紅蓮與白藕，原來是一家
———對源于教材的兩道高考題的研究與思考

☉河北省昌黎第一中學(xué) 田衛(wèi)東

眾所周知，數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心教學(xué)材料，它是幾代數(shù)學(xué)工作者智慧的結(jié)晶，不僅具備完整的知識體系，更有強(qiáng)大的權(quán)威性，同時(shí)也是教師實(shí)施教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料.命題者在命制試題時(shí)，都會對教材予以高度關(guān)注，高考的部分試題便是從教材中選取優(yōu)秀例題或習(xí)題進(jìn)行加工、改造而成.筆者經(jīng)歷了2013和2016兩年的高三復(fù)習(xí)與高考，巧合的是在這兩年的全國新課標(biāo)卷Ⅰ的數(shù)學(xué)試題中，出現(xiàn)了兩道非常相似的題目，更重要的是，它們均來自于人教社的新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教材.現(xiàn)將這兩道題以及對它們進(jìn)行的簡單變化呈獻(xiàn)給讀者，以引起廣大教師和學(xué)生的注意，在平時(shí)的教學(xué)和高三的復(fù)習(xí)過程中，一定要重視教材，尤其要重視對教材中經(jīng)典題目的深入研究，避免陷入“題?！敝卸荒茏园?

一、兩道試題與教材習(xí)題的比較

（1）已知圓M：（x+1）2+y2=1，圓N：（x-1）2+y2=9，動圓與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C，求C的方程.（2013年全國新課標(biāo)卷Ⅰ第20題）

（2）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E，證明：|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程.（2016年全國新課標(biāo)卷Ⅰ第20題）

解答過程如下：

解：（1）如圖1，設(shè)圓P的半徑為R，圓M與圓N的半徑分別為r1，r2，因?yàn)閳AP與圓M外切且與圓N內(nèi)切，所以|PM|+|PN|=（r1+R）+（r2-R）=r1+r2=4，由橢圓的定義可知，曲線C是以M、N為左、右焦點(diǎn)，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓（左頂點(diǎn)除外），其方程為+=1（x≠-2）.

圖1

圖2

（2）如圖2，因?yàn)锳D=AC，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以|EB|=|ED|，所以|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.因?yàn)閳AA的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+1）2+y2=16，所以|AD|=4，所以|EA|+|EB|=4.

由題意知，A（-1，0），B（1，0），|AB|=2，根據(jù)橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為+=1（y≠0）.

再給出普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-1中第50頁B組題的第2題及第49頁A組題的第7題：

（3）一個動圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+ y2-6x-91=0內(nèi)切，求動圓的圓心軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線（.答案為+=1，它是以（-3，0）和（3，0）為焦點(diǎn)的橢圓）

（4）如圖3，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是什么？為什么？

圖3

簡解（4）：因?yàn)閘是線段AP的垂直平分線，所以PQ= AQ，所以QO+QA=QO+QP=OP=r.根據(jù)橢圓的定義可知，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)、A為焦點(diǎn)，長軸長為r的橢圓.

不言而喻，其中的關(guān)系已經(jīng)非常明顯，第（1）題是在第（3）題的基礎(chǔ)上，將兩個定圓內(nèi)含改為了內(nèi)切，同時(shí)改變了另外的一些數(shù)據(jù)，但題目的本質(zhì)并沒有發(fā)生任何變化；第（2）題則是在第（4）題的基礎(chǔ)上編制而來的.

二、兩道試題原是“一家人”

我們看第（3）題，如圖4，其解答過程與第（1）題相同.若將題中條件適當(dāng)改變，則可以得到：

變化1將圓M改為點(diǎn)M，則問題變成圓P經(jīng)過定點(diǎn)M，且與圓N相內(nèi)切，求圓心P的軌跡.

