☉湖北秭歸縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李萍

“a為任意值時(shí)”的運(yùn)用方法與技巧

☉湖北秭歸縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李萍

受思維定式的影響，同學(xué)們?nèi)菀捉獯鹩嘘P(guān)常數(shù)或定值a的計(jì)算或證明題，但對(duì)于可以取任意值的a來(lái)說(shuō)，一些同學(xué)常常無(wú)從下手、不知所措.其實(shí)，題目中告訴a為任意值時(shí)，或者告訴a為一定范圍內(nèi)的任何值時(shí)，就等于告訴我們，此范圍中的a是可以取這個(gè)范圍中的每一個(gè)值的，或者說(shuō)對(duì)此范圍中的每一個(gè)值都成立.把握了這一點(diǎn)，解題就有明確的方向了.下面以常見(jiàn)的四種類(lèi)型為例加以說(shuō)明.

一、取特殊值法

例1求證：不論a為何值，一次函數(shù)（2a-1）x-（a+3）y-（a-11）=0的圖像恒過(guò)一定點(diǎn).

分析：解決以“不論a為何值或a為任意實(shí)數(shù)”為條件的問(wèn)題，可以取特殊值法.對(duì)于本題，可先取特殊值探求出定點(diǎn)，然后加以驗(yàn)證即可.

解：因?yàn)闂l件為不論a為何值，原一次函數(shù)的圖像都經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，所以我們不妨取a=0和a=1這兩個(gè)特殊值來(lái)解答.

當(dāng)x=2、y=3時(shí)，（2a-1）x-（a+3）y-（a-11）=2（2a-1）-3（a+3）-（a-11）=0成立.

所以不論a為何值，題中所給一次函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)（2，3）.

例2當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式都有意義的是（）.

分析與解答：本題中，通過(guò)取特殊值，可以很快作出正確選擇.比如，取a=0時(shí)，選擇支A和B都不成立，再取a= 0.1時(shí)，選擇支C不成立，但這兩個(gè)值都可以使D成立，所以，本題的答案應(yīng)該是D.取特殊值法是解答選擇題的一種常用方法.

例3若3x2+4y-10=0，則15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=_______.

分析：本題與例1和例2不同，對(duì)任意一個(gè)x的值，y都有一個(gè)唯一的值和它對(duì)應(yīng)，反之亦然.所以，選取特殊值時(shí)，必須使x和y同時(shí)滿(mǎn)足二元不定方程3x2+4y-10=0，但這個(gè)二元不定方程的解有無(wú)數(shù)組，所以，取滿(mǎn)足這個(gè)二元不定方程一組特殊值的原則是：要求代入所求的代數(shù)式中便于計(jì)算.

解：取二元不定方程3x2+4y-10=0的一組特殊的解代入待求式中，得15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-

二、整體代入法

對(duì)于例3，我們還可以利用整體代入法來(lái)解答.此題的常規(guī)解法是用因式分解的方法，湊出3x2+4y這個(gè)因式，利用3x2+4y-10=0得到3x2+4y=10，再整體代入求解.

解：15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=（15x3+20xy）+（3x2y+4y2）+（3x2+4y）-50x-10y=5x（3x2+4y）+y（3x2+4y）+（3x2+4y）-50x-10y=50x+10y+10-50x-10y=10；

或者15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=（3x2+4y-10）×（5x+y+1）+10=10.

從第二種解答過(guò)程可以看出，本題還可以通過(guò)將原代數(shù)式化成“3x2+4y-10”這個(gè)整體的形式來(lái)解答.

例4求證：a、b為任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2a2+4b2+8a-8b+15的值總是正數(shù).

分析：要使原代數(shù)式為正數(shù)，將原代數(shù)式化成幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和（即整體）的形式即可.

證明：2a2+4b2+8a-8b+15=2（a2+4a）+4（b2-2b）+15= 2（a2+4a+4）+4（b2-2b+1）+3=2（a+2）2+4（b-1）2+3.

由（a+2）2≥0，（b-1）2≥0，得2a2+4b2+8a-8b+15≥3＞0.則代數(shù)式2a2+4b2+8a-8b+15的值總是正數(shù).

三、分析推理法

例5設(shè)a為任意有理數(shù)，b為何值時(shí)有理系數(shù)方程2x2+（a+1）x-（3a2-4a+b）=0的根是有理數(shù)？

分析：2x2+（a+1）x-（3a2-4a+b）=0是一個(gè)一元二次方程，要使它的根為有理數(shù)，就必須使它的根的判別式是一個(gè)完全平方數(shù)，我們可以由此而分析推理得出想要的結(jié)果.

解：Δ=（a+1）2-4×2×［-（3a2-4a+b）］=a2+2a+1+24a2-32a+8b=25a2-30a+8b+1=（5a-3）2+8b-8.

