例談平面幾何知識(shí)在圓錐曲線中的應(yīng)用

☉江蘇省常熟滸浦高級(jí)中學(xué) 李艷華

解析幾何是代數(shù)與幾何的完美結(jié)合，圓錐曲線問題一般兼有深刻的幾何背景和靈活多變的代數(shù)結(jié)構(gòu)，這類問題經(jīng)常困擾著學(xué)生.既然有些圓錐曲線問題有一定的幾何背景，那么平面幾何的常規(guī)方法在解決這類問題的過程中能不能起到一定的輔助作用呢？回答是肯定的.我們?cè)谑褂么鷶?shù)方法研究曲線性質(zhì)的同時(shí)，可以輔以平面幾何的方法，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合.

本文主要想展示平面幾何方法在解決圓錐曲線的各類問題中的應(yīng)用，其輔助功能可以體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面.

一、解決距離和的最值問題

例1已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則|QF|=（）.

分析：此題可以用代數(shù)方法解決.

本題也可以利用拋物線的定義巧妙地利用三角形相似來做，這應(yīng)該也是出題者的用意所在.

解法二：如圖1，過Q點(diǎn)向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為H，設(shè)|QF|的長(zhǎng)度為x.由拋物線的定義知，|QH|=|QF|=m，，F(xiàn)G=4，利用△PHQ～△PGF，得到，所以m=3.

圖1

二、解決切線斜率問題

例2已知點(diǎn)A（-2，3）在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線BF的斜率為（）.

圖2

解析：如圖2，過B作準(zhǔn)線的垂線BD，D為垂足，AB為拋物線的切線.由拋物線的光學(xué)性質(zhì)知，∠DBA=∠FBA，又|BF|=|BD|，

所以△BFA≌△BDA，

所以BF⊥AF，F(xiàn)（2，0），

點(diǎn)評(píng)：在解決圓錐曲線的客觀題中，偶爾使用圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)也可以收到比較好的效果.

圖3

三、解決面積問題

例3如圖3，已知兩條拋物線E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），過原點(diǎn)O的兩條直線l1和l2，l1與E1，E2分別交于A1，A2兩點(diǎn)，l2與E1，E2分別交于B1，B2兩點(diǎn).

（1）證明：A1B1∥A2B2；

（2）過原點(diǎn)O作直線l（異于

l1，l2）與E1，E2分別交于C1，C2兩點(diǎn)，記△的面積分別為與，求的值.

解析：試題所給的參考答案中對(duì)此題的解決也是利用了幾何方法，筆者給出進(jìn)一步的優(yōu)化方法.

（1）證明：由A1，A2，B1，B2向x軸作垂線，垂足為A3， A4，B3，B4，如圖4所示，要證A1B1∥A2B2，只需證B1B3，B2B4表示的是A1，A2，B1，B2點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，故只需聯(lián)立直線與拋物線求出交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可.

設(shè)直線l1，l2的方程分別為y= k1x，y=k2x，與拋物線方程聯(lián)立可得A1，A2，B1，B2點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值分別為

所以A1B1∥A2B2.

（2）如圖5，由第（1）問知，A1B1∥A2B2，同理可以得到A1C1∥A2C2，B1C1∥B2C2，故△A1B1C1～△A2B2C2，故

在本題的解決中，第（1）問利用了相似三角形的轉(zhuǎn)化來證明平行，相對(duì)于利用向量共線或是斜率相等來證明,計(jì)算量減少了；第（2）問通過邊平行來證明相似，利用了空間中的等角定理.此題在出題時(shí)少了純粹的代數(shù)計(jì)算，加深了幾何分析的過程，符合高考更注重對(duì)學(xué)生思維考查的命題趨勢(shì).

圖5

四、解決與圓有關(guān)的問題

圖6

（1）求橢圓C的方程；

（2）過左焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)P，設(shè)，試證λ+μ為定值，并求出此定值.

本題筆者在講授時(shí)仍然采用常規(guī)的方法，方法如下：

解：（1）由四邊形F1B1F2B2的內(nèi)切圓半徑為用等面積法可以得到

（2）根據(jù)已知條件可設(shè)直線MN的方程為y=k（x+1），代入橢圓方程，整理得

（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0.

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則

所以λ+μ=0為定值.

對(duì)于第（2）問，有的學(xué)生就提出疑問：相關(guān)點(diǎn)均位于直線l上，能不能構(gòu)造三角形利用相似邊成比例來進(jìn)行求解.筆者便鼓勵(lì)他們做下去，學(xué)生1便作出了下面的圖7，但接著就不知該如何進(jìn)行下去了，筆者提示他兩點(diǎn)：①既然想通過三角形相似來找λ，μ的關(guān)系，這里面可以用哪一個(gè)比例關(guān)系？②能不能通過題目中的向量關(guān)系式，把各條邊均用同一個(gè)參數(shù)來表示？

圖7

學(xué)生在我的提示之下，給出了下面的解法：

第（2）問解法二：如圖7所示，x=-4為橢圓的準(zhǔn)線，過M、N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為Q、R，不妨設(shè)MF1=m，（μ＜0），得.由橢圓的第二定義知，MQ=2m帶入可得λ+μ=0.題目得證.

初中數(shù)學(xué)中的幾何與高中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)不應(yīng)該是相互割裂的狀態(tài)，教師如果能夠適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生，可以讓學(xué)生的解題思路更為寬廣，從而會(huì)有意想不到的收獲.某些圓錐曲線問題使用平面幾何方法處理以后，有的可以使圓錐曲線的定義得到靈活應(yīng)用，有的可以利用圓錐曲線本身的幾何性質(zhì)簡(jiǎn)化過程，有的可以直接深入到幾何本質(zhì)，有的可以通過幾何途徑將問題作有效轉(zhuǎn)化，總之幾何方法使用得當(dāng)就可以避開繁難的代數(shù)運(yùn)算，使數(shù)與形完美結(jié)合，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，抽象問題具體化，從而使問題得到有效解決.