圖4

圖5

簡解：如圖5，|PM|+|PN|=r=10，則點(diǎn)P的軌跡是以M、 N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為

變化2在變化1中，延長至切點(diǎn)Q，連接MQ，則點(diǎn)P在線段MQ的垂直平分線上，如圖6.改變一下敘述方式，即圓N的半徑為r，M是圓N內(nèi)不同于N的一個定點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓N上的任意一點(diǎn)，線段MQ的垂直平分線l和半徑NQ相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡.此題即成為了第（4）題.

簡解：因?yàn)橹本€l是線段MQ的垂直平分線，所以| PM|=|PQ|，所以|PM|+|PN|=|PQ|+|PN|=r=10，所以點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為

圖6

變化3在變化2中，如圖7，將QM延長交圓N于點(diǎn)E，連接EN，過M作EN的平行線交NQ于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡.這就是2016年全國新課標(biāo)Ⅰ卷第20題的第（1）問.

簡解：因?yàn)閨NE|=|NQ|，EN//MP，所以∠QEN=∠EQN=∠QMP，所以|PM|=|PQ|，所以|PM|+|PN|=|PQ|+|PN|=r=10，所以點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓（去掉長軸端點(diǎn)）.

事實(shí)上，無論哪種變化，其本質(zhì)都是考查對平面內(nèi)動點(diǎn)與兩個定點(diǎn)距離之和為常數(shù)的深刻理解，只不過都是以圓為載體，借助圓心為定點(diǎn)和半徑為定值這兩個條件，通過平面幾何的有關(guān)定理及推論，而達(dá)到利用橢圓的定義探究動點(diǎn)軌跡的目的.從這個角度來說，它們的確是“一家人”.稍作改動，還可以得到以下題目：

變式已知圓O的方程為x2+y2=4，點(diǎn)A（，0），以線段AB為直徑的圓內(nèi)切于圓O，求動點(diǎn)B的軌跡方程.

三、它們還有“兄弟姊妹”

接下來，我們再看這樣一道題：

（5）如圖8，與兩圓x2+ y2=1及x2+y2-8x+12=0都外切的圓的圓心在（）.

A.一個橢圓上

B.雙曲線的一支上

C.一條拋物線上

D.一個圓上

圖8

這是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-1第80頁的復(fù)習(xí)參考題A組第3題的第（2）題.

該題目的解法如下：圓x2+y2=1的圓心為F1（0，0），圓x2+y2-8x+12=0的圓心為F2（4，0），動圓的圓心為M，半徑為r，則|MF1|=r+1，|MF2|=r+2，故|MF2|-|MF1|=1，結(jié)合雙曲線的定義可知，所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的左支，故正確答案為B.

將此題的條件稍作改變，即可得到：

變化1將題中的與兩圓都外切改為都內(nèi)切，即圓M與圓F1和圓F2都內(nèi)切，試確定圓心M的軌跡.

簡解：設(shè)動圓的圓心為M，半徑為r，則|MF1|=r-1，|MF2|=r-2，則|MF1|-|MF2|=1.由雙曲線的定義可知，所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的右支.

由此可見，將第（5）題中的動圓與兩定圓都外切改為動圓與兩定圓都相切，則動圓圓心的軌跡即為完整的雙曲線.

變化2將圓F1改為點(diǎn)F1，則問題變?yōu)閳AM經(jīng)過定點(diǎn)F1，且與圓F2相外切，試確定圓心M的軌跡.

簡解：設(shè)動圓的圓心為M，半徑為r，則|MF2|-|MF1|=r+2-r=2.由雙曲線的定義可知，所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的左支.

說明：若將此題中的外切改為內(nèi)切，即可得到該雙曲線的右支.

變化3在變化2中將圓M與圓F2的切點(diǎn)記為P，題目可敘述為：P是圓F2上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1是圓外的一個定點(diǎn)，線段PF1的垂直平分線l和直線PF2相交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡.此問題即為《數(shù)學(xué)》選修2-1第62頁的A組第5題.

簡解：如圖9，因?yàn)橹本€l是線段PF1的垂直平分線，所以|MF1|=|MP|，所以|MF2|-|MF1|=|MF2|-|MP|=2，所以點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的左支.

