恰未探究的地方，即課堂上意猶未盡的問題.

筆者曾以“SSA”為載體，在中考一輪復(fù)習(xí)的時(shí)候，讓學(xué)生研究過下述問題，此題與2014年南京中考壓軸題有異曲同工之處：已知∠BAC=45°，AB=4，要使△ABC唯一確定，那么BC的長度需滿足的條件是_______.

觀察題目后易發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)A、B的位置是相對固定的，而點(diǎn)C的位置不確定，此題又要求在△ABC唯一確定時(shí)求BC的長度，故仔細(xì)分析后可轉(zhuǎn)化為另外兩種問法：

問法1：以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑作⊙B，當(dāng)⊙B與射線AC有唯一公共點(diǎn)C時(shí)（點(diǎn)C與點(diǎn)A不重合），求BC的長度.

問法2：在射線AC上存在一動(dòng)點(diǎn)C（點(diǎn)C與點(diǎn)A不重合），連接BC，使得BC為某一長度時(shí)不會存在兩個(gè)不全等的△ABC，求BC的長度.

圖4

圖5

圖6

圖7

評析：本題雖然為填空題，但讀懂題目卻并非易事，題目有一定難度，學(xué)生不能理解“唯一確定”這四個(gè)字的正確含義，若能攻克此問題，題目便能迎刃而解.事實(shí)上，該題可以理解成圓與射線只有一個(gè)交點(diǎn)的問題（如圖4～圖7），圓與射線只有一個(gè)交點(diǎn)便為圖5的相切或圖7的情形，圖6有2個(gè)交點(diǎn)，意味著△ABC不能唯一確定，即滿足“SSA”的兩個(gè)三角形不一定全等，但隨著角度的變化，答案也會隨之發(fā)生改變.

三、推廣研究

事實(shí)上，“回歸”題中的條件就是三角形的兩邊及一對角，通過研究學(xué)生已經(jīng)可以感受到“SSA”有可能存在成立的情形，如果能將題目再深入往下研究，就形成了2014年的中考題，便可將三角形全等的條件徹底掌握，從而題目也趨于完整.課堂上還可以研究這樣的問題：在△ABC中，∠ABC=30°，AB邊長為4，AC邊的長度可以在1、2、3、4、5中取值，滿足這些條件的互不全等的三角形的個(gè)數(shù)是_______.

題目還可以進(jìn)一步推廣：

推廣1：兩邊及其中一邊的對角分別相等的兩個(gè)銳角三角形一定全等嗎？如果成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

推廣2：兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個(gè)鈍角三角形一定全等嗎？如果成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

推廣3：兩個(gè)四邊形全等需要幾個(gè)條件？試舉例說明.

四、總結(jié)反思

中考，有反思教學(xué)和甄別人才的功能.現(xiàn)行教學(xué)過程中，存在著重技巧輕通性通法、重知識輕能力、重結(jié)果輕過程的現(xiàn)象.這些不良的教學(xué)現(xiàn)象嚴(yán)重遏制了學(xué)生能力的發(fā)展，讓學(xué)生缺乏自主探究的意識，所以教師要在教學(xué)前自己先多深入研究，尋找適合學(xué)生學(xué)習(xí)的資源，教學(xué)后再多反思，與學(xué)生共同挖掘題目背后的規(guī)律和本質(zhì)，讓學(xué)生知道，如何去思考和解決此類數(shù)學(xué)問題，這樣才能真正幫助學(xué)生，走一條行之有效的教學(xué)道路.所以筆者提倡在中考復(fù)習(xí)前，一定要善用中考題，因?yàn)橹锌碱}是專家們的心血之作，也代表了一個(gè)地區(qū)命題的風(fēng)格，多對中考題及變式進(jìn)行訓(xùn)練，對學(xué)生短期的提升很有幫助.

1.回歸課本，探尋本質(zhì).

細(xì)細(xì)研究近幾年的中考題，不難發(fā)現(xiàn)，許多題目源于課堂、源于課本、源于生活.故筆者建議教師在教學(xué)的過程中要重視課本的教學(xué)，以課本為載體，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間去弄懂概念，剖析概念的本質(zhì)，弄清概念的外延和內(nèi)涵，同時(shí)在學(xué)習(xí)的過程中，讓學(xué)生體會研究數(shù)學(xué)問題的步驟、思路和方法.中考前的復(fù)習(xí)，可以選擇合適的中考題作為上課的重點(diǎn)，貫徹一道題就是一節(jié)課的理念，深入研究，真正研究透徹.

2.類比研究，探尋規(guī)律.

波利亞對于解題有著自己獨(dú)到的見解，他曾說過：“類比是一個(gè)偉大的引路人.”上述例子，從中考題到回歸題，再到推廣問題，強(qiáng)化了學(xué)生對某知識的掌握情況，題組層層相扣，由易到難，讓學(xué)生對此類問題研究得更深刻、理解得更全面，達(dá)到啟發(fā)思維，做一題、會一類、通一片的效果，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的遷移，讓學(xué)生的思維能力有所提升，從而實(shí)現(xiàn)高效課堂，學(xué)生在中考中也能勝人一籌.