☉江蘇省無錫市大橋實驗中學 吳燕

關注題型，積累方法
——以“平面向量問題”高考復習為例

☉江蘇省無錫市青山高級中學 俞飛

☉江蘇省無錫市大橋實驗中學 吳燕

高三直面高考，高考復習可謂臨門一腳，必須拿捏到位，通過復習幫助學生熟悉高考中熱點問題的常見題型及其解決方法.本文以“平面向量問題”的高考復習為例，就該話題進行分析.

一、關注高考熱點

什么是熱點問題？高中數(shù)學涉及的知識點很多，但是有些知識內容在各地高考卷和模擬卷中經常出現(xiàn)，則這一類問題屬于高考熱點問題.例如，近年來，高中數(shù)學的平面向量問題在高考卷以及各地高考模擬試卷中經常涉及，且其解題方法多種多樣.平面向量兼具代數(shù)和幾何特性，是溝通代數(shù)與幾何的一種工具，是數(shù)學中數(shù)形結合思想的典型體現(xiàn).筆者作為高中數(shù)學教學中的一線教師，對近年來各地區(qū)平面向量的高考題以及各地模擬題的類型進行了一些歸納整理.

二、注重題型整理與方法歸納

我們的整理要有明確的知識目標指向，在此基礎上配以典型例題及其解析，通過對典例的分析總結出解決這一題型的數(shù)學思想方法.例如，“平面向量問題”進行了如下的題型劃分.

1.運用平面向量數(shù)量積的幾何意義

知識目標指向：向量數(shù)量積的幾何意義是：a的模與b在a方向上的投影之積或者b的模與a在b方向上的投影之積.向量數(shù)量積實現(xiàn)了把不共線的兩個向量積轉化為共線的兩個向量之積.《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》中對該知識的要求是通過物理中“功”的實例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；體會向量數(shù)量積與向量投影的關系等.向量數(shù)量積既具有“形”的特征，又具有“數(shù)”的特征，是溝通三角、函數(shù)、空間、不等式等知識的橋梁.

例1設△ABC，P0是邊AB上的一定點，滿足P0B=AB，且對于AB上的任一點P，恒有則（）.

A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°

C.AB=ACC.AC=BC

分析：這是2013年浙江省高考理科數(shù)學第7題.題目雖條件簡單，卻涉及動態(tài)變化的點，是一道具有平面幾何背景關于平面向量數(shù)量積運算、不等式以及變量最值的綜合問題.讓眾多學生不知所措，無法把握題目的要領所在.不少老師學生都采用坐標法，或基底法解決.下面，筆者用向量的幾何意義解決.

圖1

由數(shù)量積的幾何意義可知，

只需Δ=（m+1）2-4m=（m-1）2≤0即可，

即H是AB的中點.

所以△ABC是等腰三角形，AC=BC.

反思：從向量的幾何意義著手、運用數(shù)形結合的思想方法，使得抽象的數(shù)學運算形式化、簡單化、直觀化，思路清晰明朗，有助于學生掌握和理解.但是鮮少會有學生從幾何意義出發(fā)去解決有關向量數(shù)量積的相關問題.而事實上，掌握好向量數(shù)量積的幾何意義對于理解向量數(shù)量積，解決其相關問題都有很大的幫助.

2.運用坐標法，將向量問題轉化為函數(shù)問題

知識目標指向：在教學中經常提及的平面向量的解決方法是建系引入坐標，將向量的運算轉化為代數(shù)運算，這樣就可以將“形”與“數(shù)”緊密結合.建立直角坐標系是平面向量代數(shù)化的最直接的方法.

例2已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|ca-b|=1，則|c|的取值范圍是__________.

分析：由于a，b是相互垂直的單位向量，故可建立直角坐標系，運用向量的坐標運算來求解.

解析：由a，b是單位向量，a· b=0，故可設a=（1，0），b=（0，1），則a+b=（1，1），令=c=（x，y），得c-a-b=（x-1，y-1）.又|c-a-b|= 1，所以有（x-1）2+（y-1）2=1，即點C在以（1，1）為圓心，以1為半徑的圓上，如圖2.

圖2

3.運用平面向量幾何特性解決問題

知識目標指向：很多向量問題無法建立坐標系，基向量法是個很好的選擇，使用已知長度或者夾角的兩個向量作為基底表示出需要的其他向量.下面舉例說明.

例3在△ABC中，D是BC的中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，的值是__________.

解法1（基底法）：因為D為BC中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，所以

同理

解法2（基底法）：因為D為BC中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，所以E為AF的中點，則

點評：解法2的本質仍然基底思想，通過向量的中點

基底法是平面向量的本質，是解決向量問題的通法，是培養(yǎng)思維能力的有效途徑.

又D為BC中點，E，F(xiàn)是AD上的兩個三等分點，

點評：極化恒等式是向量數(shù)量積的重要工具，應用十分廣泛.本解法通過極化恒等式直接建立方程，簡捷、快速，思維量小，大大減少了運算量.

由平行四邊形的性質及余弦定理知，

（2AD）2+BC2=2（AB2+AC2）=2（BC2+2AB·ACcosA）= 2（BC2+8），即4AD2=BC2+16.（1）

又（2ED）2+BC2=2（EB2+EC2）=2（BC2+2EB·ECcosE），

點評：平面向量中的很多問題都有著其特定的幾何背景，優(yōu)美的幾何意義，充分利用向量的幾何模型，是解決向量問題的常用手段和重要策略.本解法正是通過利用平行四邊形的性質、余弦定理建立方程，從而順利解決問題.幾何法解向量問題指向明確，可操作性強.

圖3

4.通過構造圖形解決

知識目標指向：向量加法、減法等運算特有的幾何意義使得數(shù)形結合這一重要的數(shù)學思想在在解題中發(fā)揮著重要的作用.

分析：由本題條件可以考慮建系，用坐標運算解題，但變量較多，計算量相對較大.而按照題目要求直接構造圖形，化繁為簡.

三、結語

近幾年的高考中，平面向量的題型越來越靈活、多變.應引導學生根據(jù)題中不同的條件選擇相應的解題方法.本文僅僅例舉了幾種解決常見方法，意在教學中加強學生對解題工具的選擇能力，加深學生對數(shù)學本質的理解.當然，除了“平面向量”這個考點，對于高中數(shù)學其他考點也是如此，我們要通過靠考前的復習幫助學生實現(xiàn)知識與方法的羅列，幫助學生提分增效.