例談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

☉江蘇省常熟中學(xué) 曹正清

數(shù)形結(jié)合思想指的是通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性）的方式，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言聯(lián)系起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結(jié)合起來分析，力求在代數(shù)與幾何的交匯點處尋求解題思路，進而解決問題的一種數(shù)學(xué)思想.本文以舉例的形式分類探索數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

一、數(shù)形結(jié)合思想在“函數(shù)的零點”中的應(yīng)用

近年來高考對“函數(shù)的零點”內(nèi)容的考查比較穩(wěn)定，大都需要結(jié)合圖像，數(shù)形結(jié)合地解決問題，因此我們有必要讓學(xué)生發(fā)揮函數(shù)圖像的作用，以形示數(shù)，數(shù)形結(jié)合，解決有關(guān)方程根的個數(shù)問題.

例1若關(guān)于x的不等式（2x-1）2＜ax2的解集中的整數(shù)恰好有3個，則實數(shù)a取值范圍是_______.

分析：對不等式（2x-1）2＜ax2的理解：①化歸為不等式，但需要討論變量x和參數(shù)a的范圍；②化歸為基本函數(shù)，利用函數(shù)圖像處理問題.下面利用數(shù)形結(jié)合，用基本函數(shù)圖像研究解的個數(shù).

方法1：設(shè)f（x）=（2x-1）2，g（x）=ax2.

當(dāng)a=0時，y=g（x）表示x軸，舍去.

當(dāng)a＜0時，y=g（x）表示開口向下，對稱軸為y軸的二次函數(shù)圖像，舍去.

當(dāng)a＞0時，y=g（x）表示開口向上，對稱軸為y軸的二次函數(shù)圖像，由ax2＞（2x-1）2，得g（x）＞f（x），即恰有3個整數(shù)x值，使得g（x）的圖像在f（x）圖像的上方，

圖1

方法2：研究不等式ax2＞（2x-1）2.

當(dāng)x=0時，不滿足舍去；

圖2

方法3：研究不等式ax2＞（2x-1）2，

當(dāng)x=0時，不滿足舍去；

圖3

方法4：研究不等式ax2＞（2x-1）2，由題意可知，a＞0.

當(dāng)x=0時，不滿足舍去；

對于幾何法更要通過化歸轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)，并利用函數(shù)圖像解決問題.在方法1～4中，化歸程度層層遞進，化歸得越徹底，得到的基本函數(shù)圖像越容易，解答也就越簡單.函數(shù)不斷等價轉(zhuǎn)化的過程，正是數(shù)學(xué)思維力的體現(xiàn).

圖4

二、數(shù)形結(jié)合思想在“不等式”中的應(yīng)用

近年的高考強調(diào)考查不等式基礎(chǔ)知識的同時也很注重數(shù)學(xué)能力的考查和數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，其中數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用不可忽視.所以在不等式的教學(xué)或復(fù)習(xí)中要有意識注意數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透.

例2設(shè)f（x）和g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0且g（-3）= 0，求不等式f（x）g（x）＜0的解集.

解：根據(jù)以上特點，不妨構(gòu)造F（x）=f（x）g（x），符合題意的函數(shù)F（x）=f（x）g（x）的圖像（如圖5所示），

由圖直接觀察出所求解集是（-∞，-3）∪（0，3）.

圖5

三、數(shù)形結(jié)合思想在“線性規(guī)劃”中的應(yīng)用

線性規(guī)劃問題是在約束條件下求目標(biāo)函數(shù)的最值問題，從圖形上找思路恰好就體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.運用數(shù)形結(jié)合思想考查化歸轉(zhuǎn)化能力、邏輯思維能力，是函數(shù)教學(xué)中的一項重要內(nèi)容.

圖6

圖7

圖8

四、數(shù)形結(jié)合法在解三角形中的運用

例4設(shè)（fx）=sinxcosx-cos2（x+）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若f）=0，a=1，求△ABC面積的最大值.解：（1）略.（2）由題意，sinA=，a=1，A=，且△ABC的外接圓直徑為a=2. sinA

如圖9，取BC=1，其中A1C，A2B為外接圓直徑，據(jù)題意頂點A在（不包括端點）上運動.

圖9

本題的參考答案是根據(jù)余弦定理及基本不等式求出bc的最大值，最后利用面積公式求其最值，方法常規(guī).但本題若選擇采用以上圖解法思考，會大大簡化運算過程并且提高正確率.

五、數(shù)形結(jié)合思想在“點到直線的距離公式”中的應(yīng)用

例5已知P是直線3x+4y+8=0上的動點，PA，PB是x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值.

本題直接求解較難，若能聯(lián)想點到直線的距離公式，數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)，則更簡潔.

圖10

六、數(shù)形結(jié)合思想在“解析幾何”中的應(yīng)用

例6已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標(biāo)為______.

解：點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時，點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線的準(zhǔn)線的距離之和也取得最小值，這樣就可以把點P到拋物線的焦點的距離轉(zhuǎn)為到準(zhǔn)線的距離求出.點Q（2，-1）在拋物線y2=4x的內(nèi)部，要使點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值，根據(jù)拋物線的定義知，須使點P到點Q（2，-1）的距離與點P到拋物線準(zhǔn)線距離之和取得最小，即PQ⊥準(zhǔn)線l時最小，如圖11，則P.拋物線的定義是到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離，做題時常常用定義進行轉(zhuǎn)化.

圖11

七、數(shù)形結(jié)合思想在“三角函數(shù)”中的應(yīng)用

在教材中利用單位圓的有向線段表示角的正弦線、余弦線、正切線，并利用三角函數(shù)線可作出對應(yīng)三角函數(shù)的圖像.如果能利用單位圓中的有向線段表示三角函數(shù)線，應(yīng)用它解決三角不等式問題，簡便易行.

例7解不等式|cosx|＞|sinx|，x∈［0，2π］.

從不等式的兩邊表達式我們可以看成兩個函數(shù)y1= |cosx|，y2=|sinx|，在［0，2π］上作出它們的圖像，得到四個不同的交點，橫坐標(biāo)分別為：，而當(dāng)x在區(qū)間）內(nèi)時，y=|cosx|的圖1像都在y2=|sinx|的圖像上方.所以可得到原不等式的解集為：

圖12

八、數(shù)形結(jié)合思想在平面向量中的運用

平面向量，它具有“代數(shù)形式”和“幾何形式”的雙重身份，因此在解平面向量的相關(guān)題目的時候務(wù)必想到數(shù)形結(jié)合的方法，構(gòu)造出符合題意的圖形，具體問題具體分析.

例8已知點A，B，C在圓x2+y2=1上運動，且AB⊥BC.若點P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為_____.

解：如圖13，因為點A，B，C在單位圓x2+y2=1上，AB⊥BC，所以AC是直徑

圖13

本題以單位圓為載體，考查平面向量及最值的求解，構(gòu)造出符合題意的圖13是解決該題的關(guān)鍵.本題還可以用三角函數(shù)換元來做，但不如數(shù)形結(jié)合法來得輕松.

數(shù)形結(jié)合思想說到底就是要求學(xué)生體會不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，加強對知識的綜合運用，能夠把所學(xué)的知識融會貫通，其目的不單單是追求解題技巧，而是更加關(guān)注學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)悟，讓學(xué)生的思維更加廣闊，解題更加富有靈活性.這也是筆者寫本文的目的.