說明：①當(dāng)線段PF1與圓相切時(shí)，則有l(wèi)∥PF2，所以點(diǎn)M不存在；②設(shè)直線PF1與圓相切時(shí)的切點(diǎn)分別為P1、P2，當(dāng)點(diǎn)P在P1、P2之間的優(yōu)弧上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支.

變化4在變化3的基礎(chǔ)上，我們還可以這樣改動：P是圓F2上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1是圓外的一個定點(diǎn)，直線PF1與圓F2交于點(diǎn)E，連結(jié)EF2，過點(diǎn)F1作F1M//F2E與直線MF2交于點(diǎn)M，試確定M的軌跡.

圖9

圖10

簡解：如圖10，因?yàn)閨PF2|=|EF2|且F1M//F2E，所以∠F2EP=∠EPF2=∠MPF1=∠MF1P，所以|MF1|=|MP|，所以|MF2|-|MF1|=|MF2|-|MP|=|PF2|=2，所以點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的左支（去掉頂點(diǎn)）.

說明：①當(dāng)線段PF1與圓相切時(shí)，點(diǎn)M不存在；②設(shè)線段PF1與圓相切時(shí)的切點(diǎn)分別為P1，P2，當(dāng)點(diǎn)P在P1，P2之間的優(yōu)弧上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）.

變化5將圓F1改為點(diǎn)F1，將圓F2視為一條與x軸垂直的直線，于是可以得到以下問題：已知F1是直線l外的一個定點(diǎn)，圓M經(jīng)過點(diǎn)F1且與直線l相切，試確定圓心M的軌跡.

簡解：設(shè)圓M與直線l的切點(diǎn)為N，則|MF1|=|MN|，所以點(diǎn)M的軌跡是以M為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線.

如此看來，通過圓與圓的位置關(guān)系，以及對它們進(jìn)行的各種變化，不僅可以得到動點(diǎn)的軌跡是橢圓，也可以是雙曲線、拋物線，三種曲線通過這種方式又聚到了一起，可謂“不是一家人，不進(jìn)一家門”.

變式已知圓O的方程為x2+y2=1，點(diǎn)A（，0），以線段AB為直徑的圓C與圓O相切，求動點(diǎn)B的軌跡方程.

四、一點(diǎn)啟示與思考

對于第（1）題本文并未展開深入的討論，如果將所給的兩個定圓按照相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含這五種位置關(guān)系，利用動圓與定圓的內(nèi)切或外切，我們可以得到各種有關(guān)橢圓與雙曲線的軌跡，在此不再贅述，有興趣的讀者可以自行研討.本文的主要目的在于呼吁和提醒努力拼搏在高三前線的的廣大師生，教材是我們的學(xué)習(xí)之本，其中有非常多的經(jīng)典好題，我們在復(fù)習(xí)過程中應(yīng)該重視對它們的整理和研究，結(jié)合歷屆高考試題，也許我們可以找到一些高考命題的規(guī)律或思路，同時(shí)也可以對教材中的重點(diǎn)知識有更深刻的理解和感悟.本文中的各種變化充分地反映了對橢圓、雙曲線、拋物線定義的深入理解，這些問題的解決也相當(dāng)于完成了這三種圓錐曲線定義的復(fù)習(xí)，這樣的學(xué)習(xí)或者復(fù)習(xí)方式會使得我們對這幾種圓錐曲線的辯證統(tǒng)一有更加深入的認(rèn)識，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維和思考探究、解決問題的能力，可謂一舉數(shù)得.作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生走出題海，認(rèn)真鉆研教材，改變目前在教學(xué)中普遍存在的重資料、輕教材，重過程、輕結(jié)果，重?cái)?shù)量、輕質(zhì)量的學(xué)習(xí)弊端，正如課標(biāo)中所要求：“要全面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考的習(xí)慣，堅(jiān)忍不拔的意志和勇于創(chuàng)新的精神.”