因?yàn)楦怯欣頂?shù)，a為任意有理數(shù)，（5a-3）2是一個(gè)完全平方式，并且是一個(gè)隨a而變化的完全平方式，要使（5a-3）2+8b-8也為一個(gè)完全平方式，就只能是8b-8=0，由此求得b=1.

例6如圖1，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c中，b、c是非零常數(shù)，無(wú)論a為何值（0除外），其頂點(diǎn)M一定在直線(xiàn)y=kx+b上，這條直線(xiàn)和x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、A，且OA=OE.

（1）求k的值；

（2）求證：這條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A；

（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的另一條直線(xiàn)y=mx+n和這條拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M作x軸的平行線(xiàn)和直線(xiàn)y=mx+n交于點(diǎn)B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線(xiàn)和這條拋物線(xiàn)交于點(diǎn)C，和直線(xiàn)y=kx+b交于點(diǎn)D，探索CD和BC的數(shù)量關(guān)系.

分析：本題是一道代數(shù)綜合題，此類(lèi)題常常是各地中考中的壓軸題.如果我們的解題方法不得當(dāng)，就會(huì)因此浪費(fèi)時(shí)間并無(wú)法解答.但若掌握了方法、技巧，我們就可以快速解答并達(dá)到最好的效果.因?yàn)閍為任意值，我們不可能取到每一個(gè)值，所以就要分析a在題中的特殊作用，然后依據(jù)其特殊性推理出恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái).

解：（1）由這條直線(xiàn)和x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、A，且OA=OE，可知：

A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，b），E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-b，0）.

將A（0，b）、E（-b，0）代入y=kx+b，可得k=1.

化簡(jiǎn)得：（4c-4b）a=b2-2b.

因?yàn)閍為0以外的任何值時(shí)上述等式都成立，所以必有4c-4b=0和b2-2b=0同時(shí)成立.

則c=b=0（舍去）或c=b=2.

則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）.

則拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

另解：也可以取兩個(gè)特殊值得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入直線(xiàn)表達(dá)式y(tǒng)=kx+b，求出b、c的值.

解這個(gè)方程組，同樣可得到c=b=0（舍去）或c=b=2.

則A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）.

則拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A.

（3）由題意：方程mx+n=ax2+2x+2的判別式Δ=（2-m）2-4a（2-n）=0，且n=b，則（2-m）2=0，則m=2.

則BC=CD.

四、取一般值法

例7關(guān)于x、y的二元一次方程①：（a-1）x+（a+2）y+ 5-2a=0.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，得方程②；當(dāng)a=-2時(shí)，得方程③.求②③組成的方程組的解.

（2）將求得的解代入方程①的左邊，得到什么結(jié)果？由此可得什么結(jié)論？并驗(yàn)證你的結(jié)論.

分析與解答：讀者千萬(wàn)別小看了此題，第二問(wèn)基本上很多老師既不會(huì)寫(xiě)結(jié)論，也不會(huì)寫(xiě)驗(yàn)證方法.為了節(jié)約篇幅，下面邊分析邊解答.

（1）當(dāng)a=1時(shí)，得方程②：3y+3=0.

當(dāng)a=-2時(shí)，得方程③：-3x+9=0.

（2）將x=3、y=-1代入方程①的左邊，得3（a-1）-（a+ 2）+5-2a=3a-3-a-2+5-2a=（3a-a-2a）+（-3-2+5）=0.

至此，學(xué)生的解答結(jié)束了.但（2）中還有兩個(gè)“？”和一個(gè)“驗(yàn)證”沒(méi)解決，而第二個(gè)“？”和一個(gè)“驗(yàn)證”讓很多老師也為難了，這里先解決兩個(gè)“？”.

第一個(gè)“？”：得到①式左邊的值為0；

第二個(gè)“？”：取a為任意兩個(gè)不同的值代入①中，得到兩個(gè)二元一次方程，這兩個(gè)方程的公共解一定是

“驗(yàn)證”對(duì)師生來(lái)說(shuō)難度就更大了，但題目給學(xué)生提供了思考問(wèn)題的方法，取特殊值法，驗(yàn)證的時(shí)候則需要反過(guò)來(lái)，即要一般化，此問(wèn)實(shí)際上就是從特殊到一般的探究.驗(yàn)證過(guò)程如下：

取a=m代入①，得方程④：（m-1）x+（m+2）y+5-2m= 0.

再取a=n（n≠m）代入①，得方程⑤：（n-1）x+（n+2）y+ 5-2n=0.

④-⑤，得（m-n）x+（m-n）y-2m+2n=0.

即（m-n）x+（m-n）y=2（m-n）.

因?yàn)閙≠n，所以得⑥：x+y=2.

以上四種方法，給出了“a為任意值”題型解題的一般方法與技巧，希望讀者好好體會(huì)其中之真諦.