例談高中數(shù)學(xué)中的定點(diǎn)問題研究

☉江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級中學(xué) 鮮黎

“定點(diǎn)”問題是解析幾何試題中常見的一類題型，在近幾年的高考或模擬試題中頻繁出現(xiàn)，因?yàn)檫@類題型不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)文化美，而且體現(xiàn)了哲學(xué)中動與靜的辯證統(tǒng)一的關(guān)系，所以備受命題專家的青睞.下面筆者結(jié)合平時的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬@類定點(diǎn)問題的研究.

一、直線與圓的一類定點(diǎn)問題探究

高中數(shù)學(xué)直線方程和圓方程中有一類涉及定點(diǎn)和定值的問題.這類問題中一般都有變量或動點(diǎn)，但最終的數(shù)值或點(diǎn)卻是一定的.解決這類問題，一般都用方程思想探得定值或定點(diǎn)，利用等式恒等的性質(zhì)，可求出定點(diǎn)、定值.

例1如圖1，已知圓M：x2+（y-2）2=1，Q是x軸上的動點(diǎn)，QA，QB分別切圓M于A，B兩點(diǎn).求證：直線AB恒過定點(diǎn).

證法1：如圖1，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，0），

圖1

x1x+（y1-2）y-2y1+3=0.同理x2x+（y2-2）y-2y2+3=0.

把Q（x0，0）代入上面兩式得到x1x0-2y1+3=0，x2x0-2y2+ 3=0，

所以A（x1，y1），B（x2，y2）同時滿足直線方程xx0-2y+ 3=0，即直線AB方程為xx0-2y+3=0，由x0的任意性得到定

證法2：設(shè)Q（x0，0），以MQ為直徑的圓（x-0）（x-x0）+（y-2）（y-0）=0，即x2+y2-x0x-2y=0.圓M：x2+（y-2）2=1，即x2+y2-4y+3=0，兩圓相減得到公共弦所在的直線方程x0x-2y+3=0，由的任意性得到定點(diǎn)（0，）.

圖2

證法3：直線AB也可以看成是以Q為圓心，MA或QB為半徑的圓，和圓M的公共弦，證法如證法2.

變題1如例1中的圓M交y軸從上而下于C，D，如圖2，連接QC，QD交圓M于A，B，證明：直線AB經(jīng)過定點(diǎn).

證明：設(shè)Q（x0，0），C（0，3），D（0，1）.

又因?yàn)镼關(guān)于原點(diǎn)的對稱性，這個定點(diǎn)一定在y軸上，令x=0，得到

變題2若把圓M改為x2+（y-2）2=r2（0＜r＜2）.

（1）例1的定點(diǎn)又是什么？有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）若把圓M改為x2+（y-b）2=r（20＜r＜b）呢？

11111

把Q（x0，0）代入上面直線方程得到x0x1-2y1-r2+4=0.

同理可以得到x0x2-2y2-r2+4=0.

所以A（x1，y1），B（x2，y）2同時滿足直線方程x0x-2yr2+4=0.

由x0的任意性知

11111

把Q（x0，0）代入得到x0x1-by1-r2+b2=0.

同理可以得到x0x2-by2-r2+b2=0.

所以A（x1，y1），B（x2，y2）同時滿足直線方程x0x-byr2+b2=0.

由x0的任意性知，

二、拋物線定點(diǎn)問題

當(dāng)拋物線的弦所在直線過定點(diǎn)時，拋物線對稱軸上一點(diǎn)與弦的兩個端點(diǎn)形成的直線斜率或夾角平分有一定的定點(diǎn)性質(zhì)，另外，在拋物線中還有其他幾條定點(diǎn)問題，現(xiàn)例舉說明幾條結(jié)論.

結(jié)論1拋物線C：y2=2px與直線y=k（x-m）交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則k·k=-

OAOB

證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則

逆命題1拋物線C：y2=2px上兩動點(diǎn)A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若·k=-，則直線AB過定點(diǎn)（m，0）.OB

結(jié)論2拋物線C：y2=2px與直線y=k（x-m）（其中m＞0）交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)E（-m，0），則∠AEB的平分線是x軸.

圖3

12120，代入（*）得直線AE，BE的傾斜角互補(bǔ)，結(jié)合圖3知，∠AEB的平分線是x軸.

逆命題2已知點(diǎn)E（-m，0）（其中m＞0），拋物線C：y2=2px上兩動點(diǎn)A，B，若∠AEB的平分線是x軸，則直線AB過定點(diǎn)（m，0）.

結(jié)論3拋物線C：y2=2px與直線y=k（x-m）（其中m＜0）交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)E（-m，0），則∠AEB的平分線平行于y軸.

圖4

12120，代入（*）得直線AE，BE的傾斜角互補(bǔ)，結(jié)合圖4知，∠AEB的平分線平行于y軸.

逆命題3已知點(diǎn)E（m，0）（其中m＞0），拋物線C：y2= 2px上兩動點(diǎn)A，B，若∠AEB的平分線平行于y軸，則直線直線AB過定點(diǎn)（-m，0）.

三、圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是近幾年高考中的熱點(diǎn)，題型變化多端，靈活新穎.現(xiàn)舉例說明圓錐曲線中定點(diǎn)問題的解題策略.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過雙曲線C的右焦點(diǎn)F作直線與雙曲線左，右兩支分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)B在直線x＝上的射影是D，求證：直線AD過定點(diǎn).

圖5

解：（1）雙曲線方程為x2-＝1（過程略）.

（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）＝0，Δ＝36（k2+1）＞0恒成立.

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則D

x1x2＝①設(shè)直線AD與x軸交于點(diǎn)M（t，0），只要證明t為常數(shù)即可.

證法1其思路很自然.亮點(diǎn)在于，根據(jù)雙曲線C關(guān)于x軸對稱，預(yù)設(shè)定點(diǎn)在x軸上，即D（t，0）.先將t表示為x1，y1，x2，y2的關(guān)系式；再消y1，y2轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1，x2的關(guān)系式；最后再消x1，x2轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的關(guān)系式，化簡得結(jié)果，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想.避免了復(fù)雜思路：將AD的方程設(shè)為y-變形得形如方程y-y0＝f（k）（x-x0），從而直線AD過定點(diǎn)（x0，y0）.

證法2，體現(xiàn)了整體消參的思想，計算過程明顯簡單.

下推廣：

類比雙曲線，可得橢圓與拋物線相關(guān)結(jié)論：

圖6

結(jié)論3如圖6，過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為D，則直線AD必過拋物線頂點(diǎn)（定點(diǎn)）.（證明略）

幾種圓錐曲線概念具有共生性，性質(zhì)也有統(tǒng)一性，通過舉一反三還可發(fā)現(xiàn)更多結(jié)論，如以上變式等.